Но теперь настало время для тематики иной

[egovoru]

Роджер Пенроуз – не единственный математик, задумавшийся о механизмах математического мышления. Кит Девлин пошел по той же кривой дорожке и опубликовал аж несколько популярных книг на эту тему. Оригинал одной из них – редкий случай! – бесплатно доступен в сети (на русский ее, кажется, не переводили). Оптимистический тезис, выдвигаемый автором, таков: мы все от природы способны к математике – потому что способны к языку, задействующему те же самые возможности нашего мозга!

Начинает он издалека, констатируя, что все живые существа – и даже некоторые технические устройства, как, например, термостат – способны к категоризации стимулов, поступающих из внешней среды, реагируя на них различным образом: скажем, одни химические вещества привлекают бактерий, другие – наоборот (да, бактериальный хемотаксис, как и термостат – излюбленный пример в таких размышлениях). На вопрос, чем же реакция термостата отличается от реакции бактерии, Девлин отвечает как-то туманно: дескать, для бактерии выделяемые ею категории (он называет их «типами») жизненно важны, а для термостата – нет.

Далее он напоминает, что у низших существ категории жестко генетически запрограммированы, а вот высшие животные за счет пластичности своего мозга способны к созданию новых категорий (иными словами, к образованию условных рефлексов). Именно развитием способности к накоплению все большего числа распознаваемых категорий он объясняет длительный период роста объема головного мозга у наших предков-гоминид.

Способность с созданию категорий тесно связана со способностью к символическому мышлению – тут Девлин пользуется классификацией Пирса и поясняет, что звонок выступает символом пищи для собаки Павлова, поскольку связь между звонком и пищей совершенно произвольна. (То, что этот произвол задан экспериментатором, а не самой собакой, он оставляет без внимания).

Важным этапом нашей эволюции Девлин считает переход к, как он это называет, «оффлайн-мышлению»: к использованию символов, указывающих на объекты вне поля зрения и события, не совершающиеся прямо сейчас. Из органа реагирования на внешние стимулы наш мозг превратился в орган, способный производить стимулы самостоятельно, а реакция на них перестала быть непременно моторной.

Но коллекция категорий-символов – это еще не язык, а протоязык, и именно на этой стадии застревают человекообразные обезьяны, которых исследователи пытаются научить языку. Язык – это коллекция категорий плюс синтаксис, то есть, правила установления связей между категориями.

Вслед за Хомским Девлин считает, что сначала язык появился как инструмент мышления – средство манипуляции символами, а средством коммуникации он стал уже потом. Универсальная грамматика (Девлин убежден в ее существовании) «заточена» под главный предмет нашего обсуждения и в доисторические времена, и сейчас: другие люди, кто из них что делал, когда и с кем. Подавляющее большинство наших разговоров – пересказ сплетен (Девлин приводит цифры в подтверждение этого).

Ну, а причем же здесь математика, и почему только некоторые из нас достигают в ней успеха, если мы все способны к языку? А при том, считает Девлин, что математическое мышление – это те же сплетни, только в роли других людей тут выступают математические объекты. Те, кому удается эта подстановка, и становятся математиками.

Кит Девлин у подножия памятника Эйнштейну в Вашингтоне
(фото 2017 года с его страницы в Стэнфорде)

С некоторых пор я с подозрением стала замечать, что те авторы, чей ясный стиль изложения меня восхищает – как, например, Гай Дойчер – все, как на подбор, оказываются пишущими не на родном языке. Так вот, Кит Девлин – утешительное исключение из этого правила :)

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Животные (https://www.livejournal.com/category/zhivotnye?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Ох, Фрэнк - что-то ты совсем мимо цели :(

[jackclubs2.livejournal.com]

Всё-таки в математике ещё важно выстраивать длинные логические цепочки. Это другой талант — это как в шахматы играть — умение оценивать позицию и умение ходы просчитывать — это разные умения. И, на мой взгляд, строить длинные рациональные рассуждения — это более редкое умение, и определяет относительную редкость математического таланта.

[skogar.livejournal.com]

На мой взгляд, математические способности состоят не в том, чтобы строить длинные рациональные рассуждения, а в том, чтобы уметь видеть (умом) абстрактные идеи (причём не только образы материальных объектов) и работать с ними, пусть даже они будут довольно простыми и краткими.

[egovoru.livejournal.com]

Автор книжки о Пале Ердеше, которую я недавно прочла, считает, что для разных областей математики требуются разные особенности мышления. Правда, он говорит не о длине выстраиваемых логических цепочек, а о способности удерживать в сознании большой объем информации. Он отмечает, что немало интересных результатов в теории чисел были получены чуть ли не школьниками, мало что знающими, но в других областях математики это не так.

[olaff67.livejournal.com]

наряду со способностями к абстракции и построению отношений между ними, которая есть у всех, работает другая химия, определяющая уровень этих способностей. Недаром многие учителя математики видят — «математический» ребенок или нет.

Я думаю, что предрасположенность врожденная — уж очень отличаются люди с вычислительным умом.

С химией же связано и возрастное ограничение: прорывы и пики у математиков и шахматистов возможны до определенного нестарого возраста.

[egovoru.livejournal.com]

"очень отличаются люди с вычислительным умом"

Так ведь вроде бы считается, что способности к математике - это не то же самое, что способности к вычислениям?

[yoginka.livejournal.com]

//способны к математике – потому что способны к языку, задействующему те же самые возможности нашего мозга!//
- Вы привели много сомнительных рассуждений автора. (Оригинал читать не собираюсь.) Но этот же вывод может быть получен строже и "проще", и я уже не раз у Вас в журнале все это писала по разным поводам. Вот например:
https://egovoru.livejournal.com/175505.html?thread=15045521#t15045521
Я и более подробно где-то писала, если нужно, могу поискать.

Сухой остаток такой: язык на уровне синтаксиса и математика на уровне чисто формального вывода теорем из аксиом могут быть реализованы одним и тем же (параметризованным и настраиваемым) алгоритмом. И он довольно простой и компактный (я писала подобные для частных случаев). В общем случае этот универсальный алгоритм весьма неэффективный в смысле вычислительных ресурсов, потребление которых растет экспоненциально с ростом длины входной строки. (И мы, люди, кстати, с трудом понимаем синтаксис даже не очень длинного предложения или длинные формальные математические выкладки, если у нас нет помогающей привязки к смыслу).

//Роджер Пенроуз – не единственный математик, задумавшийся о механизмах математического мышления. Кит Девлин пошел по той же кривой дорожке//
- Вы зря их здесь приравниваете. Пенроуз, наоборот, о том, что у человека должно быть кое-что сверх этого.

[egovoru.livejournal.com]

"Вы привели много сомнительных рассуждений автора"

Это потому, что мне показалось, что я по крайней мере поняла, что он хочет сказать - а со многими другими авторами это не так :(

Разумеется, все эти рассуждения нельзя принимать слишком всерьез, потому что это типичный "полет фантазии", а не эмпирическое исследование мыслительного процесса - что и роднит рассуждения этого автора с рассуждениями Пенроуза (помимо общего предмета). Постичь механизм мышления путем интроспекции нельзя, потому что бóльшая его часть протекает бессознательно. Мы пока еще очень, очень далеки от возможности проследить мысль математика step by step - да и неизвестно, возможно ли это в принципе.

"могут быть реализованы одним и тем же (параметризованным и настраиваемым) алгоритмом"

Этот автор, кажется, слова "алгоритм" вообще не употребляет, поэтому непонятно, что он думает по поводу того, можно ли алгоритмизировать математическое мышление.

[serge no (from livejournal.com)]

"А при том, считает Девлин, что математическое мышление – это те же сплетни, только в роли других людей тут выступают математические объекты."

Слыхали, что гипотенуза учудила? Она с двумя катетами... В квадрате! ))

[jackclubs2.livejournal.com]

В квадрате 36-80!

[egovoru.livejournal.com]

Ну да, нечто в этом роде :)

[alaev.livejournal.com]

Как профессиональный математик, с интересом принялся читать пост про механизмы математического мышления, но узнал лишь, что это то же самое, что сплетни о математических объектах. Ощущаю некоторую неудовлетворённость.

В языке индейцев Пираха есть всего три числительных — один, немного и много. Вот это действительно мышление категориями. Но уже натуральные числа это нечто намного более сложное.

[egovoru.livejournal.com]

"узнал лишь, что это то же самое, что сплетни о математических объектах"

Главная мысль автора - никак, впрочем, не проверенная экспериментально - это то, что математическое мышление задействует те же структуры и процессы в мозгу, что и язык. Не знаю, возможно, фМРТ было бы достаточно, чтобы проверить этот тезис? Например, задать испытуемому математическую задачу, а потом попросить его написать сочинение и сравнить картинки. Подозреваю, правда, что последние будут зависеть и от типа задачи, и от темы сочинения, так что вряд ли все так просто.

"уже натуральные числа это нечто намного более сложное"

А в чем именно эта сложность, по-Вашему? И что Вы сами, как математик, думаете о механизмах математического мышления?

[egovoru.livejournal.com]

А что Вы, как математик, скажете о необходимости умения считать для Вашей професии? Мы обсуждаем эту тему вот по этой ветке (https://egovoru.livejournal.com/208977.html?thread=20517201#t20517201).

[greygreengo.livejournal.com]

Способность с созданию категорий тесно связана со способностью к символическому мышлению – тут Девлин пользуется классификацией Пирса и поясняет, что звонок выступает символом пищи для собаки Павлова, поскольку связь между звонком и пищей совершенно произвольна. (То, что этот произвол задан экспериментатором, а не самой собакой, он оставляет без внимания).

Важным этапом нашей эволюции Девлин считает переход к, как он это называет, «оффлайн-мышлению»: к использованию символов, указывающих на объекты вне поля зрения и события, не совершающиеся прямо сейчас. Из органа реагирования на внешние стимулы наш мозг превратился в орган, способный производить стимулы самостоятельно, а реакция на них перестала быть непременно моторной.

Возникает естественный вопрос — пробовали ли на рефлексах по методу собаки Павлова установить, является ли возможная способность к математике встроенной в собачий мозг или "это другое"?

Предлагается следующий эксперимент. Собакам дают еду не после звонка, а после серии звонков, так, что если серия совпадает с операциями сложения, например один и один звонок, а потом после свистка, например, два, или два звонка плюс три и после свистка пять, то еду выдают, а если неправильное сочетание, то нет. Будет ли происходить устойчивое слюноотделение при такой выработке рефлексов или нет?

ЗЫ А там и до интегралов дело дойдет.

[serge no (from livejournal.com)]

Этим уже больше века занимаются, в отношении человеческих детей, животных, а теперь ещё и нейронных сетей. Даже термин специальный есть — numerical competence (c подвидами: numerosity discrimination, estimation, counting). Не знаю проводили ли буквально такой эксперимент, но можно найти описания множества других подобных.

[egovoru.livejournal.com]

"пробовали ли на рефлексах по методу собаки Павлова установить, является ли возможная способность к математике встроенной в собачий мозг"

На собаках - не знаю, а вот на крысах - пробовали, и с очень интересными результатами (https://egovoru.livejournal.com/115966.html)!

RE: Я не в теме, но интересно:

[serge no (from livejournal.com)]

Это, помнится, некоторое время назад тут упоминалось в контексте какой-то книги или Хомского, или одного из соратников: инструмент замысливания интриг, для повышения своего общественного статуса.

Re: Я не в теме, но интересно:

[egovoru.livejournal.com]

"А мышление как манипуляция символами (отдельная от коммуникации?) — что это было, и зачем?"

Для создания умозрительной модели мира, помогающей предсказывать поведение реальности?

[ald1976.livejournal.com]

Все могут собирать марки, но не все хотят.

С математикой та же проблема, не все хотят. Только усугубленная более высоким входным барьером - что бы не говорил ваш автор, математические способности радикально отличаются от человека к человеку. Возможно их можно "прокачать", но если прокачиваемый стартовал с низкого уровня - вряд ли он захочет прокачиваться.


Вообще не понимаю, к чему все эти игры в демократию и полит-корректность. Почему нормально признавать способности к рисованию, но надо отрицать способности к математике? [причем в двух крайностях - либо утверждать, что все равно одарены, либо объявлять таблицу умножения сакральным знанием для избранных]

[egovoru.livejournal.com]

Особенного стремления к всеобщему уравниванию у этого автора вообще-то не заметно. Ведь если способности к математике действительно определяются тем, может ли человек относиться к математическим объектам так же, как мы все относимся к другим людям, то ведь и эта способность может быть выражена далеко не у каждого индивидуума. А вот про то, что некоторые математики воспринимают каждое число как личного знакомого, мне приходилось читать и в других книгах.

[skogar.livejournal.com]

Завидное упорство в натягивании совы на глобус.

[egovoru.livejournal.com]

Какой именно тезис автора Вы имеете в виду?

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Эволюционная эпистемология привлекательна, но в ней горе проблем. Одна из них - что такое истина, ведь в эволюции истина связана с выживаемостью. И разорвать эту связь не представляется возможным.

См. Blanco, Carlos. Truth in an evolutionary perspective. Scientia et Fides 2, no. 1 (2014): 203-220.

Кратко: http://blog.rudnyi.ru/ru/2021/04/truth-in-an-evolutionary-perspective.html

[egovoru.livejournal.com]

Ох, слово "истина" лучше не вспоминать. Вы имеете в виду, что гипотезы о происхождении языка трудно проверять?

Ваш пост по ссылке поставил меня в тупик. С какой стати понятие "истина" надо объяснять естественным отбором?? Любые наши понятия - результат культурной эволюции, а у нее могут быть совсем другие механизмы. Пытаться тупо переносить механизмы биологической эволюции на другие процессы - заведомо провальная затея.

Охота на душу

[livejournal.livejournal.com]

User skogar referenced to your post from Охота на душу (https://skogar.livejournal.com/21196.html) saying: [...] возможности совсем слабы, чтобы рассматривать этот вопрос всерьёз. Однако благодаря этой дискуссии [...]