Сквозит двойная бесконечность

[egovoru]

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.

Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)

Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Comments

[hyperboreus.livejournal.com]

Числа, конечно же, существуют интерсубъективно. Впрочем, как и почти все остальное...

[egovoru.livejournal.com]

А что такое "интерсубъективно"?

Печально, что столь абстрактная проблема, как существование чисел, могла привести к такой беспощадной вражде, какую питал к Кантору его учитель, Леопольд Кронекер :(

Впрочем, это еще не самая ужасная вражда, поводом к которой послужило расхождение в абстракных идеях - просто от математиков ожидаешь больше ума ;) Кантор-то был несомненный гений, но и Кронекер, как пишет автор книжки, внес значительный вклад в некоторые области математики (но не в анализ, которого не признавал).

[hyperboreus.livejournal.com]

Интерсубъективность это общий мир воспринимающих и познающих субъектов. Грубо говоря, объективность это точка зрения Бога, интерсубъективность - это точка зрения человечества...

[egovoru.livejournal.com]

Попперовский третий мир общих для человечества идей?

[hyperboreus.livejournal.com]

Ну, примерно ;)