Сквозит двойная бесконечность
Feb. 19th, 2016 06:51 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
egovoruКантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?
Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.
Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)
Спасибо уважаемому ![[livejournal.com profile]](https://www.dreamwidth.org/img/external/lj-userinfo.gif){kind=small}
evgeniirudnyi за наводку на книжку.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2016-02-20 02:55 pm (UTC)Правда, некоторые места, по-моему, требуют все-таки более подробных пояснений, в частности: откуда взялось, что вероятность того, что, выбрав на прямой континуума произвольную точку, мы попадем на рациональное число, равна нулю? Понятно, что это следует именно из разной мощности множеств действительных и рациональных чисел, но как формально вычисляют вероятности в этом случае, я не знаю.
И несколько других доказательств, о которых автор даже и рассказывает несколько подробнее, я тоже не совсем поняла, но удовольствие от чтения это мне не испортило ;)
А из вещей, не относящихся непосредственно к математике, меня поразил факт путешествия Геделя с женой по Транссибу в 1939 году (или это была уже зима 40-го?) - вовремя они успели!
no subject
Date: 2016-02-20 05:11 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 05:45 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 06:57 pm (UTC)Но ведь получается дурдом. Мощность множества рацинальных чисел счетно, но между двумя любыми рациональными числами помещается бесконечное число рациональных чисел. Только математики с их свободой на такое способны.
no subject
Date: 2016-02-20 07:12 pm (UTC)Но оно же будет по определению рациональным, т.к. будет получено в результате исполнения двух арифметических операций: 1) вычитание одного числа из другого; 2) деление полученного остатка на два ;)
"Мощность множества рацинальных чисел счетно, но между двумя любыми рациональными числами помещается бесконечное число рациональных чисел"
А где же здесь парадокс? Ведь счетность - это и есть бесконечность (низшего порядка). Я, знаете ли, с особой нежностью отношусь к Кантору, потому что когда-то самостоятельно додумалась до решения самой простой из его задач: доказательством счетности счетного числа множеств (т.е., того, что умножение алеф ноль на алеф ноль дает все равно алеф ноль), и радость от этого свершения я чувствую еще и сейчас ;) Это делается тем же самым "диагональным" способом, которым он сделал и самые важные свои открытия.
В том-то и дело, что Кантор открыл (изобрел?) какой-то совсем особенный мир ;)
no subject
Date: 2016-02-20 07:17 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-20 07:20 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-22 02:58 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-23 12:08 am (UTC)Да, автор книжки это упоминает. Книжка эта - не столько биография Кантора, сколько история идеи бесконечности.
Что же касается представлений о бесконечности у греков, то не только этот автор, но и другие различают "потенциальную" бесконечность греков и "актуальную" новоевропейцев. Но от меня, признаться, это различие ускользает :( Может быть, Вы знаете, что имеется в виду?
no subject
Date: 2016-02-23 07:39 am (UTC)no subject
Date: 2016-02-23 01:27 pm (UTC)В моем представлении нелепо говорить об (объективном) "существовании" каких бы то ни было математических объектов; мне они представляются созданиями нашего ума ;) Я уже давно поняла, что большинство математиков - платонисты; но я не математик ;)
Различия же между актуальной и потенциальной бесконечностью я так и не понимаю; ведь речь идет об одной и той же бесконечности - например, бесконечности натурального ряда. Как только мы получаем его, мы получаем и бесконечность, разве нет? А греки же определенно умели считать?
(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:(no subject)
From:no subject
Date: 2016-02-22 03:10 pm (UTC)Если бы рациональные числа можно было пронумеровать последовательно натуральными числами, то их этими числами можно было бы просто заменить и не вводить новое числовое множество :)
no subject
Date: 2016-02-22 06:12 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-22 07:41 pm (UTC)В математических определениях существенно каждое слово! :)
PS Вы ошибаетесь, когда отождествляете понятие мощности бесконечных множеств с "числом элементов" конечных множеств.
no subject
Date: 2016-02-22 08:29 pm (UTC)В чем вы видите разницу между числом элементов и мощности в случае рациональных чисел? При переходе к последующим алеф вполне возможно, что "число элементов" уже никак не пройдет. Однако в случае алеф_нуль, "число элементов" вроде бы вполне можно использовать. Что этому мешает?
no subject
Date: 2016-02-23 08:01 am (UTC)"число элементов" в любых БЕСКОНЕЧНЫХ множествах - бесконечно, поэтому Кантору и понадобилось для их сравнения придумать понятие мощности бесконечных множеств. Это - не то же самое, что "число элементов"!
Изоморфизм - это не просто отображение множества на другое, но и сохранение при таком отображении соответствия математических структур, связывающих элементы внутри множеств.
Я уже писал, что на множестве натуральных чисел задана определенная (последовательная и дискретная) структура: за каждым его элементом следует единственный другой элемент этого же множества. В множестве рациональных чисел такой структуры нет!
"Нумеруя" рациональные числа, упорядоченные "по высоте (сумме числителя и знаменателя) дроби", доказывается их перечислимость натуральными числами (то есть счётность), но при этом нарушается их порядок. Поэтому одинаковая мощность этих двух множеств вовсе не достаточна, чтобы считать их "равными".
no subject
Date: 2016-02-23 06:14 pm (UTC)По-моему, из этого утверждения изоморфность множеств не следует. Про число элементов и мощность я уже ответил. Вы однако мой ответ в этом отношении проигнорировали.
(no subject)
From:no subject
Date: 2016-02-23 12:13 am (UTC)Гениальность Кантора в том и заключается, что он придумал способ, как можно их пронумеровать непоследовательно ;)
Мне кажется в высшей степени примечательным, что, в сущности, один и тот же "диагональный" прием работает для доказательства сразу нескольких важных результатов: того, что произведение алеф ноль на алеф ноль дает все равно алеф ноль, что кардинальность рациональных чисел - алеф ноль, и что кардинальность действительных - выше, чем алеф ноль. Поистине, одним махом - семерых убивахом ;)
no subject
Date: 2016-02-23 09:45 am (UTC)no subject
Date: 2016-02-23 01:43 pm (UTC)no subject
Date: 2016-02-28 11:06 pm (UTC)Так вот, Акзель пишет, что, если мы ткнем наугад в прямую действительных чисел, то вероятность того, что нам попадется рациональное число, будет ноль, а того, что иррациональное - единица.
Кранц же, разбирая некий "Парадокс Бертрана" (о вписанном треугольнике и хорде, глава 4.8.1) четко пишет (выделение мое): "when one is dealing with a probability space having infinitely many elements (that is to say, a problem in which there are infinitely many outcomes — in this case there are infinitely many positions for the random chord), then there are infinitely many different ways to fairly assign probabilities to those different outcomes." Иными словами, вероятность вообще не может быть однозначно определена на множестве, состоящем из бесконечного числа элементов, так что вопрос о том, на какое число мы попадем на числовой прямой, вообще не имеет смысла. Так ли это действительно?
no subject
Date: 2016-02-28 11:39 pm (UTC)"Вероятность" в понимании Паскаля и пр. - это совсем не то, что вероятность "по Колмогорову". Колмогоров связал вероятность с теорией меры. Поэтому как мы определим вероятностную меру на множестве, так и будем её вычислять. Если мера связана с римановым интегралом от "плотности вероятности" по переменным, пробегающим значения, образующие континуум, то любое его счетное подмножество имеет "меру нуль". Но можно определить меру и иначе. В общем - как договоримся, так и определим. Кстати, именно об аксиоматическом подходе Колмогорова к построению теории вероятностей автор и написал в конце этого параграфа.
no subject
Date: 2016-02-29 12:58 pm (UTC)Про теорию меры я, увы, никогда даже не слышала, но зато я уже вспомнила о волновой функции (в квантовой механике), которая, насколько я понимаю, как раз дает вероятность, определенную на континууме (пространственных координат).
no subject
Date: 2016-03-02 07:02 pm (UTC)Кстати, Кантор привел пример бесконечного подмножества множества действительных чисел ("Канторово множество", "Канторова пыль"), которое имеет мощность континуума, а меру (длину) 0.
У него топологическая размерность 0, а фрактальная (хаусдорфова) размерность ln2/ln3~0.63.
no subject
Date: 2016-03-03 11:33 am (UTC)