Сквозит двойная бесконечность
Feb. 19th, 2016 06:51 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
egovoruКантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?
Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.
Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)
Спасибо уважаемому ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
evgeniirudnyi за наводку на книжку.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2016-02-20 05:18 am (UTC)если бы мы перестали шагать, мы бы уже давно стояли на месте...
числа существуют объективно и являются нашим изобретением,
если процесс соотнесения различных объектов не останавливать, свойства не будут конечными.
no subject
Date: 2016-02-20 05:25 am (UTC)Впрочем, неверие может тормозить его еще больше: вот Кронекер не верил в существование действительных чисел и сделал все возможное, чтобы отравить существование Кантора :(
no subject
Date: 2016-02-20 06:02 am (UTC)говорит о том, что мол будучи объективными математические объекты нам не даны "полностью", а вот если бы они были выдуманы, то мы бы знали все их свойства.
тут по моему, ошибка, заключающаяся в том, что познание это процесс.
Если мы останавливаем процесс, то имеем конечный свойства.
Если продолжаем, то во взаимодействии объектов, получаем новые свойства, до тех пор пока познание продолжается.
Никакой связи с искусственностью и объективностью, эта закономерность не имеет.
no subject
Date: 2016-02-20 06:27 am (UTC)А аргумент автора книжки, конечно, очень слабый :( Впрочем, он не останавливается специально на этом вопросе - природе чисел, а рассказывает историю понятия "бесконечность" - и достаточно интересно.
no subject
Date: 2016-02-20 08:06 am (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 11:22 am (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 01:19 pm (UTC)Печально, что столь абстрактная проблема, как существование чисел, могла привести к такой беспощадной вражде, какую питал к Кантору его учитель, Леопольд Кронекер :(
Впрочем, это еще не самая ужасная вражда, поводом к которой послужило расхождение в абстракных идеях - просто от математиков ожидаешь больше ума ;) Кантор-то был несомненный гений, но и Кронекер, как пишет автор книжки, внес значительный вклад в некоторые области математики (но не в анализ, которого не признавал).
no subject
Date: 2016-02-20 01:29 pm (UTC)Например, он пишет, что лестница бесконечностей Кантора - может быть, еще не все. Возможно, существует еще бесконечное число классов бесконечностей, каждый из которых так же отделен от класса канторовских бесконечностей, как они сами - от конечных чисел (в том смысле, что никакими математическими операциями над конечными числами нельзя получить бесконечность).
Такую штуку придумал Гедель (автор знаменитых теорем о неполноте), но никто пока не доказал это наверняка.
no subject
Date: 2016-02-20 02:16 pm (UTC)У неконтактного племени pirahã отсутствие развитой торговли и культуры запасать провизию обусловило отсутствие счёта. Больше 3 они не считают, да и сами эти три числительных обозначают не индивидуальные предметы, а что-то типа групп предметов, состоящих из разного количества предметов по ситуации или по субъективному взгляду говорящего.
Также в одной книге по египетской мифологии я встретила рассуждения о нумерологии, где говорилось об 11 богах, причём 11 раскладывалось на 10 и 5. 10 были отдельными "штуками", а 5 богов, хоть и тоже будучи отдельными, считались одной группой и к первым 10 прибавлялись как 1.
no subject
Date: 2016-02-20 02:26 pm (UTC)Так вот, из данных экспериментов следовало, что каждая из этих систем, по отдельности, есть также и у некоторых высших животных, но только у человека они наличествуют обе, и это и позволило нам создать математику.
К сожалению, я не запомнила имени докладчика (это было на большой конференции, где я была по профессиональному делу, а эта тема была для меня совершенно посторонней), и, когда я потом попробовала найти ее работы, то не смогла - так что я не могу поручиться за точность деталей. Но факт, что этими вещами активно занимаются, и это, конечно, страшно интересная область.
no subject
Date: 2016-02-20 02:30 pm (UTC)Что, касается платонизма, то по-моему это частный случай вечного спрора об универсалиях: номинализм vs. реализм.
no subject
Date: 2016-02-20 02:55 pm (UTC)Правда, некоторые места, по-моему, требуют все-таки более подробных пояснений, в частности: откуда взялось, что вероятность того, что, выбрав на прямой континуума произвольную точку, мы попадем на рациональное число, равна нулю? Понятно, что это следует именно из разной мощности множеств действительных и рациональных чисел, но как формально вычисляют вероятности в этом случае, я не знаю.
И несколько других доказательств, о которых автор даже и рассказывает несколько подробнее, я тоже не совсем поняла, но удовольствие от чтения это мне не испортило ;)
А из вещей, не относящихся непосредственно к математике, меня поразил факт путешествия Геделя с женой по Транссибу в 1939 году (или это была уже зима 40-го?) - вовремя они успели!
no subject
Date: 2016-02-20 03:03 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 05:08 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 05:11 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 05:28 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 05:41 pm (UTC)Это было самое приличное исполнение этого шедевра, которое я нашла в интернете, но мне удивительно, что этот мальчик называет себя автором музыки! В нашей компании пели эту песню по крайней мере с конца 70-х, и мелодия была та же самая. Интернет упоминает еще Юрия Лореса - вот он по возрасту подходит несколько больше, но его видео я не нашла.
no subject
Date: 2016-02-20 05:45 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 05:46 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 06:23 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 06:57 pm (UTC)Но ведь получается дурдом. Мощность множества рацинальных чисел счетно, но между двумя любыми рациональными числами помещается бесконечное число рациональных чисел. Только математики с их свободой на такое способны.
no subject
Date: 2016-02-20 07:01 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 07:12 pm (UTC)Но оно же будет по определению рациональным, т.к. будет получено в результате исполнения двух арифметических операций: 1) вычитание одного числа из другого; 2) деление полученного остатка на два ;)
"Мощность множества рацинальных чисел счетно, но между двумя любыми рациональными числами помещается бесконечное число рациональных чисел"
А где же здесь парадокс? Ведь счетность - это и есть бесконечность (низшего порядка). Я, знаете ли, с особой нежностью отношусь к Кантору, потому что когда-то самостоятельно додумалась до решения самой простой из его задач: доказательством счетности счетного числа множеств (т.е., того, что умножение алеф ноль на алеф ноль дает все равно алеф ноль), и радость от этого свершения я чувствую еще и сейчас ;) Это делается тем же самым "диагональным" способом, которым он сделал и самые важные свои открытия.
В том-то и дело, что Кантор открыл (изобрел?) какой-то совсем особенный мир ;)
no subject
Date: 2016-02-20 07:17 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 07:18 pm (UTC)