И помни, легиону нет числа

[egovoru]

Понятие долга старо как мир: долговые расписки попадаются уже среди самых первых текстов, написанных человечеством. Казалось бы, нет ничего естественнее, чем обозначить величину долга отрицательным числом – но нет: эти числа появляются в истории математики сравнительно поздно и приживаются с большим трудом. Тo же и с иррациональными числами: казалось бы, вот есть квадрат с единичной стороной, в котором всякий может провести диагональ – так почему бы не обозначить числом длину этой диагонали?

Сегодня трудно понять, почему отрицательные и иррациональные числа вызывали когда-то проблемы – в школе нас сравнительно рано приучают к представлению о числе как о точке на числовой прямой. (Кстати, мне кажется, можно было бы уже в школе ввести и комплексные числа – ведь точки на числовой плоскости представить себе так же легко, как и точки на числовой прямой). Но первоначально число обозначало не количество, а только порядковый номер при счете предметов. Нейрофизиологи обнаружили, что у нас в мозгу есть два разных функциональных модуля. Один, присутствующий также и у других животных – для операций с непрерывно меняющимся количеством при помощи понятий «больше» и «меньше», и другой, тесно связанный с языком – для репрезентации дискретных объектов. Согласованная работа этих модулей и позволила нам создать математику.

Желание обегчить манипуляцию абстрактными символами – сделать так, чтобы у уравнений х + 2 = 1 и x² = 2 тоже были корни – в конце концов вынудило распространить понятие числа на отрицательные и иррациональные числа. Когда же отрицательные числа стали привычными, захотелось назначить числом и корень уравнения x² = -1.

Но вот арифметические операции с (актуальными) бесконечностями, на которые осмелился Георг Кантор, вызвали самое упорное сопротивление современников. Можно понять тех из них, кто, как прежде Огюстен Коши, считал бесконечность доменом Бога, куда человеку не следует соваться. Но от меня ускользает сущность возражений, например, Германа Гельмгольца, твердо уверенного, что числа – это изобретение человеческого ума.

Ассирийская глиняная табличка с долговой распиской
(приблизительно 20-19 век до н.э.) из коллекции Metropolitan Museum of Art

Comments

[egovoru.livejournal.com]

Да, это известная проблема, и выявляется она при изучении не только математики: тяжело в учении, легко в бою! Но все же мне кажется, что в школьной математике с выработкой автоматизма явный перебор - учеников заставляют делать одно и то же буквально до посинения.

[yoginka.livejournal.com]

Когда учатся игре на музыкальных инструментах, тоже делают однотипные упражнения "до посинения" :) И балерины тоже.

[egovoru.livejournal.com]

Да, именно так - и, говорят, другого пути нет.

[yoginka.livejournal.com]

Ну и в математике так же: чтобы перейти к более сложным "движениям", сначала необходимо отработать простые :)
Кстати, красивые математические идеи мало кому понадобятся в дальнейшей жизни. А вот скучные стереотипные математические манипуляции нужны инженерам и ученым в самых разных областях.

Справедливости ради нужно заметить, что теперь акценты меняются. То, что до сих пор принято считать математикой, может отмереть за ненадобностью и замениться численными методами. И новые методы вовсе не обязательно будут основаны на хорошем знании математики (как сейчас). Они могут быть сгенерированы нейросетями или чем-то подобным, а для людей будет совершенно непостижимо, почему тот или иной метод так хорошо работает, каково его обоснование.

[serge no (from livejournal.com)]

Может, анализ, а не математика замениться? Если, конечно, не сводить математику вообще к анализу. Никогда численные методы не заменят всю дискретную математику, например. Просто потому, что там чисел (если они вообще есть) меньше, чем символов и сложных структур.

[yoginka.livejournal.com]

А какие задачи из дискретной математики Вам кажутся не подлежащими компьютеризации?

Я имела в виду не только анализ. Числа появляются в результате перехода к компьютерным способам решения любых задач, даже если изначально там числами и не пахнет.
Человек вытесняется все больше, вместе с его использованием "красивой" математики.

Мы много изучали в ВУЗе разных способов решения уравнений в частных производных. Один из них считался особенно важным - метод конечных разностей, у нас было два (а может, и три) семестра посвященных только этому методу. Когда производные заменяются конечными разностями, заранее не знаешь, насколько мелкой должна быть сетка, и нас учили к каждому уравнению подходить индивидуально и исследовать сходимость для него, прежде чем выбрать конкретную сетку для вычислений на компьютере. Вот тут-то и использовалась "красивая" математика (методы фукнционального анализа, функциональные пространства). Теперь это должно быть менее актуально, так как компьютерные ресурсы стали неизмеримо больше и дешевле. Хотя мне так и не приходилось работать в этой области, но сильно подозреваю, что теперь так не делают, как нас учили, быстрее и дешевле сделать несколько пробных вычислений с разными размерами сетки и сравнить разницу в результатах, и делать это можно без человека. Кроме того, можно не особенно скупиться с размером сетки.

[serge no (from livejournal.com)]

"Числа появляются в результате перехода к компьютерным способам решения любых задач, даже если изначально там числами и не пахнет."

Не появляются в любых задачах числа. Цифровое представление появляется. Что, на самом деле, тоже может ввести в заблуждение, лучше сказать: представление в виде элементов с дискретными состояниями. Представлять они могут что угодно, иногда числа.

"А какие задачи из дискретной математики Вам кажутся не подлежащими компьютеризации?"

Например, задачи, решением которых являются эффективные алгоритмы для тех самых компьютеров и произвольных данных. В случае с методом решения уравнений из вашего примера вмешательство математика требуется на каждом новом наборе данных. Исключение из процесса человека — это только автоматизация подзадачи, в общем же метод остаётся продуктом математики.

[из другого сообщения]
"Но ведь компьютеру-то  (имею в виду какой- нибудь ИИ) сами уравнения в символьном виде не нужны. Если ему дать исходную задачу и возможность отслеживать связанные с ней закономерности, он  не будет составлять уравнения. В итоге он выявит те же самые закономерности, которые соответствуют нашим уравнениям, но представит их сразу в виде таблиц и прочих  структур данных."

Искусственного компьютерного интеллекта не существует. Чтобы получать результат из данных без решения уравнений, есть только разного рода нейронные сети, но они не так работают, как написано выше. Они используют взаимосвязи данных и результатов, на которых их обучали, и входящих данных, но никаких абстрактных "закономерностей", соответствующих уравнениям, не выявляют и никак не представляют. Это по сути системы многоуровневых свёрток данных, параметризованных огромным числом коэффициентов (миллиардами как минимум) и самонастраивающих эти параметры. Им нужно много данных для обучения, и данных "хороших". А идеальный результат никогда не гарантирован. Если сама задача такого рода, что допускает ошибки или несовершенство в качестве результата — получатель может их стерпеть, отсеять, поправить — тогда это работает.

[yoginka.livejournal.com]

//Цифровое представление появляется. Что, на самом деле, тоже может ввести в заблуждение, лучше сказать: представление в виде элементов с дискретными состояниями. //
- Я это и имела в виду.

//"А какие задачи из дискретной математики Вам кажутся не подлежащими компьютеризации?"
Например, задачи, решением которых являются эффективные алгоритмы для тех самых компьютеров и произвольных данных.//
- Это очень широкий класс, и многие задачи из него автоматически  решаются уже десятилетиями. Например, в компиляторах код, сгенерированный на основе текста программы пользователя, оптимизируется под данную архитектуру и операционную систему (о которых пользователь мог и понятия не иметь). 
(Хорошо известно, что есть алгоритмически неразрешимые проблемы, про которые этот факт доказан. Если Вы только их имели в виду, то с этим не поспоришь. Однако, и с ними не все так однозначно: алгоритмическая неразрешимость означает, что не существует общего алгоритма для конкретной проблемы, но это не мешает алгоритмически решать ее в широких классах частных случаев, имеющих практическое значение.)

//В случае с методом решения уравнений из вашего примера вмешательство математика требуется на каждом новом наборе данных.//
- Так было, когда нас учили. Но я же там написала потом, что теперь это вряд ли так делается и написала, почему. А вникать в современное состояние дел и приводить ссылки потребует время. Если у Вас есть аргументы, опровергающие мое предположение, буду признательна за ссылку.

//Искусственного компьютерного интеллекта не существует. //
- Это вопрос терминологии. Я использую общепринятую. Вы, вероятно, имеете в виду AGI, которого действительно нет. Но есть многочисленные ANI, которые теперь считаются разновидностью AI.

// Они используют взаимосвязи данных и результатов, на которых их обучали//
- Не всегда их обучают данными, подобранными людьми. Есть и такие, которые обучены иначе. Например, AlphaGo Zero.

//идеальный результат никогда не гарантирован// - Спорить не буду, начиталась о совершенно диких ошибках разных ИИ. Хотя слово "никогда" лучше убрать.

[serge no (from livejournal.com)]

"Например, в компиляторах код, сгенерированный на основе текста программы пользователя, оптимизируется под данную архитектуру и операционную систему (о которых пользователь мог и понятия не иметь)."

Тем не менее, код этот узкоспециализированный и реализует человеческие идеи, основанные на человеческих же теориях, а не подобран нейронными сетями.

"Так было, когда нас учили. Но я же там написала потом, что теперь это вряд ли так делается и написала, почему."

Это понятно. Я про то говорю, что сам метод поиска решения, на котором основан алгоритм, остаётся аналитическим. Только внутрь него было встроено использование специалиста. Что, вообще говоря, не очень типично. Ну, кому это может понравится, если для подбора каких-то частных параметров к конкретным данным нужен математик? Ясное дело, как только появляется возможность подбирать эти параметры автоматически, хотя бы и грубым перебором, человека со всей его эстетикой выкидывают.

"Это вопрос терминологии."

По мне так терминология эта используется для кликбейта и надувания щёк перед инвесторами. Урок последних 10-15 лет в том, что нет выраженной зависимости между человеческим мышлением, машинными методами обработки данных и задачами, которые они способны решать. Какими-то краями только это всё пересекается.

"Хотя слово "никогда" лучше убрать."

Чтобы утверждать, что гарантирован, нужно уметь это показать для произвольных данных.

[yoginka.livejournal.com]

Эти ваши аргументы, насколько я их поняла, предполагают, что человека убрали бы из процесса с самого начала. Я же исхожу из того, что все ранее сделанное человеком, все его идеи, воплощенные в прежних алгоритмах, остается и используется разными ИИ (позвольте уж их так называть, как принято сейчас) для дальнейшего совершенствования и развития при все меньшем и меньшем вмешательстве человека. Будь то компиляторы, алгоритмы для решения уравнений или что-то иное.

//нет выраженной зависимости между человеческим мышлением, машинными методами обработки данных и задачами, которые они способны решать. //
- Не буду спорить с этим. Я больше симпатизирую мнению Роджера Пенроуза, чем Марвина Минского, т.е. мне больше нравится считать, что человеческое мышление не сводится к алгоритмам. Однако, мой профессиональный опыт говорит, что в этом вопросе нужно быть агностиком, надежд убедительно доказать это не видно. Пенроуз, кстати это сознает и делает соответствующие оговорки.

[egovoru.livejournal.com]

"красивые математические идеи мало кому понадобятся в дальнейшей жизни"

Так ведь и живопись по большому счету не нужна, или там балет? Красота математических идей самоценна, а польза от нее - интерес к предмету.

"скучные стереотипные математические манипуляции нужны инженерам и ученым в самых разных областях"

Вот в этом я как раз не уверена: ни разу за всю мою ученую карьеру мне не пригодилось мое умение делать тригонометрические преобразования, приобретенное путем бесконечных упражнений в школьные годы (разумеется, за ненадобностью я это умение давно утратила). Подозреваю, и инженеры редко занимаются подобным - расчеты ведь наверняка производятся при помощи каких-то компьютерных программ, разве нет?

В любом случае, мне кажется, надежда научить уже в школе чему-то, что может пригодиться в будущей профессии - утопия: во-первых, потому, что далеко не все дети к этому возрасту определяются с выбором последней; а во-вторых и в-главных, потому, что набор необходимых профессиональных навыков очень быстро меняется, и предугадать, что именно потребуется нынешнему школьнику через 10-20 лет, едва ли возможно.

Так что, мне кажется, пробуждение (ну, или поддержание) интереса к предмету и вообще к знаниям - гораздо важнее. А какой же может быть интерес у того, кого заставляют до бесконечности делить синус на косинус и обратно? (Это заведомо упрощенный пример, и я помню, что это тангенс :)

"То, что до сих пор принято считать математикой, может отмереть за ненадобностью и замениться численными методами"

Это утверждение поставило меня в тупик. А разве численные методы - это не математика (вычислительная)?

[yoginka.livejournal.com]

Это не противоречит тому, что я написала. Мои слова "акценты меняются" подразумевают сравнение с тем, как нас учили. В то время компьютерные ресурсы были малы, их нужно было сильно экономить и заменять по мере возможности как раз теми знаниями и навыками, которым и вас тоже учили, но которые в ваше время уже не понадобились. А в то время, когда я училась, инженеры логарифмической линейкой активно пользовались :) Предварительно выполнив все эти скучные преобразования, которые Вы считаете лишними. Никто не предвидел такого быстрого развития вычислительных мощностей. Более того, тогда считалось, что есть физический предел (связанный с нагревом и другими ограничениями). А теперь тот предел на много порядков превзойден, и идем дальше. Причем уже давно не требуется охлаждения жидким азотом, как это было у первых суперкомпьютеров Cray-1 и его следующих вариантов. А ведь то, что лежит на вашем столе, по мощности на порядки превосходит их и обходится без жидкого азота.

По поводу последнего Вашего абзаца: численные методы пока еще математика, т.е. есть уравнения и есть численные методы их решения. Но ведь компьютеру-то  (имею в виду какой- нибудь ИИ) сами уравнения в символьном виде не нужны. Если ему дать исходную задачу и возможность отслеживать связанные с ней закономерности, он  не будет составлять уравнения. В итоге он выявит те же самые закономерности, которые соответствуют нашим уравнениям, но представит их сразу в виде таблиц и прочих  структур данных. Иными словами, этап красивой математики, дающей нам эстетическое наслаждение, исключается. Все идет к этому пока. Теперь проблема, как заставить эти разные ИИ выдать все эти внутренние структуры в удобоваримом виде, чтобы человек мог понять, почему все это работает и дает ожидаемые результаты.

[egovoru.livejournal.com]

"численные методы пока еще математика, т.е. есть уравнения и есть численные методы их решения"

Интересный вопрос, а как мы определяем, что есть математика, а что нет? Почему, собственно, Вы полагаете, что "таблицы и прочие структуры данных", которые составит ИИ, уже не будут математикой? Не напоминает ли это реакцию Кронекера и Ко на канторовские алефы?

[yoginka.livejournal.com]

Есть общепринятая терминология. Алгоритмы и структуры данных относят к информатике (computer science). Она, как и многие другие науки, ипользует математику как инструмент.

[egovoru.livejournal.com]

А, вон оно что! Для меня это все едино - но я все же заметила, что в МГУ были мехмат и ВМК, два разных факультета :)

[yoginka.livejournal.com]

ВМК появился относительно недавно. А когда я училась, ВМК еще не было, и вообще программистов не готовили в ВУЗах, в том числе и на мехмате не готовили. Со мной работали программистами выпускники мехмата, но они совершенно не этому там учились. В то время программистами становились люди, учившиеся на физиков, математиков, инженеров, потому что потребность в программистах уже была, а в высшее образование такую специальность еще не ввели. К нам попала даже одна выпускница МГУ со специальностью математическая лингвистика.