Сквозит двойная бесконечность

[egovoru]

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.

Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)

Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Comments

[egovoru.livejournal.com]

"Колмогоров связал вероятность с теорией меры. Поэтому как мы определим вероятностную меру на множестве, так и будем её вычислять"

Про теорию меры я, увы, никогда даже не слышала, но зато я уже вспомнила о волновой функции (в квантовой механике), которая, насколько я понимаю, как раз дает вероятность, определенную на континууме (пространственных координат).

[rock-25.livejournal.com]

Мера - обобщение "длины", "площади", "объёма"... Она определяется на множестве через его характеристическую функцию.
Кстати, Кантор привел пример бесконечного подмножества множества действительных чисел ("Канторово множество", "Канторова пыль"), которое имеет мощность континуума, а меру (длину) 0.
У него топологическая размерность 0, а фрактальная (хаусдорфова) размерность ln2/ln3~0.63.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо за пояснение!