Сквозит двойная бесконечность

[egovoru]

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.

Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)

Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Comments

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Во времена Зенона иррациональные числа должны были бы известно. Поэтому здесь еще требуется доказать, что посредине между двумя рациональными числами находится именно рациональное число. Но я точно не знаю, может быть Зенон как раз это доказал.

Но ведь получается дурдом. Мощность множества рацинальных чисел счетно, но между двумя любыми рациональными числами помещается бесконечное число рациональных чисел. Только математики с их свободой на такое способны.

[egovoru.livejournal.com]

"требуется доказать, что посредине между двумя рациональными числами находится именно рациональное число"

Но оно же будет по определению рациональным, т.к. будет получено в результате исполнения двух арифметических операций: 1) вычитание одного числа из другого; 2) деление полученного остатка на два ;)

"Мощность множества рацинальных чисел счетно, но между двумя любыми рациональными числами помещается бесконечное число рациональных чисел"

А где же здесь парадокс? Ведь счетность - это и есть бесконечность (низшего порядка). Я, знаете ли, с особой нежностью отношусь к Кантору, потому что когда-то самостоятельно додумалась до решения самой простой из его задач: доказательством счетности счетного числа множеств (т.е., того, что умножение алеф ноль на алеф ноль дает все равно алеф ноль), и радость от этого свершения я чувствую еще и сейчас ;) Это делается тем же самым "диагональным" способом, которым он сделал и самые важные свои открытия.

В том-то и дело, что Кантор открыл (изобрел?) какой-то совсем особенный мир ;)

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Действительно по определению, спасибо. Надо просто чуть-чуть задуматься, что я почему-то не сделал. Это, по всей видимости, особенность мышления химиков - любую проблему следует начинать с литературного обзора. А тут следовало просто подумать.

[egovoru.livejournal.com]

Просто в обыденной жизни нам редко приходится думать о таких вещах, вот и все :)

[rock-25.livejournal.com]

О несоизмеримости диагонали и стороны квадрата знали ещё пифагорейцы. И держали это в секрете! Они считали, что эта информация может навредить вере в гармонию мира, отражаемую математикой (как они её понимали).

[egovoru.livejournal.com]

"О несоизмеримости диагонали и стороны квадрата знали ещё пифагорейцы"

Да, автор книжки это упоминает. Книжка эта - не столько биография Кантора, сколько история идеи бесконечности.

Что же касается представлений о бесконечности у греков, то не только этот автор, но и другие различают "потенциальную" бесконечность греков и "актуальную" новоевропейцев. Но от меня, признаться, это различие ускользает :( Может быть, Вы знаете, что имеется в виду?

[rock-25.livejournal.com]

Я не знаком с книгой, о которой Вы пишете. А в математике существует направление "Конструктивная математика", которая отличается как раз тем, что не допускает "актуальной бесконечности", и, соответственно, отличается от "теоретико-множественной математики" в некоторых аспектах, связанных с понятиями логики и анализа.

[egovoru.livejournal.com]

Да, я прочла о том, что в математике существует направление "финитизм", согласно которому бесконечности не имеют смысла. Но меня чрезвычайно смущает, когда вместо "не имеют смысла" (который можно ведь произвольно приписать или не приписывать) начинают говорить, что бесконечности "не существуют".

В моем представлении нелепо говорить об (объективном) "существовании" каких бы то ни было математических объектов; мне они представляются созданиями нашего ума ;) Я уже давно поняла, что большинство математиков - платонисты; но я не математик ;)

Различия же между актуальной и потенциальной бесконечностью я так и не понимаю; ведь речь идет об одной и той же бесконечности - например, бесконечности натурального ряда. Как только мы получаем его, мы получаем и бесконечность, разве нет? А греки же определенно умели считать?

[rock-25.livejournal.com]

Погуглите на досуге "конструктивная математика" и "конструктивная логика". Тогда станет более понятно, почему принятие или отказ от принятия "актуальной бесконечности" меняет и логику и анализ. Анализ весь построен на понятии предела. Из древних греков к нему вплотную подошёл Архимед (сохранился его трактат "Псаммит" - "исчисление песчинок"). Он, по-моему, был абсолютный гений, в отличие от распиаренного средневековыми европейскими католиками Аристотеля, но, заметьте, не чистый математик, а ещё и физик, механик, инженер...

"Бесконечность натурального ряда" для древних греков, очевидно, потенциальная: вера в принципиальную возможность указать следующее натуральное число за любым, уже указанным, дабавив единицу. При полном игнорировании вопросов о физической осуществимости такого процесса. То же самое и с доказательством бесконечности простых чисел у Евклида. То есть в этих случаях "бесконечность" понималась как неисчерпаемость.

Особенно наглядно, на мой взгляд, в комплексном анализе видно, что "бесконечность", как точка на расширенной комплексной плоскости, делает её топологически эквивалентной сфере (сфера Римана), а множество всех комплексных чисел - замкнутым. Если эту точку исключить, то топология комплексной плоскости станет другой, а множество комплексных чисел - открытым. То есть "бесконечность", включенная в множество комплексных чисел, представляется как актуальная.

Я тоже не математик, а физик. С теорией множеств меня знакомили в начале 8-го класса осенью 65-го года :) Тогда как раз результат Пола Коэна 1963-го г. был ещё свежей математической сенсацией.

Об изменяющихся со временем стандартах математических доказательств недавно вышла симпатичная книга Стивена Кранца: http://www.moscowbooks.ru/book.asp?id=824782

Здесь можно прочитать первые страницы этой книги: http://files.pilotlz.ru/pdf/cP70-5-ch.pdf

[egovoru.livejournal.com]

"Тогда станет более понятно, почему принятие или отказ от принятия "актуальной бесконечности" меняет и логику и анализ"

Мне непонятно не то, как отказ от бесконечности меняет анализ, а что вообще понимают под "актуальной" бесконечностью в отличие от "потенциальной"? Может быть, именно возможность арифметических операций с бесконечностями - что, как я понимаю, как раз Кантор первым и придумал?

Посмотрела оглавление Вашей книжки - обещает быть чрезвычайно интересной, если только не окажется слишком сложной для меня ;) Нашла в сети и полный текст (http://www.math.wustl.edu/~sk/books/proof.pdf) ее предыдущего издания (по-английски - но это, может, и к лучшему - не будет испорченного телефона).

[rock-25.livejournal.com]

Кантор придумал, как бесконечности можно классифицировать, то есть ввел понятие мощности бесконечных множеств и вывел всё, что из этого последовало, в частности, иерархию кардинальных чисел бесконечных множеств. В этой парадигме оказалось, что "бесконечность бесконечности - рознь":)

"Бесконечность" как, например, одно из комплексных чисел рассматривается в ТФКП и в других областях анализа (теории функций). Там это - такое же комплексное число, как любое другое, - точка "северного полюса" на сфере Римана. Но в этом случае - речь идет об отдельном числе, одном элементе множества комплексных чисел, а не о "количестве" элементов бесконечного множества (для которого, собственно, "количество элементов" уже не имеет смысла, а надо вводить вместо него другое, более общее, понятие. Например, канторовскую "мощность"). И в этом случае с числом "бесконечность" действительно можно выполнять вычисления, например, при преобразовании инверсии комплексной плоскости w= 1/z точка z="бесконечность" отображается в точку w=0. И наоборот 1/0="бесконечность".

Если рассматривать числа как отвлеченные элементы некоторых числовых множеств, то "бесконечность" можно включить в эти множества как один из элементов, описав его свойства относительно тех операций, которые на этом множестве определены.
Если числа - относительные, определяемые как значения величин, то тогда надо выяснить, какой смысл имеет бесконечное значение этой величины (и есть ли он вообще!).

Результат пересчета элементов множества - это, в сущности, некоторая измеренная этим пересчетом величина. Поэтому всплывает вопрос об осуществимости такого измерения и его смысле. Для древнегреческих математиков (философов) видимо, число было в первую очередь результатом измерения какой-то величины, в частности (для натуральных чисел) - пересчета "предметов" (хотя бы и абстрактных). Поэтому, как я уже писал, они, видимо, воспринимали в этом контексте "бесконечность", как потенциальную неисчерпаемость того, что пересчитывают или измеряют. То есть "бесконечность" как конкретный элемент для математического оперирования при таком подходе не мог рассматриваться.

[egovoru.livejournal.com]

Начала читать Вашу книжку и с удовлетворением обнаружила, что по крайней мере этот конкретный математик - точно не платонист: "Математика существует внутри логической системы, которую мы сами создали. И мы снабдили эту систему такой надежностью, воспроизводимостью и портативностью, на которые не может рассчитывать никакая другая наука" (выделение автора). За такую здравость смысла я даже прощаю ему то, что он-таки называет математику "наукой", хотя на самом деле это - совершенно другой род умственной деятельности ;)

[rock-25.livejournal.com]

Ну, это в русском языке "наука" - всё, чему можно "научить". По-английски математика - это часть Phylosophy, а Science - это наука, основанная на опытном знании. Вообще теперь психологически очень непросто отделить науку, как совокупность объективных знаний (надо ещё уточнять о чём и как полученных), от знаковых систем, которые для их описания и анализа разрабатываются и применяются. Фетишизация знаковых систем - одно из психологических следствий этого :)

[egovoru.livejournal.com]

На мой взгляд, математика - это вообщее отдельная категория умственных занятий. С философией ее сближает отсутствие опоры на эксперимент, но отличает гораздо более совершенный формализм.

Как известно, Спиноза попытался применить математический формализм к философии в своей "Этике", и читать его трактат очень забавно ;) А у Кранца я сейчас прочла, что, оказывается, такая же попытка была и у Гоббса. Результат автор характеризует так: "This quest was less than successful" ;)