И помни, легиону нет числа

[egovoru]

Понятие долга старо как мир: долговые расписки попадаются уже среди самых первых текстов, написанных человечеством. Казалось бы, нет ничего естественнее, чем обозначить величину долга отрицательным числом – но нет: эти числа появляются в истории математики сравнительно поздно и приживаются с большим трудом. Тo же и с иррациональными числами: казалось бы, вот есть квадрат с единичной стороной, в котором всякий может провести диагональ – так почему бы не обозначить числом длину этой диагонали?

Сегодня трудно понять, почему отрицательные и иррациональные числа вызывали когда-то проблемы – в школе нас сравнительно рано приучают к представлению о числе как о точке на числовой прямой. (Кстати, мне кажется, можно было бы уже в школе ввести и комплексные числа – ведь точки на числовой плоскости представить себе так же легко, как и точки на числовой прямой). Но первоначально число обозначало не количество, а только порядковый номер при счете предметов. Нейрофизиологи обнаружили, что у нас в мозгу есть два разных функциональных модуля. Один, присутствующий также и у других животных – для операций с непрерывно меняющимся количеством при помощи понятий «больше» и «меньше», и другой, тесно связанный с языком – для репрезентации дискретных объектов. Согласованная работа этих модулей и позволила нам создать математику.

Желание обегчить манипуляцию абстрактными символами – сделать так, чтобы у уравнений х + 2 = 1 и x² = 2 тоже были корни – в конце концов вынудило распространить понятие числа на отрицательные и иррациональные числа. Когда же отрицательные числа стали привычными, захотелось назначить числом и корень уравнения x² = -1.

Но вот арифметические операции с (актуальными) бесконечностями, на которые осмелился Георг Кантор, вызвали самое упорное сопротивление современников. Можно понять тех из них, кто, как прежде Огюстен Коши, считал бесконечность доменом Бога, куда человеку не следует соваться. Но от меня ускользает сущность возражений, например, Германа Гельмгольца, твердо уверенного, что числа – это изобретение человеческого ума.

Ассирийская глиняная табличка с долговой распиской
(приблизительно 20-19 век до н.э.) из коллекции Metropolitan Museum of Art

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Образование (https://www.livejournal.com/category/obrazovanie?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Нет, Фрэнк - тебе нужна отдельная категория "Математика", которой, похоже, у тебя нет.

[bluxer.livejournal.com]

Ноль и тот не сразу придумали.
Это же большое достижение: назвать ничто чем-то.

[egovoru.livejournal.com]

Да, ноль - это, конечно, было гениальное нововведение! Правда, за него пришлось заплатить дорогую цену: ввести запрет деления на ноль. Мне понятно, почему он необходим, но все равно он мне как-то не нравится, потому что делает систему арифметики несимметричной и вследствие этого уродливой. А у Вас нет такого ощущения?

[serge no (from livejournal.com)]

Обозначение ничего чем-то естественным образом возникает в позиционных системах записи чисел, просто из желания избежать двусмысленности при отсутствии такого обозначения. При этом соответствующий символ сначала означает только, что ничего нет в данном разряде, а не вообще "ничего".

[yoginka.livejournal.com]

//(Кстати, мне кажется, можно было бы уже в школе ввести и комплексные числа //
- Разве в ваше время их не проходили в школе? Мы (в обычной школе) решали квадратные уравнения в пятом или шестом классе.

[egovoru.livejournal.com]

Да, квадратные уравнения были - а комплексных чисел не было не то что в школе, но даже и на биофаке :(

[riftsh.livejournal.com]

Виленкин, Гутер, Шварцбурд, Овчинский, Ашкинузе. Алгебра 9-10 класс. 1968

[egovoru.livejournal.com]

У нас был вот такой учебник (https://meshok.net/en/item/287687223_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%B8_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0_%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA_9_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81_1979) (на сайте по ссылке можно посмотреть и огравление) - комплексных чисел там нет (может, их убрали за счет введения начал анализа?). А 10-й класс был вот такой (https://meshok.net/en/item/274240552_%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%B8_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0_10_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%90_%D0%9D_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D0%B7%D0%B4_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_1978_%D0%B3).

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

>Согласованная работа этих модулей и позволила нам создать математику.

Интересно, что в этом утверждении следует непосредственно из экспериментальных наблюдений и что из априорных убеждений.

[egovoru.livejournal.com]

Насколько я помню, было показано, что и тот, и другой модули задействованы при решении математических задач, но, честно сказать, я довольно давно читала эти работы и уже подзабыла детали. Вы можете сами с ними ознакомиться в статье по ссылке. Правда, там нужна подписка на журнал - если у Вас нет доступа, я могу прислать Вам эту статью.

[xxxxx.livejournal.com]

почему же вызывали проблемы «когда-то»? до сих пор, вот недавно была с позволения сказать дискуссия на тыщу каментов по поводу вот этого
https://trinixy.ru/240853-v-seti-obsuzhdayut-vopros-iz-igry-kto-hochet-stat-millionerom-otvetit-mogut-ne-mnogie.html

[egovoru.livejournal.com]

Ну, там исходный вопрос был сформулирован невнятно. А история с работами Кантора меня занимает потому, что их неприятие ведь было связано не с какими-то его ошибками, а с чисто идеологическими соображениями, которые сегодня уже очень трудно понять.

[ald1976.livejournal.com]

Когда же отрицательные числа стали привычными, захотелось назначить числом и корень уравнения x2 = -1......

Занудства ради, историческая последовательность была иная.

Вначале комплексные числа понадобились Кардано для промежуточных вычислений при получении действительного корня кубического уравнения. И только через сотню-другую лет после этого комплексные числа получили самоценный статус.

[egovoru.livejournal.com]

Пусть уравнение было другое, но существенно, что оно было именно уравнением - то есть, расширение понятия числа потребовалось для сугубо формальных упражнений с символами, а не для описания какой-то физической реальности. Впрочем, плоскость комплексных чисел - тоже реальность не физическая :)

[lenivtsyn.livejournal.com]

А вот для меня то, что числа – это изобретение человеческого ума, как раз очевидно, а зато корень из минус единицы – какой-то чебурашка с мотором.

[egovoru.livejournal.com]

"зато корень из минус единицы – какой-то чебурашка с мотором"

Мне кажется, Вики хорошо объясняет, откуда это взялось:

"В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении (то есть против часовой стрелки), а уравнение i2 = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, результатом будет один поворот на 180 градусов. При этом поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что −i также является решением уравнения x2 = −1. Как правило, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат аргумента комплексного числа с последующим масштабированием по его величине".

[anti0h.livejournal.com]

Интересно, а есть ли специальные работы про эволюцию математической нотации?
В смысле, вот есть замечательная "История цифр" Меннигера. А вот есть ли что-то приблизительно такое-же, только про то, как математики записывали свои действия? Ведь способ выражения, это важная часть мышления вообще, а математического — тем более.

[b-graf.livejournal.com]

В русской Вике есть ссылки на такие работы (в статье "История математических обозначений")

[egovoru.livejournal.com]

Мне попалась вот такая книжка (https://platona.net/load/knigi_po_filosofii/istorija_nauki/aleksandrova_n_v_istorija_matematicheskikh_terminov_ponjatij_oboznachenij_slovar_spravochnik_izd_3_ispr/51-1-0-794) - там, кажется, доступен полный текст.

"В настоящей книге, одной из немногих в отечественной и мировой научной литературе, приводятся сведения о математических понятиях, терминах и обозначениях. Читатель узнает, кто и когда ввел понятие, определение и термин; как оно называлось при своем первом появлении; когда возник современный термин и кем он был предложен; что он означает в точном переводе на русский язык; кому принадлежит обозначение (если оно имеется). Сведения даются в алфавитном порядке".

[greygreengo.livejournal.com]

Математика — это долг, взятый нами из языка, который мы забыли вернуть.

[egovoru.livejournal.com]

Ого, лихо закручено! Я даже не уверена, что понимаю, что Вы хотели сказать?

Без комплексных чисел не обойтись.

[verum-corpus.livejournal.com]

Попытка ограничиться действительнозначными функциями при описании мира всё время ведёт в тупик детерминизма.
Между тем, в основе реальности лежит свобода, и вообще "в природе духовной сущности нет принуждения", как замечено Св.Максимом (диспут с Пирром).
Поэтому на откуп законам физики должны быть отданы амплитуды векторов (волновых функций), описывающих объекты, фазы же в рамках физики остаются неопределёнными (произвольными), - свобода никуда не девается на любом уровне и математическим аппаратом не сковывается.

Re: Без комплексных чисел не обойтись.

[egovoru.livejournal.com]

"на откуп законам физики должны быть отданы амплитуды векторов (волновых функций), описывающих объекты, фазы же в рамках физики остаются неопределёнными (произвольными)"

Честно сказать, я не уловила, о чем Вы толкуете - о квантовой механике?

Полуофтоп, о пользе математики для детей

[Алексей Орлов (from livejournal.com)]

Вы писали, насколько математика для (вообще всех) детей полезна. Соображения, что бывает не в коня корм (речь не об умственно отсталых), всерьез не принимались.

Вот менее радужный взгляд:

https://ibigdan.livejournal.com/21942430.html

Re: Полуофтоп, о пользе математики для детей

[egovoru.livejournal.com]

Так ведь размышления по ссылке как раз о том, что несчастных детей уже задолбали неверно преподаваемой математикой - так что не математика как таковая вредна, а нынешний способ ее преподавания.

Разумеется, всегда будут дети, которым даже идеальный учитель - каким был для меня Р.К. Гордин - ничего не сможет дать. Но надо же хотя бы попробовать привести коня к водопою, если уж нельзя заставить его пить?