И помни, легиону нет числа

[egovoru]

Понятие долга старо как мир: долговые расписки попадаются уже среди самых первых текстов, написанных человечеством. Казалось бы, нет ничего естественнее, чем обозначить величину долга отрицательным числом – но нет: эти числа появляются в истории математики сравнительно поздно и приживаются с большим трудом. Тo же и с иррациональными числами: казалось бы, вот есть квадрат с единичной стороной, в котором всякий может провести диагональ – так почему бы не обозначить числом длину этой диагонали?

Сегодня трудно понять, почему отрицательные и иррациональные числа вызывали когда-то проблемы – в школе нас сравнительно рано приучают к представлению о числе как о точке на числовой прямой. (Кстати, мне кажется, можно было бы уже в школе ввести и комплексные числа – ведь точки на числовой плоскости представить себе так же легко, как и точки на числовой прямой). Но первоначально число обозначало не количество, а только порядковый номер при счете предметов. Нейрофизиологи обнаружили, что у нас в мозгу есть два разных функциональных модуля. Один, присутствующий также и у других животных – для операций с непрерывно меняющимся количеством при помощи понятий «больше» и «меньше», и другой, тесно связанный с языком – для репрезентации дискретных объектов. Согласованная работа этих модулей и позволила нам создать математику.

Желание обегчить манипуляцию абстрактными символами – сделать так, чтобы у уравнений х + 2 = 1 и x² = 2 тоже были корни – в конце концов вынудило распространить понятие числа на отрицательные и иррациональные числа. Когда же отрицательные числа стали привычными, захотелось назначить числом и корень уравнения x² = -1.

Но вот арифметические операции с (актуальными) бесконечностями, на которые осмелился Георг Кантор, вызвали самое упорное сопротивление современников. Можно понять тех из них, кто, как прежде Огюстен Коши, считал бесконечность доменом Бога, куда человеку не следует соваться. Но от меня ускользает сущность возражений, например, Германа Гельмгольца, твердо уверенного, что числа – это изобретение человеческого ума.

Ассирийская глиняная табличка с долговой распиской
(приблизительно 20-19 век до н.э.) из коллекции Metropolitan Museum of Art

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Образование (https://www.livejournal.com/category/obrazovanie?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[bluxer.livejournal.com]

Ноль и тот не сразу придумали.
Это же большое достижение: назвать ничто чем-то.

[yoginka.livejournal.com]

//(Кстати, мне кажется, можно было бы уже в школе ввести и комплексные числа //
- Разве в ваше время их не проходили в школе? Мы (в обычной школе) решали квадратные уравнения в пятом или шестом классе.

[riftsh.livejournal.com]

Виленкин, Гутер, Шварцбурд, Овчинский, Ашкинузе. Алгебра 9-10 класс. 1968

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

>Согласованная работа этих модулей и позволила нам создать математику.

Интересно, что в этом утверждении следует непосредственно из экспериментальных наблюдений и что из априорных убеждений.

[xxxxx.livejournal.com]

почему же вызывали проблемы «когда-то»? до сих пор, вот недавно была с позволения сказать дискуссия на тыщу каментов по поводу вот этого
https://trinixy.ru/240853-v-seti-obsuzhdayut-vopros-iz-igry-kto-hochet-stat-millionerom-otvetit-mogut-ne-mnogie.html

[ald1976.livejournal.com]

Когда же отрицательные числа стали привычными, захотелось назначить числом и корень уравнения x2 = -1......

Занудства ради, историческая последовательность была иная.

Вначале комплексные числа понадобились Кардано для промежуточных вычислений при получении действительного корня кубического уравнения. И только через сотню-другую лет после этого комплексные числа получили самоценный статус.

[lenivtsyn.livejournal.com]

А вот для меня то, что числа – это изобретение человеческого ума, как раз очевидно, а зато корень из минус единицы – какой-то чебурашка с мотором.

[egovoru.livejournal.com]

Нет, Фрэнк - тебе нужна отдельная категория "Математика", которой, похоже, у тебя нет.

[egovoru.livejournal.com]

Да, ноль - это, конечно, было гениальное нововведение! Правда, за него пришлось заплатить дорогую цену: ввести запрет деления на ноль. Мне понятно, почему он необходим, но все равно он мне как-то не нравится, потому что делает систему арифметики несимметричной и вследствие этого уродливой. А у Вас нет такого ощущения?

[egovoru.livejournal.com]

Да, квадратные уравнения были - а комплексных чисел не было не то что в школе, но даже и на биофаке :(

[egovoru.livejournal.com]

У нас был вот такой учебник (https://meshok.net/en/item/287687223_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%B8_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%BE_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0_%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA_9_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81_1979) (на сайте по ссылке можно посмотреть и огравление) - комплексных чисел там нет (может, их убрали за счет введения начал анализа?). А 10-й класс был вот такой (https://meshok.net/en/item/274240552_%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D0%B8_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0_10_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81_%D0%BF%D0%BE%D0%B4_%D1%80%D0%B5%D0%B4_%D0%90_%D0%9D_%D0%9A%D0%BE%D0%BB%D0%BC%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B8%D0%B7%D0%B4_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_1978_%D0%B3).

[egovoru.livejournal.com]

Насколько я помню, было показано, что и тот, и другой модули задействованы при решении математических задач, но, честно сказать, я довольно давно читала эти работы и уже подзабыла детали. Вы можете сами с ними ознакомиться в статье по ссылке. Правда, там нужна подписка на журнал - если у Вас нет доступа, я могу прислать Вам эту статью.

[egovoru.livejournal.com]

Ну, там исходный вопрос был сформулирован невнятно. А история с работами Кантора меня занимает потому, что их неприятие ведь было связано не с какими-то его ошибками, а с чисто идеологическими соображениями, которые сегодня уже очень трудно понять.

[egovoru.livejournal.com]

Пусть уравнение было другое, но существенно, что оно было именно уравнением - то есть, расширение понятия числа потребовалось для сугубо формальных упражнений с символами, а не для описания какой-то физической реальности. Впрочем, плоскость комплексных чисел - тоже реальность не физическая :)

[egovoru.livejournal.com]

"зато корень из минус единицы – какой-то чебурашка с мотором"

Мне кажется, Вики хорошо объясняет, откуда это взялось:

"В этом представлении умножение на –1 соответствует повороту на 180 градусов относительно начала координат. Умножение на i соответствует повороту на 90 градусов в «положительном» направлении (то есть против часовой стрелки), а уравнение i2 = −1 интерпретируется как говорящее о том, что если мы применим два поворота на 90 градусов относительно начала координат, результатом будет один поворот на 180 градусов. При этом поворот на 90 градусов в «отрицательном» направлении (то есть по часовой стрелке) также удовлетворяет этой интерпретации. Это отражает тот факт, что −i также является решением уравнения x2 = −1. Как правило, умножение на комплексное число аналогично вращению вокруг начала координат аргумента комплексного числа с последующим масштабированием по его величине".

[xxxxx.livejournal.com]

да вроде внятно, все четыре варианта совершенно не подходят. Это в головах невнятно было, есть и всегда будет

[yoginka.livejournal.com]

Странно. Вам не давали общую формулу для корней квадратного уравнения? Если давали, то что вас учили делать, когда b²-4ac < 0 ?

[yoginka.livejournal.com]

Это учебник для 9-го класса. Комплексные числа вводились раньше. Какие учебники у вас были в 5-6-7 классах?

[egovoru.livejournal.com]

Честно сказать, я уже и не помню, как эти учебники выглядели, но, судя по году издания, в 8-м классе учебник у нас был такой (https://meshok.net/en/item/140621032_%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D1%83%D1%87%D0%B5%D0%B1%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_8_%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0_%D0%B2%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%B6_1978_%D0%B3%D0%BE%D0%B4). Не думаете же Вы, что я могла забыть, что у нас были комплексные числа? Это очень маловероятно. Скан учебника алгебры 9-10 класса, которым пользовались до нашего, колмогоровского, приведенный предыдущим комментатором, показывает, что комплексные числа там действительно есть, причем именно в 9-м или 10-м классе (не знаю, на какой класс приходилась 5-я глава?).

[egovoru.livejournal.com]

Полагаю, нам таких уравнений просто не давали.

[egovoru.livejournal.com]

В каком-то предыдущем обсуждении я уже рассказывала, откуда же, собственно, я впервые узнала о мнимых числах: из замечательной сказки (https://royallib.com/book/levshin_vladimir/puteshestvie_po_karlikanii_i_aldgebre.html) Владимира Левшина!

"Рядом с нами стояла какая-то непонятная буковка с маленьким красным зонтиком: i. Мы слышали, как она грустно спросила:
— Скажите пожалуйста, найду ли я место в жизни?
Автомат призадумался, а потом ответил:
— И Мнимая Единица на что-нибудь да годится!
Мнимая Единица облегчённо вздохнула и выпорхнула из павильона.
<...>

ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ!
Исключительно для мнимых единиц!
Единственное место, где мнимые единицы могут стать действительными!
Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!".

[egovoru.livejournal.com]

А как бы Вы ответили на этот вопрос?

[yoginka.livejournal.com]

К сожалению, не помню нашего учебника по алгебре. Могу допустить, что комплексные числа вводились не сразу вместе с квадратными уравнениями. В 6-м давали общую формулу, но, допускаю, что при отрицательном дискриминанте считали, что нет корней (действительных) . Но потом в школе вводили комлексные числа и находили по той же формуле и комлекснозначные решения. В ВУЗе уже этому не учили, считалось известным из школы.

[yoginka.livejournal.com]

Нашла учебник 1961 года для для 6-8 классов, там есть общая формула для решений квадратного уравнения. (https://www.mathedu.ru/text/barsukov_algebra_6-8_1961/p239/)
И там считается, что при отрицательном дискриминанте нет действительных корней. (Не уверена, что мы именно по нему учились.) Квадратные уравнения самого общего вида нам давали, мы их анализировали и определяли число корней.