И помни, легиону нет числа

[egovoru]

Понятие долга старо как мир: долговые расписки попадаются уже среди самых первых текстов, написанных человечеством. Казалось бы, нет ничего естественнее, чем обозначить величину долга отрицательным числом – но нет: эти числа появляются в истории математики сравнительно поздно и приживаются с большим трудом. Тo же и с иррациональными числами: казалось бы, вот есть квадрат с единичной стороной, в котором всякий может провести диагональ – так почему бы не обозначить числом длину этой диагонали?

Сегодня трудно понять, почему отрицательные и иррациональные числа вызывали когда-то проблемы – в школе нас сравнительно рано приучают к представлению о числе как о точке на числовой прямой. (Кстати, мне кажется, можно было бы уже в школе ввести и комплексные числа – ведь точки на числовой плоскости представить себе так же легко, как и точки на числовой прямой). Но первоначально число обозначало не количество, а только порядковый номер при счете предметов. Нейрофизиологи обнаружили, что у нас в мозгу есть два разных функциональных модуля. Один, присутствующий также и у других животных – для операций с непрерывно меняющимся количеством при помощи понятий «больше» и «меньше», и другой, тесно связанный с языком – для репрезентации дискретных объектов. Согласованная работа этих модулей и позволила нам создать математику.

Желание обегчить манипуляцию абстрактными символами – сделать так, чтобы у уравнений х + 2 = 1 и x² = 2 тоже были корни – в конце концов вынудило распространить понятие числа на отрицательные и иррациональные числа. Когда же отрицательные числа стали привычными, захотелось назначить числом и корень уравнения x² = -1.

Но вот арифметические операции с (актуальными) бесконечностями, на которые осмелился Георг Кантор, вызвали самое упорное сопротивление современников. Можно понять тех из них, кто, как прежде Огюстен Коши, считал бесконечность доменом Бога, куда человеку не следует соваться. Но от меня ускользает сущность возражений, например, Германа Гельмгольца, твердо уверенного, что числа – это изобретение человеческого ума.

Ассирийская глиняная табличка с долговой распиской
(приблизительно 20-19 век до н.э.) из коллекции Metropolitan Museum of Art

Comments

[serge no (from livejournal.com)]

Я бы не сказал, что векторы, векторные пространства — "близкая" концепция. Это скорее только составная часть. Берётся векторное пространство, и к нему добавляется кое-что ещё. Получается, чисто формально введённые комплексные числа поддаются всяким манипуляциям (подобно тригонометрическим функциям, тоже можно долго с ними упражняться) и полезны в каких-то приложениях, которые в школе не проходят, но как идея? Допустим, есть пары чисел. Они дают двумерную плоскость, вектора и т.д. А мнимая единица-то тут при чём?

[egovoru.livejournal.com]

А Вы какие идеи предложили бы добавить в школьную математику, чтобы сделать ее более увлекательной? По другой ветке тут уже предложили логику, и мне кажется, это хорошая мысль.

[serge no (from livejournal.com)]

А что такого увлекательного в логике (и какой именно логике)? Всякие исчисления очень формальны, упражнения в них зубодробительны. Не знаю, у меня лично нет такого зуда, из-за которого люди всё время мечтают одарить ещё чем-нибудь "увлекательным", "полезным" и пр. несчастных школьников.

[egovoru.livejournal.com]

Мне кажется, не так важно, какие именно именно идеи включать в школьную математику, но важно в принципе увеличить число идей, уменьшив число однотипных упражнений на каждую из них, т.е., повысить соотношение идея/упражнение. Например, ввели идею логарифма, дали 100 упражнений с ними и перешли к следующей идее, а не дали еще 100 упражнений с логарифмами же.

[serge no (from livejournal.com)]

Если открыть любой учебник, то там никаких ста и ещё ста упражнений с логарифмами или чем бы то ни было не будет. Максимум десятка два, как правило, меньше. Сотни упражнений — это уже сборники задач, которые не учебники, и решение которых от корки до корки ни в какие программы не входит. Откуда такие оценки соотношения "идей" и упражнений, я не знаю. Потом, с голыми идеями вообще невозможно решение каких-либо задач, кроме нахождения значений по таблицам Брадиса или, по новой моде, с помощью калькулятора. Чтобы выполнять какие-то аналитические действия, к идеям ещё нужны теоремы и формулы. Часто, если это не очень сложно, они выводятся на уроках. Это нужно? Или, может, к надо к голой идее перечислить голые же формулы, сделать пяток упражнений и перейти к следующей "идее"? Уверен, что на каждого так считающего найдётся минимум один, считающий ровно наоборот.

[egovoru.livejournal.com]

"может, к надо к голой идее перечислить голые же формулы, сделать пяток упражнений и перейти к следующей "идее"?"

Нет, конечно, одних голых идей недостаточно, но упражнения должны быть более разнообразными, иначе они быстро надоедают. Мне вообще-то грех жаловаться - в двух последних классах у меня был замечательный учитель, и это было спасением, потому что предыдущие учителя успели почти совсем похоронить мой интерес к предмету.

[serge no (from livejournal.com)]

Да они и есть разнообразные, насколько это возможно. Не заставляют же в каком-нибудь 6 или 7 классе умножать 2 на 2, потом 2 на 3, и так до 100. Но если проходятся, например, системы линейных уравнений, то в упражнениях будут линейные уравнения, а не квадратные или ещё что. Куда денешься? И упражнения эти должны заведомо выполняться если не всеми, то большинством с помощью изученных инструментов. "Интересные задачи", которые могут решаться, а могут не решаться, если не хватает сообразительности, — это уже другой жанр.

[egovoru.livejournal.com]

Возможно, Вам больше повезло в этом отношении - ведь одну и ту же программу можно преподавать по-разному? Мне, как я уже написала, замечательно повезло в 9-10 классах, но до того это было именно бесконечное деление синуса на косинус и обратно :(

[serge no (from livejournal.com)]

Я, конечно, извиняюсь, но это прямо как результат полученной психологической травмы звучит. )) Вы там в лапы какого-то маньяка-синусопоклонника попали, что ли?-) Много всякого скучного бывало, но чтобы вот так что-то одно помнилось как бесконечное спустя столько лет?! Ведь тригонометрические упражнения, насколько я помню (и при том очень смутно, как ничем не выдающиеся в ряду других), заключаются в подборе преобразований, с тем чтобы упростить выражения и получить в итоге результаты без функций, в каких-нибудь дробях/радикалах, или решить уравнения. Это же не какое-то чисто механическое действие вроде умножения чисел в столбик, в конце концов.

[egovoru.livejournal.com]

"тригонометрические упражнения <...> заключаются в подборе преобразований, с тем чтобы упростить выражения и получить в итоге результаты без функций"

Да, это они самые, только я не помню, чтобы функции всегда сокращались: цель была просто из длинной кракозябры получить короткую. Может, просто это мне лично такие занятия кажутся особо скучными? Мне и алгебраические преобразования не нравились, даже когда они без синусов, а вот когда в 9-м классе вдруг появилась комбинаторика, вот это было да! Геометрия тоже была ничего, и пределы с производными.

[serge no (from livejournal.com)]

"комбинаторика, вот это было да!"

Казалось бы, всякие манипуляции с биномиальными коэффициентами не сильно веселее тригонометрических преобразований, не говоря уже о производящих функциях...

[egovoru.livejournal.com]

Просто это было нечто новое.

Логика

[sergecpp.livejournal.com]

Логика была в школах.

Логика. Учебник для средней школы (1954).
Автор: Виноградов, Кузьмин.

https://ai-news.ru/2019/03/logika_i_psihologiya_v_sovetskih_shkolah_pri_staline.html

Re: Логика

[egovoru.livejournal.com]

Да, я знаю, что когда-то была - она и в средневековый тривиум когда-то входила! Мне кажется, это одна из вещей, которую можно было бы вернуть в школьную программу - за счет уменьшения числа упражнений на алгебраические и тригонометрические преобразования. А Вы как думаете?

Re: Логика

[sergecpp.livejournal.com]

Наверное, да.
(Ниже -- копия моего комментария лет пяти назад.)

Мне очень помогла прекрасная книжка крошечного формата ("квадратик" такой голубенький), которую я и сейчас помню, только автора забыл. В гугле нашёл. Привожу автора, название и аннотацию.

К. Хаваш "Так - логично!"

Издательство: М.: Прогресс
Переплет: мягкий; 272 страниц; 1985 г.
ISBN: [не указан]; Формат: уменьшенный
Язык: русский
Художник Бела Титтаманти.
Тираж 20000 экз.

Что такое логика? Что значит логично и нелогично? В книге остроумно, в популярной форме рассматриваются вопросы так называемой практической логики. Обращаясь, прежде всего к молодежи, автор книги, известный в Венгрии специалист по логике, доктор философских наук, знакомит читателей с некоторыми формами и приемами мышления, которые люди применяют не только в процессе научного познания, но и в повседневной мыслительной деятельности.

Re: Логика

[egovoru.livejournal.com]

Здорово - мне такая книжка не попадалась.

Re: Логика

[sergecpp.livejournal.com]

Вот интересные ссылки.

The "Fallacy Files" Taxonomy of Logical Fallacies
http://fallacyfiles.org/taxonnew.htm

The Tree of Knowledge Obfuscation
Over 3,000 Fallacies, Errors and Methods of Crooked Thinking
Grouped by Category of Misrepresentation
https://theethicalskeptic.com/the-tree-of-knowledge-obfuscation/

Re: Логика

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо!