Сквозит двойная бесконечность

[egovoru]

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.

Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)

Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Comments

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Тем не менее, число рациональных чисел равно числу натуральных чисел. Кантор как раз это доказал. То есть, рациональные числа вполне можно пронумеровать, однако получается, что нумерация не будет соотвествовать их положению на числовой оси.

[rock-25.livejournal.com]

Похоже, что Вы не обратили внимание на слово "последовательных" (чисел) в моём тексте. Именно это свойство натуральных чисел: за каждым натуральным числом СЛЕДУЕТ ещё ОДНО натуральное число, - существенно для натурального ряда. Рациональные числа таким свойством не обладают: нельзя указать единственное рациональное число, следующее за данным. То, что мощности этих множеств одинаковы, не делает их эквивалентными!

В математических определениях существенно каждое слово! :)

PS Вы ошибаетесь, когда отождествляете понятие мощности бесконечных множеств с "числом элементов" конечных множеств.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Я не сказал, что два множества эквивалентны. Я сказал, что рациональные числа можно пронумеровать.

В чем вы видите разницу между числом элементов и мощности в случае рациональных чисел? При переходе к последующим алеф вполне возможно, что "число элементов" уже никак не пройдет. Однако в случае алеф_нуль, "число элементов" вроде бы вполне можно использовать. Что этому мешает?

[rock-25.livejournal.com]

Вы написали: "...число рациональных чисел РАВНО числу натуральных чисел", - фактически подменив равноМОЩНОСТЬ множеств их эквивалентностью ("равенством"), под которой я имею в виду изоморфизм. Это - ошибка:
"число элементов" в любых БЕСКОНЕЧНЫХ множествах - бесконечно, поэтому Кантору и понадобилось для их сравнения придумать понятие мощности бесконечных множеств. Это - не то же самое, что "число элементов"!
Изоморфизм - это не просто отображение множества на другое, но и сохранение при таком отображении соответствия математических структур, связывающих элементы внутри множеств.
Я уже писал, что на множестве натуральных чисел задана определенная (последовательная и дискретная) структура: за каждым его элементом следует единственный другой элемент этого же множества. В множестве рациональных чисел такой структуры нет!
"Нумеруя" рациональные числа, упорядоченные "по высоте (сумме числителя и знаменателя) дроби", доказывается их перечислимость натуральными числами (то есть счётность), но при этом нарушается их порядок. Поэтому одинаковая мощность этих двух множеств вовсе не достаточна, чтобы считать их "равными".

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

"...число рациональных чисел РАВНО числу натуральных чисел"

По-моему, из этого утверждения изоморфность множеств не следует. Про число элементов и мощность я уже ответил. Вы однако мой ответ в этом отношении проигнорировали.

[rock-25.livejournal.com]

>В чем вы видите разницу между числом элементов и мощности в случае >рациональных чисел?

Разница простая:
Мощность множества - новое понятие, обобщающее понятие "число элементов множества" настолько, что применимо и к бесконечным множествам, в которых число элементов по определению БЕСКОНЕЧНО. Введя это понятие Кантор и создал тот инструмент, с помощью которого появилась возможность классифицировать бесконечные множества. Численного значения кардинальные числа бесконечных множеств не имеют!

О структуре двух обсуждаемых множеств я написал, поскольку изначально Вы написали:
>Недавно я услышал, что на числовой оси у рационального числа нельзя >найти предыдущее и следующее число. И это несмотря на то, что число >рациональных чисел счетно.

То есть Вам не было понятно, что равномощность множеств не исключает различия в их структуре, а оно в этом случае в том и состоит, что среди натуральных чисел существуют пары различных (соседних) чисел, между которыми нет никакого другого натурального числа, а среди рациональных чисел между любой парой различных чисел можно указать третье (не равное ни одному из исходной пары) рациональное число.
Структура натурального ряда задана, в частности, тем, что за любым натуральным числом непосредственно следует строго ещё одно натуральное число на единицу бОльшее. То есть понятия "следующее число", "соседнее число" заложены в этой структуре.