Сквозит двойная бесконечность

[egovoru]

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.

Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)

Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Comments

[joint-joint.livejournal.com]

>>еcли бы числа не существовали объективно, а были бы просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заведомо известны

если бы мы перестали шагать, мы бы уже давно стояли на месте...

числа существуют объективно и являются нашим изобретением,
если процесс соотнесения различных объектов не останавливать, свойства не будут конечными.

[egovoru.livejournal.com]

Боюсь, я не совсем поняла Вашу мысль :( Моя состояла в том, что представление об объективно существующих числах (и вообще математических объектах) может тормозить процесс развития математики :(

Впрочем, неверие может тормозить его еще больше: вот Кронекер не верил в существование действительных чисел и сделал все возможное, чтобы отравить существование Кантора :(

[joint-joint.livejournal.com]

просто человек (это цитата на сколько я понял)
говорит о том, что мол будучи объективными математические объекты нам не даны "полностью", а вот если бы они были выдуманы, то мы бы знали все их свойства.

тут по моему, ошибка, заключающаяся в том, что познание это процесс.
Если мы останавливаем процесс, то имеем конечный свойства.
Если продолжаем, то во взаимодействии объектов, получаем новые свойства, до тех пор пока познание продолжается.
Никакой связи с искусственностью и объективностью, эта закономерность не имеет.

[skichmana.livejournal.com]

А вот человек сначала придумал, а потом и создал что-то. Например, атомную бомбу. И он её придумал с каким-то заложенным в неё им свойством. А многие свойства её остались человеку неизвестными. Не так ли и с числами?

[egovoru.livejournal.com]

Да, именно так. Предположение автора, что таким способом можно разрешить сложную философскую проблему о природе чисел, очень наивны ;) Впрочем, он и не претендует на философскую глубину - он рассказывает историю понятия "бесконечность" в математике, и рассказывает интересно.

Например, он пишет, что лестница бесконечностей Кантора - может быть, еще не все. Возможно, существует еще бесконечное число классов бесконечностей, каждый из которых так же отделен от класса канторовских бесконечностей, как они сами - от конечных чисел (в том смысле, что никакими математическими операциями над конечными числами нельзя получить бесконечность).

Такую штуку придумал Гедель (автор знаменитых теорем о неполноте), но никто пока не доказал это наверняка.

[hyperboreus.livejournal.com]

Числа, конечно же, существуют интерсубъективно. Впрочем, как и почти все остальное...

[egovoru.livejournal.com]

А что такое "интерсубъективно"?

Печально, что столь абстрактная проблема, как существование чисел, могла привести к такой беспощадной вражде, какую питал к Кантору его учитель, Леопольд Кронекер :(

Впрочем, это еще не самая ужасная вражда, поводом к которой послужило расхождение в абстракных идеях - просто от математиков ожидаешь больше ума ;) Кантор-то был несомненный гений, но и Кронекер, как пишет автор книжки, внес значительный вклад в некоторые области математики (но не в анализ, которого не признавал).

[hyperboreus.livejournal.com]

Интерсубъективность это общий мир воспринимающих и познающих субъектов. Грубо говоря, объективность это точка зрения Бога, интерсубъективность - это точка зрения человечества...

[napoli.livejournal.com]

Как можно с т.з. чисел объяснить следующие явления?

У неконтактного племени pirahã отсутствие развитой торговли и культуры запасать провизию обусловило отсутствие счёта. Больше 3 они не считают, да и сами эти три числительных обозначают не индивидуальные предметы, а что-то типа групп предметов, состоящих из разного количества предметов по ситуации или по субъективному взгляду говорящего.

Также в одной книге по египетской мифологии я встретила рассуждения о нумерологии, где говорилось об 11 богах, причём 11 раскладывалось на 10 и 5. 10 были отдельными "штуками", а 5 богов, хоть и тоже будучи отдельными, считались одной группой и к первым 10 прибавлялись как 1.

[egovoru.livejournal.com]

Однажды я слышала доклад исследовательницы, изучающей нашу способность к оперированию числами. Оказывается, у нас существует две разных нейрофизиологических системы: одна задействована в именно счете, как таковом, но ее "буферная емкость" доходит только до 4 (т.е., мы можем с ее помощью различить один, два, три и четыре, а все остальное попадает в категорию "много"), а другая система позволяет нам различать мощности совокупностей предметов - иными словами, отличать "много" от "мало", но без точного подсчета числа элементов.

Так вот, из данных экспериментов следовало, что каждая из этих систем, по отдельности, есть также и у некоторых высших животных, но только у человека они наличествуют обе, и это и позволило нам создать математику.

К сожалению, я не запомнила имени докладчика (это было на большой конференции, где я была по профессиональному делу, а эта тема была для меня совершенно посторонней), и, когда я потом попробовала найти ее работы, то не смогла - так что я не могу поручиться за точность деталей. Но факт, что этими вещами активно занимаются, и это, конечно, страшно интересная область.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Я рад, что вам понравилось.

Что, касается платонизма, то по-моему это частный случай вечного спрора об универсалиях: номинализм vs. реализм.

[egovoru.livejournal.com]

Да, книжка мне показалась довольно удачной: автору, повествующему об очень абстрактных вещах, удалось написать занятно и не запугать читателя ;)

Правда, некоторые места, по-моему, требуют все-таки более подробных пояснений, в частности: откуда взялось, что вероятность того, что, выбрав на прямой континуума произвольную точку, мы попадем на рациональное число, равна нулю? Понятно, что это следует именно из разной мощности множеств действительных и рациональных чисел, но как формально вычисляют вероятности в этом случае, я не знаю.
И несколько других доказательств, о которых автор даже и рассказывает несколько подробнее, я тоже не совсем поняла, но удовольствие от чтения это мне не испортило ;)

А из вещей, не относящихся непосредственно к математике, меня поразил факт путешествия Геделя с женой по Транссибу в 1939 году (или это была уже зима 40-го?) - вовремя они успели!

[egovoru.livejournal.com]

Но больше всего мне понравилась эта самая мысль Кантора, которая на памятнике - насчет математики и свободы ;) А Вам, надо думать, она еще ближе :)

[egovoru.livejournal.com]

Кстати, еще одна вещь, которую, как мне кажется, стоило бы в книжке объяснить подробнее. То, что множество подмножеств любого конечного множества (как в авторском примере {1, 2, 3}) будет больше, чем множество самих его элементов, потому что оно будет содержать не только все элементы, но и все их сочетания - действительно, очевидно. Но с бесконечностями такая логика не проходит: например, во множестве рациональных чисел есть масса элементов, заведомо не входящих в множество натуральных чисел (а именно, все дроби), помимо самих натуральных чисел, но, тем не менее, оба этих множества имеют одинаковую мощность, алеф ноль (что тот же Кантор и доказал).

[egovoru.livejournal.com]

У этого автора - еще целый список книжек: посмотрите его страничку в Вики. В том числе и с такими интригующими заголовками, как "Why Science Does Not Disprove God" ;) Но мне, как я уже говорила, интереснее всего была бы, наверное, его последняя книжка, про концепцию нуля. Ноль, конечно - не бесконечность, но тоже очень богатая идея :)

[piterburg.livejournal.com]

"To see a World in a Grain of Sand
And a Heaven in a Wild Flower
Hold Infinity in the palm of your hand
And Eternity in an hour.."

[egovoru.livejournal.com]

"He who bends to himself a joy
Does the winged life destroy;
But he who kisses the joy as it flies
Lives in eternity's sunrise."

Блейк определенно знал толк в предмете ;)

Re: РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ:

[egovoru.livejournal.com]

Не поняла связи Вашего комментария с текстом поста :(

[egovoru.livejournal.com]

Материи это сложные, так что слишком уж длинные скачки мысли отслеживать трудно. Понятие бесконечности меня весьма занимает, и я бы охотно обсудила его с Вами, но, боюсь, чтобы я поняла, что Вы хотите сказать, я бы попросила Вас сформулировать свою мысль как-то более доходчиво :)

[egovoru.livejournal.com]

Ой, это для меня как-то уж слишком сложно :(

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо, и Вам того же!