Сквозит двойная бесконечность

[egovoru]

Георг Кантор был первым, кто осознал, что бесконечности тоже бывают разного «размера». Самая «маленькая», фундаментальная бесконечность – множество натуральных чисел. А вот множество всех подмножеств этого множества представляет собой уже следующую ступень: его элементы нельзя пересчитать – поставить в однозначное соответствие числам натурального ряда. Переходя к множеству подмножеств снова и снова, мы поднимаемся по бесконечной лестнице бесконечностей.

Кантор верил, что действительные числа – от Бога, и, похоже, именно эта вера и свела его сначала с ума, а потом в могилу. Он доказал, что совокупность действительных чисел – континуум – превышает по своей мощности множество натуральных. Но где именно она располагается в иерархии бесконечностей, какую ступень занимает?

Кантор попеременно то почти доказывал, то почти исключал, что вторую – но так и не смог придти к окончательному выводу. Неудивительно: через полвека после его смерти Пол Коэн установит неразрешимость этой задачи в системе принятых аксиом – и получит Филдсовскую премию. А Кантор, с его верой в божественное происхождение чисел, наверное, просто не мог допустить подобной несуразности.

Автор книжки, излагающей эту историю, тоже пытается отстаивать объективное существование чисел. Аргументирует он от противного: если бы числа были просто нашим изобретением, то все их свойства были бы нам уже заранее известны; на деле же мы постоянно открываем что-то новое. Похоже, он совсем забыл ожившего монстра доктора Франкенштейна :)

Девиз Кантора, высеченный на памятнике ему в Халле: «Свобода – вот сущность математики» (фото с сайта Halle im Bild). А формула – математическая запись утверждения, что континуум располагается на второй ступеньке лестницы бесконечностей.

Спасибо уважаемому evgeniirudnyi за наводку на книжку.

Comments

[egovoru.livejournal.com]

"В неканторовских теориях множеств может быть сколько угодно промежуточных кардинальных чисел бесконечных множеств в указанном промежутке. Это - вопрос выбора аксиом"

Да, автор рассказывает и об этом, только он сосредотачивается именно на вопросе о положении континуума на шкале алефов, а не на ее структуре вообще.

Меня заинтересовала здесь явная связь чисто математической мысли с философской. Кантору, по-видимому, идея произвольности выбора аксиом была совершенно чужда: он ведь полагал, что проникает в замысел Всевышнего, а в нем, понятное дело, не может быть никаких нестыковок. А вот Гедель, по всей видимости, относился к математике уже иначе, как к системе произвольных договоренностей - правда, автор книжки ничего не говорит на этот счет.

[rock-25.livejournal.com]

Теория множеств и логика - тесно взаимосвязаны, если не вообще едины. Логика одновременно и часть (или даже основа) философии. Логика до Рассела, Гёделя, Поппера и после них - это совершенно разные по уровню развития и глубине науки. Кантор и Гильберт ещё не осознавали, что "континуум-гипотеза" может быть решена так, как это сделал Пол Коэн в 1963 г. Филдсовская медаль в 1966 г. была ему присуждена "за изучение логики".

Вы несколько упрощаете позицию Гёделя: всё-таки речь идёт о системах логически непротиворечивых аксиом, которых (систем) может быть много, но каждая система должна быть внутренне согласована.
На мой взгляд именно после Гёделя можно отказаться от платоновского реализма.

[egovoru.livejournal.com]

"На мой взгляд именно после Гёделя можно отказаться от платоновского реализма"

Да, но, насколько я понимаю, этого все равно не случилось: большинство современных математиков (кто вообще об этом задумывается!) все равно верят в платонический мир ;)

[benni72.livejournal.com]

Во всяком случае, Гедель логически доказывал существование Бога. Правда, есть сведения, что это было для него лишь упражнением. Но, по другим источникам, он верил в Бога, несмотря на нерелигиозное воспитание. См. https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_ontological_proof

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо, очень интересно. Я, однако, думаю, что всякое намерение доказать существование Бога основано на неверном понимании самой этой идеи, потому что Бог - это по определению то, существование чего доказать нельзя ;) Точнее, от противного: если нечто заведомо существует, то оно уже не Бог, а обычный объект, который можно изучать методами естествознания; весь же смысл идеи Бога состоит в том, что она "замыкает" цепь причинно-следственных связей там, где та уже исчезает за горизонтом нашего знания ;)

Что же касается "доказательства" Геделя, то, как и пишут авторы Вашей статьи, проблема его не в логической цепочке, которую он строит, исходя из своих аксиом, а в том, насколько справедливы сами его аксиомы.

Во всяком случае, что бы Гедель ни думал о Боге, это не помешало ему доказать его теоремы, а вот Кантору, судя по всему, помешало понять независимость мощности континуума от других аксиом.