Сквозит двойная бесконечность

[egovoru]

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.

Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)

Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Comments

[joint-joint.livejournal.com]

>>еcли бы числа не существовали объективно, а были бы просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заведомо известны

если бы мы перестали шагать, мы бы уже давно стояли на месте...

числа существуют объективно и являются нашим изобретением,
если процесс соотнесения различных объектов не останавливать, свойства не будут конечными.

[egovoru.livejournal.com]

Боюсь, я не совсем поняла Вашу мысль :( Моя состояла в том, что представление об объективно существующих числах (и вообще математических объектах) может тормозить процесс развития математики :(

Впрочем, неверие может тормозить его еще больше: вот Кронекер не верил в существование действительных чисел и сделал все возможное, чтобы отравить существование Кантора :(

[joint-joint.livejournal.com]

просто человек (это цитата на сколько я понял)
говорит о том, что мол будучи объективными математические объекты нам не даны "полностью", а вот если бы они были выдуманы, то мы бы знали все их свойства.

тут по моему, ошибка, заключающаяся в том, что познание это процесс.
Если мы останавливаем процесс, то имеем конечный свойства.
Если продолжаем, то во взаимодействии объектов, получаем новые свойства, до тех пор пока познание продолжается.
Никакой связи с искусственностью и объективностью, эта закономерность не имеет.

[egovoru.livejournal.com]

Да, теперь я, кажется, поняла, что Вы имели в виду, и согласна с Вами: потому и вспомнила франкенштейнова монстра - вполне рукотворного, но именно что проявившего новые свойства в процессе его познания создателем ;)

А аргумент автора книжки, конечно, очень слабый :( Впрочем, он не останавливается специально на этом вопросе - природе чисел, а рассказывает историю понятия "бесконечность" - и достаточно интересно.