Но теперь настало время для тематики иной

[egovoru]

Роджер Пенроуз – не единственный математик, задумавшийся о механизмах математического мышления. Кит Девлин пошел по той же кривой дорожке и опубликовал аж несколько популярных книг на эту тему. Оригинал одной из них – редкий случай! – бесплатно доступен в сети (на русский ее, кажется, не переводили). Оптимистический тезис, выдвигаемый автором, таков: мы все от природы способны к математике – потому что способны к языку, задействующему те же самые возможности нашего мозга!

Начинает он издалека, констатируя, что все живые существа – и даже некоторые технические устройства, как, например, термостат – способны к категоризации стимулов, поступающих из внешней среды, реагируя на них различным образом: скажем, одни химические вещества привлекают бактерий, другие – наоборот (да, бактериальный хемотаксис, как и термостат – излюбленный пример в таких размышлениях). На вопрос, чем же реакция термостата отличается от реакции бактерии, Девлин отвечает как-то туманно: дескать, для бактерии выделяемые ею категории (он называет их «типами») жизненно важны, а для термостата – нет.

Далее он напоминает, что у низших существ категории жестко генетически запрограммированы, а вот высшие животные за счет пластичности своего мозга способны к созданию новых категорий (иными словами, к образованию условных рефлексов). Именно развитием способности к накоплению все большего числа распознаваемых категорий он объясняет длительный период роста объема головного мозга у наших предков-гоминид.

Способность с созданию категорий тесно связана со способностью к символическому мышлению – тут Девлин пользуется классификацией Пирса и поясняет, что звонок выступает символом пищи для собаки Павлова, поскольку связь между звонком и пищей совершенно произвольна. (То, что этот произвол задан экспериментатором, а не самой собакой, он оставляет без внимания).

Важным этапом нашей эволюции Девлин считает переход к, как он это называет, «оффлайн-мышлению»: к использованию символов, указывающих на объекты вне поля зрения и события, не совершающиеся прямо сейчас. Из органа реагирования на внешние стимулы наш мозг превратился в орган, способный производить стимулы самостоятельно, а реакция на них перестала быть непременно моторной.

Но коллекция категорий-символов – это еще не язык, а протоязык, и именно на этой стадии застревают человекообразные обезьяны, которых исследователи пытаются научить языку. Язык – это коллекция категорий плюс синтаксис, то есть, правила установления связей между категориями.

Вслед за Хомским Девлин считает, что сначала язык появился как инструмент мышления – средство манипуляции символами, а средством коммуникации он стал уже потом. Универсальная грамматика (Девлин убежден в ее существовании) «заточена» под главный предмет нашего обсуждения и в доисторические времена, и сейчас: другие люди, кто из них что делал, когда и с кем. Подавляющее большинство наших разговоров – пересказ сплетен (Девлин приводит цифры в подтверждение этого).

Ну, а причем же здесь математика, и почему только некоторые из нас достигают в ней успеха, если мы все способны к языку? А при том, считает Девлин, что математическое мышление – это те же сплетни, только в роли других людей тут выступают математические объекты. Те, кому удается эта подстановка, и становятся математиками.

Кит Девлин у подножия памятника Эйнштейну в Вашингтоне
(фото 2017 года с его страницы в Стэнфорде)

С некоторых пор я с подозрением стала замечать, что те авторы, чей ясный стиль изложения меня восхищает – как, например, Гай Дойчер – все, как на подбор, оказываются пишущими не на родном языке. Так вот, Кит Девлин – утешительное исключение из этого правила :)

Comments

[egovoru.livejournal.com]

"Очеловечивание неодушевленных предметов больше похожа на психическое заболевание"

Оно настолько нам свойственно, что вряд ли можно считать его отклонением от нормы. В этом смысле наиболее показательны эксперименты (https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC6396302/), когда испытуемым показывали передвигающиеся по экрану простые геометрические фигуры, а они видели на нем человеческую драму:

"The classic animation experiment by Heider and Simmel (1944) revealed that humans have a strong tendency to impose narrative even on displays showing interactions between simple geometric shapes. In their most famous animation with three simple shapes, observers almost inevitably interpreted them as rational agents with intentions, desires and beliefs (“That nasty big triangle!”). Much work on dynamic scenes has identified basic visual properties that can make shapes seem animate."

"А представление о математике как о языке несколько однобоко. Представление о математике как о манипуляциях с символами вообще ущербно"

А как Вы сами представляете себе математику, если не как манипуляцию символами? (Заметьте, что Девлин имеет в виду символы не в том смысле, как их понимают компьютерные программы, а как их понимает Пирс. То есть, символ - это все, что мы используем для обозначения чего-то другого по условному соглашению. Звонок - это символ пищи для собаки Павлова).

[ald1976.livejournal.com]

Это не очеловечивание - это обычная игра в ассоциации. Примерно как дети - тянут варежку за нитку и воображают ее собакой. Просто в более осмысленных, чем протягивание варежек, занятиях, ассоциации могут быть полезным инструментом для изучения предмета. Причем инструментом не универсальным - два человека будут по разному разглядывать одного и того же слона. А сами ассоциации часто предпочтут оставить при себе, как слишком личное.

Манипуляция символами может быть на некоторых этапах, чаще уже тогда, когда все более-менее придумано и надо причесать идею. А генерация идей или размышления о чем-то обычно не символьны, как ни расширяй понятие символа.

[egovoru.livejournal.com]

"Это не очеловечивание - это обычная игра в ассоциации"

Так ведь очеловечивание это и есть представление неодушевленных предметов одушевленными, разве нет?

"А генерация идей или размышления о чем-то обычно не символьны, как ни расширяй понятие символа"

А каковы же они - как Вы себе их представляете? И почему думаете, что они никоим образом не символьные?

[ald1976.livejournal.com]

Совершенно не обязательно что-то ассоциировать с одушевленным предметом. То, что это часто делается - просто следствие более сложного поведения живых существ по сравнению с вещами.

Первобытный дикарь грамоте не обучен, но, тем не менее, достаточно успешно думает. И придумал очень много всего, прежде чем создал отдельные формальные обозначения или, тем более, целый язык.

А когда человек не может "думать" никак иначе, кроме как манипулируя символами - это тот случай, когда карандаш умнее человека. Ну или когда задача настолько простая, что тут не думать, а прыгать надо. В случае со школьными занятиями почти все задачи именно такие, что и может создавать ложное впечатление о математике, как манипулировании символами.

[egovoru.livejournal.com]

"Совершенно не обязательно что-то ассоциировать с одушевленным предметом. То, что это часто делается - просто следствие более сложного поведения живых существ по сравнению с вещами"

Что-то я пока не улавливаю Вашу мысль. Конечно, не обязательно ассоциировать все окружающее именно с одушевленными предметами, но мы-то делаем именно так: на луне мы видим лицо, в шуме ветра мы слышим слова и т.д. И понятно, почему так: потому что лучше принять куст на тигра, чем тигра за куст. Те, кто пошли по второму пути, уже не с нами :)

"Первобытный дикарь грамоте не обучен, но, тем не менее, достаточно успешно думает"

Так ведь речь же идет не о грамоте - то есть, умении читать и писать - а именно о языке? Наверное, не так-то просто установить, у кого из наших предков появился язык, поскольку с ними ведь не поговоришь, но, насколько я понимаю, язык - весьма древнее изобретение, едва ли не столь же древнее, как освоение огня или изготовление первых орудий.

"А когда человек не может "думать" никак иначе, кроме как манипулируя символами"

А все же - как именно "иначе" можно думать, если не символами?

[ald1976.livejournal.com]

Для тех, кто видит в рельефе живое, психиатры отдельный диагноз припасли :)))

Пример неживой ассоциации - отождествить группу четных перестановок пяти предметов с группой движений икосаэдра. А кому-то в этом месте привидится двойственный додекаэдр.

Он же пример того, как можно думать не символами. А "думание символами" - это перемножение перестановок до посинения в надежде что-то обнаружить.

Ну и, не возбраняется думать о том, что еще не вошло в обиход и никаких обозначений не имеет. И поэтому неизбежно приходится вначале это новое придумать, а уж потом озаботиться разработкой обозначений для обслуживания его нужд.

Математика - это больше про придумывание нового. А решение задач, пусть и сложных, которые известно как решать - это скорее инженерный промысел.

[egovoru.livejournal.com]

"Пример неживой ассоциации - отождествить группу четных перестановок пяти предметов с группой движений икосаэдра. А кому-то в этом месте привидится двойственный додекаэдр"

Если я правильно поняла Девлина, он все же не думает, что математики воспринимают икосаэдры и прочие абстракции в прямом смысле живыми :)

Но, кажется, тот же Девлин рассказывает об исследованиях, когда испытуемые не могли решить задачи, сформулированные в абстрактных терминах (А больше В на две единицы и т.д.), но тут же справлялись с ними, как только эти задачи были переформулированы с привлечением их реальных знакомых (тетя Песя отняла у дяди Мойши два яблока и т.д.).

Еще, наверное, не следует забывать о разнице между абстракциями и символами. Абстракция - это ментальный продукт, создаваемый в результате вычления общих свойств у группы конкретных объектов. А символ - это один объект, не обязательно абстрактный, по договоренности используемый для обозначения другого, не обязательно абстрактного.

"Математика - это больше про придумывание нового"

Но ведь новые математические объекты создаются именно для решения задач, разве нет?

[ald1976.livejournal.com]

Но ведь новые математические объекты создаются именно для решения задач, разве нет?......

Теоретически да. Практически новые объекты и теории возникают в процессе математического творчества, и если они достаточно интересны, то их будут изучать независимо от их практической ценности в решении задач.

И любая теория имеет практические применения только на поверхности. Стоит копнуть чуть глубже и уже никто не скажет точно, есть в этих глубинах что-то практическое или это кантовская вещь-в-себе. И чем дальше копать - тем менее вероятно, что это практично, но процесс копания на глубине очень интеллектуально интересен для математиков.

[egovoru.livejournal.com]

"Практически новые объекты и теории возникают в процессе математического творчества"

У меня даже отдельный пост есть на эту тему (https://egovoru.livejournal.com/169379.html) :)

[skogar.livejournal.com]

-- И чем дальше копать - тем менее вероятно, что это практично, но процесс копания на глубине очень интеллектуально интересен для математиков.

Если интеллектуально интересен для математиков, то содержателен, а тогда и зацепится (сразу или со временем) за что-нибудь ещё (хотя не факт, что найдёт применение именно в сельском хозяйстве).