Но теперь настало время для тематики иной

[egovoru]

Роджер Пенроуз – не единственный математик, задумавшийся о механизмах математического мышления. Кит Девлин пошел по той же кривой дорожке и опубликовал аж несколько популярных книг на эту тему. Оригинал одной из них – редкий случай! – бесплатно доступен в сети (на русский ее, кажется, не переводили). Оптимистический тезис, выдвигаемый автором, таков: мы все от природы способны к математике – потому что способны к языку, задействующему те же самые возможности нашего мозга!

Начинает он издалека, констатируя, что все живые существа – и даже некоторые технические устройства, как, например, термостат – способны к категоризации стимулов, поступающих из внешней среды, реагируя на них различным образом: скажем, одни химические вещества привлекают бактерий, другие – наоборот (да, бактериальный хемотаксис, как и термостат – излюбленный пример в таких размышлениях). На вопрос, чем же реакция термостата отличается от реакции бактерии, Девлин отвечает как-то туманно: дескать, для бактерии выделяемые ею категории (он называет их «типами») жизненно важны, а для термостата – нет.

Далее он напоминает, что у низших существ категории жестко генетически запрограммированы, а вот высшие животные за счет пластичности своего мозга способны к созданию новых категорий (иными словами, к образованию условных рефлексов). Именно развитием способности к накоплению все большего числа распознаваемых категорий он объясняет длительный период роста объема головного мозга у наших предков-гоминид.

Способность с созданию категорий тесно связана со способностью к символическому мышлению – тут Девлин пользуется классификацией Пирса и поясняет, что звонок выступает символом пищи для собаки Павлова, поскольку связь между звонком и пищей совершенно произвольна. (То, что этот произвол задан экспериментатором, а не самой собакой, он оставляет без внимания).

Важным этапом нашей эволюции Девлин считает переход к, как он это называет, «оффлайн-мышлению»: к использованию символов, указывающих на объекты вне поля зрения и события, не совершающиеся прямо сейчас. Из органа реагирования на внешние стимулы наш мозг превратился в орган, способный производить стимулы самостоятельно, а реакция на них перестала быть непременно моторной.

Но коллекция категорий-символов – это еще не язык, а протоязык, и именно на этой стадии застревают человекообразные обезьяны, которых исследователи пытаются научить языку. Язык – это коллекция категорий плюс синтаксис, то есть, правила установления связей между категориями.

Вслед за Хомским Девлин считает, что сначала язык появился как инструмент мышления – средство манипуляции символами, а средством коммуникации он стал уже потом. Универсальная грамматика (Девлин убежден в ее существовании) «заточена» под главный предмет нашего обсуждения и в доисторические времена, и сейчас: другие люди, кто из них что делал, когда и с кем. Подавляющее большинство наших разговоров – пересказ сплетен (Девлин приводит цифры в подтверждение этого).

Ну, а причем же здесь математика, и почему только некоторые из нас достигают в ней успеха, если мы все способны к языку? А при том, считает Девлин, что математическое мышление – это те же сплетни, только в роли других людей тут выступают математические объекты. Те, кому удается эта подстановка, и становятся математиками.

Кит Девлин у подножия памятника Эйнштейну в Вашингтоне
(фото 2017 года с его страницы в Стэнфорде)

С некоторых пор я с подозрением стала замечать, что те авторы, чей ясный стиль изложения меня восхищает – как, например, Гай Дойчер – все, как на подбор, оказываются пишущими не на родном языке. Так вот, Кит Девлин – утешительное исключение из этого правила :)

Comments

[ald1976.livejournal.com]

Совершенно не обязательно что-то ассоциировать с одушевленным предметом. То, что это часто делается - просто следствие более сложного поведения живых существ по сравнению с вещами.

Первобытный дикарь грамоте не обучен, но, тем не менее, достаточно успешно думает. И придумал очень много всего, прежде чем создал отдельные формальные обозначения или, тем более, целый язык.

А когда человек не может "думать" никак иначе, кроме как манипулируя символами - это тот случай, когда карандаш умнее человека. Ну или когда задача настолько простая, что тут не думать, а прыгать надо. В случае со школьными занятиями почти все задачи именно такие, что и может создавать ложное впечатление о математике, как манипулировании символами.

[egovoru.livejournal.com]

"Совершенно не обязательно что-то ассоциировать с одушевленным предметом. То, что это часто делается - просто следствие более сложного поведения живых существ по сравнению с вещами"

Что-то я пока не улавливаю Вашу мысль. Конечно, не обязательно ассоциировать все окружающее именно с одушевленными предметами, но мы-то делаем именно так: на луне мы видим лицо, в шуме ветра мы слышим слова и т.д. И понятно, почему так: потому что лучше принять куст на тигра, чем тигра за куст. Те, кто пошли по второму пути, уже не с нами :)

"Первобытный дикарь грамоте не обучен, но, тем не менее, достаточно успешно думает"

Так ведь речь же идет не о грамоте - то есть, умении читать и писать - а именно о языке? Наверное, не так-то просто установить, у кого из наших предков появился язык, поскольку с ними ведь не поговоришь, но, насколько я понимаю, язык - весьма древнее изобретение, едва ли не столь же древнее, как освоение огня или изготовление первых орудий.

"А когда человек не может "думать" никак иначе, кроме как манипулируя символами"

А все же - как именно "иначе" можно думать, если не символами?

[ald1976.livejournal.com]

Для тех, кто видит в рельефе живое, психиатры отдельный диагноз припасли :)))

Пример неживой ассоциации - отождествить группу четных перестановок пяти предметов с группой движений икосаэдра. А кому-то в этом месте привидится двойственный додекаэдр.

Он же пример того, как можно думать не символами. А "думание символами" - это перемножение перестановок до посинения в надежде что-то обнаружить.

Ну и, не возбраняется думать о том, что еще не вошло в обиход и никаких обозначений не имеет. И поэтому неизбежно приходится вначале это новое придумать, а уж потом озаботиться разработкой обозначений для обслуживания его нужд.

Математика - это больше про придумывание нового. А решение задач, пусть и сложных, которые известно как решать - это скорее инженерный промысел.

[egovoru.livejournal.com]

"Пример неживой ассоциации - отождествить группу четных перестановок пяти предметов с группой движений икосаэдра. А кому-то в этом месте привидится двойственный додекаэдр"

Если я правильно поняла Девлина, он все же не думает, что математики воспринимают икосаэдры и прочие абстракции в прямом смысле живыми :)

Но, кажется, тот же Девлин рассказывает об исследованиях, когда испытуемые не могли решить задачи, сформулированные в абстрактных терминах (А больше В на две единицы и т.д.), но тут же справлялись с ними, как только эти задачи были переформулированы с привлечением их реальных знакомых (тетя Песя отняла у дяди Мойши два яблока и т.д.).

Еще, наверное, не следует забывать о разнице между абстракциями и символами. Абстракция - это ментальный продукт, создаваемый в результате вычления общих свойств у группы конкретных объектов. А символ - это один объект, не обязательно абстрактный, по договоренности используемый для обозначения другого, не обязательно абстрактного.

"Математика - это больше про придумывание нового"

Но ведь новые математические объекты создаются именно для решения задач, разве нет?

[ald1976.livejournal.com]

Но ведь новые математические объекты создаются именно для решения задач, разве нет?......

Теоретически да. Практически новые объекты и теории возникают в процессе математического творчества, и если они достаточно интересны, то их будут изучать независимо от их практической ценности в решении задач.

И любая теория имеет практические применения только на поверхности. Стоит копнуть чуть глубже и уже никто не скажет точно, есть в этих глубинах что-то практическое или это кантовская вещь-в-себе. И чем дальше копать - тем менее вероятно, что это практично, но процесс копания на глубине очень интеллектуально интересен для математиков.

[egovoru.livejournal.com]

"Практически новые объекты и теории возникают в процессе математического творчества"

У меня даже отдельный пост есть на эту тему (https://egovoru.livejournal.com/169379.html) :)

[skogar.livejournal.com]

-- И чем дальше копать - тем менее вероятно, что это практично, но процесс копания на глубине очень интеллектуально интересен для математиков.

Если интеллектуально интересен для математиков, то содержателен, а тогда и зацепится (сразу или со временем) за что-нибудь ещё (хотя не факт, что найдёт применение именно в сельском хозяйстве).