Но теперь настало время для тематики иной

[egovoru]

Роджер Пенроуз – не единственный математик, задумавшийся о механизмах математического мышления. Кит Девлин пошел по той же кривой дорожке и опубликовал аж несколько популярных книг на эту тему. Оригинал одной из них – редкий случай! – бесплатно доступен в сети (на русский ее, кажется, не переводили). Оптимистический тезис, выдвигаемый автором, таков: мы все от природы способны к математике – потому что способны к языку, задействующему те же самые возможности нашего мозга!

Начинает он издалека, констатируя, что все живые существа – и даже некоторые технические устройства, как, например, термостат – способны к категоризации стимулов, поступающих из внешней среды, реагируя на них различным образом: скажем, одни химические вещества привлекают бактерий, другие – наоборот (да, бактериальный хемотаксис, как и термостат – излюбленный пример в таких размышлениях). На вопрос, чем же реакция термостата отличается от реакции бактерии, Девлин отвечает как-то туманно: дескать, для бактерии выделяемые ею категории (он называет их «типами») жизненно важны, а для термостата – нет.

Далее он напоминает, что у низших существ категории жестко генетически запрограммированы, а вот высшие животные за счет пластичности своего мозга способны к созданию новых категорий (иными словами, к образованию условных рефлексов). Именно развитием способности к накоплению все большего числа распознаваемых категорий он объясняет длительный период роста объема головного мозга у наших предков-гоминид.

Способность с созданию категорий тесно связана со способностью к символическому мышлению – тут Девлин пользуется классификацией Пирса и поясняет, что звонок выступает символом пищи для собаки Павлова, поскольку связь между звонком и пищей совершенно произвольна. (То, что этот произвол задан экспериментатором, а не самой собакой, он оставляет без внимания).

Важным этапом нашей эволюции Девлин считает переход к, как он это называет, «оффлайн-мышлению»: к использованию символов, указывающих на объекты вне поля зрения и события, не совершающиеся прямо сейчас. Из органа реагирования на внешние стимулы наш мозг превратился в орган, способный производить стимулы самостоятельно, а реакция на них перестала быть непременно моторной.

Но коллекция категорий-символов – это еще не язык, а протоязык, и именно на этой стадии застревают человекообразные обезьяны, которых исследователи пытаются научить языку. Язык – это коллекция категорий плюс синтаксис, то есть, правила установления связей между категориями.

Вслед за Хомским Девлин считает, что сначала язык появился как инструмент мышления – средство манипуляции символами, а средством коммуникации он стал уже потом. Универсальная грамматика (Девлин убежден в ее существовании) «заточена» под главный предмет нашего обсуждения и в доисторические времена, и сейчас: другие люди, кто из них что делал, когда и с кем. Подавляющее большинство наших разговоров – пересказ сплетен (Девлин приводит цифры в подтверждение этого).

Ну, а причем же здесь математика, и почему только некоторые из нас достигают в ней успеха, если мы все способны к языку? А при том, считает Девлин, что математическое мышление – это те же сплетни, только в роли других людей тут выступают математические объекты. Те, кому удается эта подстановка, и становятся математиками.

Кит Девлин у подножия памятника Эйнштейну в Вашингтоне
(фото 2017 года с его страницы в Стэнфорде)

С некоторых пор я с подозрением стала замечать, что те авторы, чей ясный стиль изложения меня восхищает – как, например, Гай Дойчер – все, как на подбор, оказываются пишущими не на родном языке. Так вот, Кит Девлин – утешительное исключение из этого правила :)

Comments

[jackclubs2.livejournal.com]

Всё-таки в математике ещё важно выстраивать длинные логические цепочки. Это другой талант — это как в шахматы играть — умение оценивать позицию и умение ходы просчитывать — это разные умения. И, на мой взгляд, строить длинные рациональные рассуждения — это более редкое умение, и определяет относительную редкость математического таланта.

[skogar.livejournal.com]

На мой взгляд, математические способности состоят не в том, чтобы строить длинные рациональные рассуждения, а в том, чтобы уметь видеть (умом) абстрактные идеи (причём не только образы материальных объектов) и работать с ними, пусть даже они будут довольно простыми и краткими.

[jackclubs2.livejournal.com]

Ну так математики говорят, да, и даже думают. Но как дело доходит до решения конкретных задач — выясняется, что математики сами оценивают силу друг друга в основном по умению держать в мозгу длинные рассуждения. Это не мое определение, вообще-то, и я, некоторое время обретаясь в компании (ну пусть прикладных) математиков — обнаружил, что на практике оно работает.

[skogar.livejournal.com]

В чистой математике видимо это не так, скорее ценятся продвинутые (не обязательно длинные) идеи. Техническая сторона дела очень второстепенна: если есть идея, то так или иначе, быстро или не очень, будет проделано всё требуемое. А если идеи нет, то вообще ничего не выйдет.

Известно ведь, что сильные математики нередко плохо считают: например, ошибаются в несложной арифметике :)

[jackclubs2.livejournal.com]

Мне кажется разные случаи бывают, но я совершенно не квалифицирован вести этот разговор. Из поп-культурных соображений — самые "шумные" события в математике последних лет — доказательство теоремы Ферма, или там доказательство гипотезы Пуанкаре Перельманом — насколько я, на своем (абсолютно никаком) уровне понимаю — это всё очень сложные и длинные доказательства, проверка которых потребовала многих месяцев.

[skogar.livejournal.com]

Они сложные и длинные, но очень вряд ли это то, как они возникли, скорее это цепочки куда более понятных идей. Думаю, что авторы могли бы адекватно рассказать суть своих идей вообще "без формул" (тем, кто способен понимать, но не только узким специалистам).

[jackclubs2.livejournal.com]

Ну если "цепочка" длинная — это не противоречит моему тезису. Впрочем не берусь спорить, поскольку вообще не в состоянии привести ни одного примера.

[skogar.livejournal.com]

Длинная - в смысле, что полученная не большим запутанным шагом, а несколькими относительно короткими с ясным смыслом.

Если вопрос состоит в том, что важнее для математика, сила идеи или объём задействованной информации, то выбор однозначен в пользу первого варианта. Если я Вас правильно понял, то, что говорили Вы, связано скорее со вторым.

[egovoru.livejournal.com]

Автор книжки о Пале Ердеше, которую я недавно прочла, считает, что для разных областей математики требуются разные особенности мышления. Правда, он говорит не о длине выстраиваемых логических цепочек, а о способности удерживать в сознании большой объем информации. Он отмечает, что немало интересных результатов в теории чисел были получены чуть ли не школьниками, мало что знающими, но в других областях математики это не так.