И помни, легиону нет числа

[egovoru]

Понятие долга старо как мир: долговые расписки попадаются уже среди самых первых текстов, написанных человечеством. Казалось бы, нет ничего естественнее, чем обозначить величину долга отрицательным числом – но нет: эти числа появляются в истории математики сравнительно поздно и приживаются с большим трудом. Тo же и с иррациональными числами: казалось бы, вот есть квадрат с единичной стороной, в котором всякий может провести диагональ – так почему бы не обозначить числом длину этой диагонали?

Сегодня трудно понять, почему отрицательные и иррациональные числа вызывали когда-то проблемы – в школе нас сравнительно рано приучают к представлению о числе как о точке на числовой прямой. (Кстати, мне кажется, можно было бы уже в школе ввести и комплексные числа – ведь точки на числовой плоскости представить себе так же легко, как и точки на числовой прямой). Но первоначально число обозначало не количество, а только порядковый номер при счете предметов. Нейрофизиологи обнаружили, что у нас в мозгу есть два разных функциональных модуля. Один, присутствующий также и у других животных – для операций с непрерывно меняющимся количеством при помощи понятий «больше» и «меньше», и другой, тесно связанный с языком – для репрезентации дискретных объектов. Согласованная работа этих модулей и позволила нам создать математику.

Желание обегчить манипуляцию абстрактными символами – сделать так, чтобы у уравнений х + 2 = 1 и x² = 2 тоже были корни – в конце концов вынудило распространить понятие числа на отрицательные и иррациональные числа. Когда же отрицательные числа стали привычными, захотелось назначить числом и корень уравнения x² = -1.

Но вот арифметические операции с (актуальными) бесконечностями, на которые осмелился Георг Кантор, вызвали самое упорное сопротивление современников. Можно понять тех из них, кто, как прежде Огюстен Коши, считал бесконечность доменом Бога, куда человеку не следует соваться. Но от меня ускользает сущность возражений, например, Германа Гельмгольца, твердо уверенного, что числа – это изобретение человеческого ума.

Ассирийская глиняная табличка с долговой распиской
(приблизительно 20-19 век до н.э.) из коллекции Metropolitan Museum of Art

Comments

[skogar.livejournal.com]

Формально конечно можно, и, более того, при определении комплексных чисел именно так оно и делается. Но если с этим жить и дальше, то придётся перейти к парам везде, где комплексные числа естественны.
Детский пример: решение уравнения x²+1=0, если оно есть, вроде как должно бы считаться числом.

[serge no (from livejournal.com)]

Почему? Это будет уравнение (x₁, x₂)² + (1, 0) = (0, 0), и решение его будет парой чисел.

[skogar.livejournal.com]

С комплексными числами во многом можно работать так же, как с вещественными, поэтому и понимать их удобно тоже как числа, только другие, более хитрые. Чтобы их чувствовать, нужна уже дополнительная способность к абстрактной работе. Разумеется, при желании всё, что говорится о комплексных числах, можно переписать через пары вещественных, однако естественнее такую пару воспринимать как один цельный объект - комплексное число.

[serge no (from livejournal.com)]

Это смотря кому (чему). В языках программирования представление в виде пар используется в полный рост: комплексные числа задаются в виде структуры из пары чисел, и все действия выполняются над этими структурами. В компьютер-то ещё труднее (и не нужно) запихнуть "образ числа i", чем в человека.

[skogar.livejournal.com]

Вы говорите о том, как комплексные числа реализованы для машинной работы. А я говорю об интуитивном восприятии человека, о чем речь и шла.

[serge no (from livejournal.com)]

Не только как реализованы, но даже и в самом процессе реализации человеком. Он просто набивает правила комплексной арифметики в виде процедур над структурой, и всё, не заморачиваясь с восприятием её как целого, включающего в себя какой-то абстрактный образ. А математик, воспринимающий комплексные числа как образ, вообще обо всех числах, и о действительных не в меньшей степени чем комплексных, может мыслить в терминах абстрактных алгебраических структур, о которых пользующиеся наглядными числами в быту не слышали отродясь.

[skogar.livejournal.com]

В быту комплексных чисел как бы нет.
Плюс это.

[serge no (from livejournal.com)]

В физических приложениях есть, хотя и не в бытовых, и все расчёты с ними можно замечательно произвести без каких-либо дополнительных абстракций. Но в быту нет колец, полей и пр. систем, а у математика они есть, и наглядные в быту действительные числа перепонимаются как разновидность абстракции. Абстрактность тут в подходе к числам вообще, а не в мнимой единице.

[skogar.livejournal.com]

Физика - это уже не быт, и физики обычно хорошо знакомы с комплексными числами. Там, где комплексные числа по делу, гораздо чаще формулы пишут с ними, а не с парами вещественных.

Впрочем, если для Вас нет заметной разницы между числом i и, скажем, числом π или e, то и нормально. Кто-то эту разницу наоборот хорошо чувствует, люди разные бывают.

[serge no (from livejournal.com)]

Как пишут формулы — это к субъективным предпочтениям относится, а не к самому предмету. Ну, если я могу и на бумаге, и в компьютере эту мнимую единицу выразить точно так же, как действительную, то чем она более абстрактна? Одна (1,0), другая (0,1) — в чём разница-то?

[skogar.livejournal.com]

Тут весь разговор идёт об особенностях субъективного понимания чисел разными людьми, даже более конкретно - школьниками.

[serge no (from livejournal.com)]

Ну, вот я — такой школьник. Был. Сказано, что число i якобы вводит некий уровень абстракции и ведёт к пониманию математических объектов как абстрактных. А на каком основании? Я помню, в каком духе это в школе проходят.
Если, например, решать уравнение типа приведённого выше, то получается корень из -1. Думаете, это невозможно? Вот и не угадали. Давайте назовём это числом i. Всё становится прекрасно, просто это такое специфическое число, в квадрате дающее -1, подобно тому, как корень из 2 даёт в квадрате 2. Потом вдруг — бац! — и возникают "комплексные числа", в которых это самое i, по сути, обозначает "мнимость", подобно тому, как с другой стороны минус обозначает "отрицательность", заменяя позиционную запись в виде пар "дебет" и "кредит". Почему это i используется как признак? Почему оно не как корень из 2, если это "число"? А чёрт его знает.

[skogar.livejournal.com]

Про корень из двух - пробуем искать дробь: 3/2 - много (квадрат равен 9/4>2); 4/3 - мало; 7/5 - опять мало; 10/7 - уже много, но потихоньку приближаемся к цели всё ближе и ближе. Будут недоборы и переборы, но разность между ними с каждым шагом становится всё меньше, так что обнаруживается некая точка, представляющая искомое число. Если же ввести i как число, квадрат которого равен -1, то так уже не получится; это может показаться искусственным трюком, но он "почему-то" работает.

[serge no (from livejournal.com)]

А с какой стати нужно мягкое искать через тёплое? Этак можно найти корень из двух между отрицательными дробями. Квадрат — это функция, она обитает на другой числовой оси, хотя и чем-то похожей на ось её аргументов.

[egovoru.livejournal.com]

Базовым интуитивным понятием тут является представление о числе как точке на числовой оси. Как только оно сформировано, переход от числовой прямой к числовой плоскости, как мне кажется, не составляет никакой трудности. Более того, от них можно легко перейти и к кватернионам.

Кстати, вот еще понятие, которое, мне кажется, вполне можно было бы ввести в школе - матрицы и операции с ними.

[skogar.livejournal.com]

Не уверен. Числовая прямая - это непрерывность количества. А уход в плоскость - это введение чего-то существенно нового, каких-то абстрактных чисел.

Матрицы для детей - например для тех же комплексных чисел. Или ещё с каким-то понятным смыслом. Линейную алгебру в общем виде для разных размеров матриц - пожалуй, сомневаюсь. Хотя если взамен половины тригонометрических вычислений, то можно :)

[egovoru.livejournal.com]

"если взамен половины тригонометрических вычислений"

Да, я предлагаю именно замену, а не добавление к уже существующей программе. Цель - сделать ее более разнообразной.

"уход в плоскость - это введение чего-то существенно нового, каких-то абстрактных чисел"

Похоже, это Ваше личное восприятие, отличающееся от моего. Не знаю, какое распространено больше.

[skogar.livejournal.com]

Насколько я знаю, прямая идёт хорошо, а появление плоскости с числами - уже хуже. Хотя у меня такой проблемы в детстве вроде не было.