Давно наука разложила

[egovoru]

Слово «наука» часто употребляют в значении «система знания». При таком раскладе математика, конечно – тоже наука, более того, «царица наук», как называл ее Гаусс. Однако еще до него начал складываться новый научный идеал, столь радикально отличающийся от прежнего и оказавшийся столь продуктивным, что, мне думается, полезно зарезервировать слово «наука» только за ним.

Согласно этому идеалу, справедливость утверждения должна не доказываться умозрительно (как полагали философы еще с античных времен), а проверяться экспериментально. Соответственно, утверждения, которые невозможно подвергнуть такой проверке (позже Карл Поппер назовет их «нефальсифицируемыми»), оказываются за бортом научного рассмотрения.

Более того, в этой новой парадигме никакое утверждение нельзя считать окончательно доказанным, потому что невозможно заранее исключить, что однажды появится какой-то «черный лебедь» – новый экспериментальный результат (например, после изобретения нового прибора), который это утверждение опровергнет. По старинке мы продолжаем пользоваться словосочетанием «законы природы», но эти законы – никакие не законы, а допущения, условно принятые до той поры, пока не обнаружатся опровергающие их обстоятельства.

Математика же представляет собой деятельность совершенно иного рода. Никто не проверяет справедливость теоремы Пифагора, измеряя линейкой длины сторон всех попадающихся на пути прямоугольных треугольников. Геометрия Эвклида – идеал математики, не изменившийся с античных времен: 1) выбирается конечное число утверждений, принимаемых за истинные без доказательства; 2) провозглашается свод легитимных правил для операций с этими утверждениями; 3) все прочие утверждения, которые удается сконструировать из этих первоначальных при помощи оговоренных правил, также считаются верными. Иными словами, математика представляет собой не эмпирическую, а дедуктивную систему знания, и в этом смысле она тавтологична. Хорошей аналогией математики служит детский конструктор.

Многих занимает вопрос: хорошо, если математика столь искусственна, то почему же тогда она так хорошо описывает свойства физического мира? На мой взгляд, никакой загадки тут нет: наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему. Не стоит забывать и о том, что для описания физического мира хорошо подходит только малая часть математических построений, а все остальное так и остается в пределах умозрительного мира чистой математики.

Несмотря на ее практическая полезность, математику все же нельзя считать наукой в изложенном выше узком понимании. И дело тут не просто в ярлыках, а в опасности бездумного перенесения понятий из одной сферы в другую, чреватого полной потерей смысла. Показательным примером может служить попытка приложения теоремы Геделя о неполноте арифметики (и включающих ее формальных систем) к естествознанию. Естественно-научная картина мира, принимая во внимание характер ее построения, и так принципиально неполна, и ни в какой «теореме неполноты» не нуждается :)

Бернар Пикар. Аллегория науки (1709)
Математика еще явно числится по этому разряду, судя по доске с геометрическими чертежами к руках у ангелочка справа. А вот правильно ли я понимаю, что ангелочек на переднем плане выращивает в горшке опунцию?
(фото Амстердамского Райксмузея)

У меня уже был здесь пост на ту же тему, но она всплывает в обсуждениях снова и снова :)

Comments

[moralg.livejournal.com]

Математика - это не наука, а язык.:)

[egovoru.livejournal.com]

Да, когда говорят о противопоставлении математического языка обычному, так можно сказать. Но когда мы хотим сравнить математику и естествознание, то математика выступает все-таки как система знания - написанная на определенном языке, да.

[mynine.livejournal.com]

Не уверен что понятие тавтологичность по отношению к математике стоит применять. Но в ней, действительно, нельзя ничего открыть как в физике - все ее выводы лишь логические следствия исходных аксиом.
Да, согласен, что аксиомы в математике люди выбирали исходя из "очевидных" свойств мира, может быть поэтому она и годится для его описания.

И я бы уточнил что под законами вы имеете в виду "теории". Которые действительно, есть наши допущения той или иной степени близости к истинным законам. Но, вообще говоря, законы природы не имеют того смысла что изначально в них вкладывали древние (по аналогии с законами государства). Законы природы нельзя нарушить в принципе и, соотв., наказания за их нарушение тоже не может быть никакого.

[yoginka.livejournal.com]

//Не уверен что понятие тавтологичность по отношению к математике стоит применять//
- Тем не менее, оно применяется там. Например, в логике:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F_(%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

[egovoru.livejournal.com]

"наши допущения той или иной степени близости к истинным законам"

Но ведь никаких "истинных законов" нет, в том-то и дело! Все возможные законы - это только более или менее точные модели.

[chyyr.livejournal.com]

>наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему.

А что вы имеете в виду: что аксиомы и правила логики эволюционировали к современной формы, поскольку люди приспосабливали к своим потребностям именно в этом мире? Или что аксиомы и правила логики - то, что у Канта идет по разряду "априорные формы рассудка", и сложились в ходе эволюции человека?

Со вторым я скорее не согласен. Прежде всего потому, что "бытовая" логика - которую я единственно и могу заподозрить в априорности - сильно отличается и от аристотелевской, и уж тем более от систем аксиом типа аксиоматической теории множеств и т.п.

А вот первое мне кажется правдоподобным. Именно что подбираются такие системы аксиом и такие правила вывода, которые можно потом эффективно применять на практике. (Причем для разных областей жизни/знания могут быть полезными разные системы аксиом и разные правила вывода)

[egovoru.livejournal.com]

"Или что аксиомы и правила логики - то, что у Канта идет по разряду "априорные формы рассудка", и сложились в ходе эволюции человека?"

Про Канта, увы, ничего не могу сказать, потому что сама бы хотела, чтобы кто-нибудь мне объяснил, что все-таки он имел в виду под "априорным знанием".

"подбираются такие системы аксиом и такие правила вывода, которые можно потом эффективно применять на практике"

Более того, такие, которые уже исходно отражают некие наши наблюдения. Скажем, почему Ариститель предложил в качестве одного из законов своей логики "закон исключенного третьего"? Да потому, что, действительно, наблюдаемые нами предметы либо есть, либо их нет ("пациент либо жив, либо мертв").

Но это не значит, что мы не можем разработать и успешно применять (к каким-то отдельным областям) и какие-то другие, альтернативные логические системы, например, систему, в которой у объекта может быть три состояния: есть, нет и неизвестно. Такие разработки проводятся и находят применение.

[tijd.livejournal.com]

Жак Адамар назвал свою книжку "Исследование психологии процесса изобретения в области математики", потому что считал, что то, чем занимаются математики - это изобретения (как у инженеров), а не открытия (как у ученых).

Но по этому вопросу единого мнения нет.

[egovoru.livejournal.com]

Верно, единого мнения нет, потому что среди математиков много платонистов (или, что то же самое в данном случае, пифагорейцев). Иными словами, они верят в то, что математические структуры объективно существуют в некоем отдельном, трансцендетном мире, а нам остается их только открыть. Но мне такая позиция кажется (http://egovoru.livejournal.com/98686.html) порождающей больше вопросов, чем предоставляющей ответов ;)

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

Математика - это высшая абстракция. В своих абстракциях она вполне доказательна. В смысле, абстрактные эксперименты её теоремы подтверждают :)
А вот физический мир математика вообще не описывает. Этим занимается физика. Для физики математика - это инструмент и язык.
Жаль, что у философии нет такого инструмента.

[mynine.livejournal.com]

Как было отмечено в посте, математика основана на аксиомах и правилах вывода. Аксиомы же приняты в результате наблюдения за миром - это попытки абстрактно выразить физические понятия. Примите другие аксиомы и получите совсем другую математику (хотя бы, неэвклидову геометрию). Вдобавок, вычисления - это физический процесс. То есть математика, как ни странно, никакая не абстракция, а зависит от нашего знания физического мира.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Эволюционной приспособленностью можно объяснить все. Однако вопрос в том, можно ли это назвать объяснением, в особенности эмпирическим объяснением.

На эту тему цитата Robert B. Laughlin, A Different Universe

Evolution by natural selection, for instance, which Charles Darwin originally conceived as a great theory, has lately come to function more as an antitheory, called upon to cover up embarrassing experimental shortcomings and legitimize findings that are at best questionable and at worst not even wrong. Your protein defies the laws of mass action? Evolution did it! Your complicated mess of chemical reaction turns into a chicken? Evolution! The human brain works on logical principles no computer can emulate? Evolution is the cause!

[egovoru.livejournal.com]

"Эволюционной приспособленностью можно объяснить все"

А какие Вы предлагаете альтернативы?

"Законы" природы

[yoginka.livejournal.com]

//По старинке мы продолжаем пользоваться словосочетанием «законы природы»//
- Мне представляется, что в случае природы корректно было бы использовать слово "закономерности". Оно точно отражает суть дела. И не зря тесты на IQ содержат вопросы, связанные с поиском закономерностей. Наука на этом основана, и практически ничего, кроме закономерностей и логических и математических выводов из них (т.е. тавтологий), в ней в идеале и быть не должно.

Re: "Законы" природы

[egovoru.livejournal.com]

Слово "закон" - это ведь и есть короткая форма слова "закономерность". Использование длинной формы ничего не меняет по существу: мы никогда не можем знать, является ли то, что мы рассматриваем как закономерность, действительно закономерностью, потому что из-за угла всегда может появиться "черный лебедь" (в смысле Нассима Талеба).

[deadmadcat.livejournal.com]

Как насчет такой проверки: если математика (логика) не универсальна, то должна вступать в противоречие с собой?

[egovoru.livejournal.com]

А что такое универсальность? В математике существует понятие полноты. Геометрия Эвклида полна и непротиворечива, а вот всякая непротиворечивая формальная система, включающая арифметику, полной быть не может - как показал Гедель.

[posic.livejournal.com]

1. Философия науки является областью человеческой мысли, отдельной от собственно науки. Философия математики является областью человеческой мысли, отдельной от собственно математики.

2. Философия науки, или философия тех или иных отдельных наук или областей науки, в целом обладает теми же свойствами, что и философия вообще -- она ставит много вопросов и дает мало однозначных ответов.

3. В практическом плане, последнее обстоятельство проявляется в такой форме, что почти у каждого, кто берется рассуждать на эти темы, найдутся свои предпочитаемые ответы на разные трудные вопросы. Универсальная убедительность таких ответов невелика. Другой философ науки, будь он любитель или профессионал этого дела, даст, вероятно, другие ответы на все эти вопросы.

Мораль: философия -- дело немаловажное, но то же время это дело немалотемное.

***

С этим длинным дисклеймером, короткий комментарий по существу:

(1) Разумеется, разница между математикой и естественными науками -- эпистемологическая, онтологическая и т.д. -- очень велика. Поэтому математику обычно не относят к естественным наукам, а выделяют для нее и близких к ней дисциплин отдельный раздел "точных наук".

Существует и такое мнение, что математика есть скорее искусство, чем наука -- или, как минимум, отчасти искусство и отчасти наука. Мне это мнение близко.

(2) Есть знаменитое эссе известного физика Евгения Вигнера под названием "О непостижимой эффективности математики в ествественных науках", The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences.

На мой взгляд, это явление не имеет убедительного рационального объяснения. В этом отношении, я поставил бы его в один ряд с феноменом непостижимой эффективности самих естественных наук (прежде всего, физики и химии) -- феноменом, на мой взгляд, также не имеющим убедительного рационального объяснения.

Глубокая познаваемость мира природы (в той мере, в которой она имеет место) есть некое чудо. Глубокая польза математики для дела такого познания (в той мере, в которой она имеет место) есть другое чудо в том же ряду.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо за развернутый комментарий. С итоговым утверждением - насчет чудес - я полностью солидарна. Я вовсе не думаю, что все вопросы должны непременно иметь ответы :)

[vlkamov.livejournal.com]

И у вас тоже обе математики тщательно перемешаны.

Математика - язык. М как язык является предметом исследований, и является инструментом описания других исследований.

Ведь не путаем же мы лингвистику и литературу.
А просто потому, что слова разные.

[egovoru.livejournal.com]

Да, мнение, что математика - это язык, высказали уже многие. Но Ваша параллель с литературой и лингвистикой не кажется мне удачной: все же сама лингвистика-то - вовсе не язык?

Как я упомянула в тексте поста, мне математика более всего напоминает конструктор :)

[a-gorb.livejournal.com]

”При таком раскладе математика, конечно – тоже наука, … новый научный идеал, столь радикально отличающийся от прежнего и оказавшийся столь продуктивным, что, мне думается, полезно зарезервировать слово «наука» только за ним.
Согласно этому идеалу, справедливость утверждения должна не доказываться умозрительно (чем увлекались античные философы), а проверяться экспериментально.”
Не согласен по двум причинами.
1. Математика это инструмент многих наук. А научные инструменты, приемы включаются в саму науку, являются ее частью.
2. Если ”наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире”, то математика открыла и использует в качестве правил и аксиом по сути то, что является законами природы. И эти законы природы постоянно проверяются на практике. И совершенно не исключена ситуация, что когда-нибудь будут обнаружены ” опровергающие их обстоятельства”.

”опасности бездумного перенесения понятий из одной сферы в другую, чреватого полной потерей смысла.”
Это относится не только к математике, но и к любым другим наукам. Возможно, что к другим даже больше.

[egovoru.livejournal.com]

"математика открыла и использует в качестве правил и аксиом по сути то, что является законами природы. И эти законы природы постоянно проверяются на практике."

Пожалуй. Самую близкую параллель, наверное, можно провести между геометрией Эвклида и механикой Ньютона. Когда оказалось, что и та, и другая справедливы только в определенных условиях: первая на плоскости, вторая - при больших массах и малых скоростях, обе были не отвегнуты, а ограничены соответствующими областями применения.

Принимая это во внимание, приходится, наверное, заключить, что естествознание отличается от математики не качественно, а только количественно, соотношением эмпирического и дедуктивного начала?

[notnef-566.livejournal.com]

А я полностью согласен с комментарием posic - http://egovoru.livejournal.com/99365.html?thread=4404261#t4404261.

[egovoru.livejournal.com]

Да, мне тоже его комментарий очень понравился. Сама я тоже вполне в состоянии оставить некоторые вопросы, вроде этого, вообще без ответа :)

А Вы, заодно, может быть, поделитесь своим мнением еще и вот по этому вопросу (http://egovoru.livejournal.com/98686.html)?

[a-konst.livejournal.com]

Я считаю, что математику вполне можно считать естественной наукой.

Ее конструкции кажутся со стороны произвольными и умозрительными, но тот, кто непосредственно имеет с ними дело, хорошо знает, что свободы у него не больше, чем у физика в выборе слов, обозначений, или способа записи уравнений.

Математик, так же, как и физик, открывает новые явления и закономерности. Конечно, он придумывает формулировки определений и теорем, но свободен он в этом так же, как физик (или химик,биолог, любой другой естественник) в придумывании определений (=выделении понятий, с которыми работать). Я не могу изобрести определение какое захочу и доказать про него любое утверждение, какое захочу. Любое определение выстрадано многими попытками что-то рассказать про закономерности, которые мы можем только наблюдать и показывать (на разных примерах), но которыми мы не вольны управлять.

Да, большинство доказательств носят явно искусственный характер, и, разумеется, являются плодом творчества математика, но это же верно и для любого естественно-научного эксперимента.
Эксперимент в физике примерно соотносится с доказательством в математике (а совсем не численным экспериментом на компьютере, как почему-то принято считать!). Попытка доказательства может получиться, может не получиться, и математик, начиная идти по выбранному им пути доказательства, не знает заранее, получится оно у него или нет. Иногда интуиция заранее чувствует, что, вероятно, получится, ну так и у физика интуиция заранее подсказывает, каким "должен быть" результат его эксперимента.

При этом сами явления, которые ими обосновываются, не придуманы учеными, а открыты.

Да, при всем этом, конечно, разница между математикой и физикой гораздо больше, чем между физикой и химией даже, но уж всяко гораздо меньше, чем между физикой и культурологией, например.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо за подробное изложение Вашего мнения.

"разница между математикой и физикой гораздо больше, чем между физикой и химией даже, но уж всяко гораздо меньше, чем между физикой и культурологией, например"

Что касается культурологии и других гуманитарных областей, там другая особенность: они имеют дело с на порядки более сложными системами, чем те, с которыми имеют дело естествоиспытатели, возможности экспериментирования с их объектом серьезно ограничены этическими соображениями и, наконец, этот объект подвержен воздействию результатов эксперимента (механизм "самоисполняющегося пророчества") в результате обратной связи. Короче, гуманитариям не позавидуешь ;)

"большинство доказательств носят явно искусственный характер"

Слово "искусственный" я употребила здесь не в каком-то уничижительном смысле, а чтобы подчеркнуть тот факт, что теоремы доказывают не экспериментом, а чистым рассуждением, строя "обратную" цепочку логических переходов вплоть до аксиом. Нельзя сказать, что дедуктивная логика совсем уж не используется естествоиспытателями, но все же ее роль неизмеримо меньше, чем в математике.

"математик, начиная идти по выбранному им пути доказательства, не знает заранее, получится оно у него или нет. Иногда интуиция заранее чувствует, что, вероятно, получится"

Разумеется, роль интуиции одинаково велика и в математике, и в естествознании. Разница между ними не в этом, а в том, что интуитивно найденное утверждение математик должен свести к набору аксиом, а естествоиспытатель - проверить экспериментально.

[admiral-hood.livejournal.com]

Словом «математика» обозначают четыре принципиально различных вещи:

1. Инструмент, предназначенный для моделирования реальности.
2. Теоретическую науку, которая изучает методы построения этого инструмента.
3. Прикладную науку, которая изучает способы применения этого инструмента.
4. Несколько естественных наук (геометрия, арифметрика)

[egovoru.livejournal.com]

Как я объяснила в посте, определяющим свойством естественных наук является то, что в них справедливость утверждения проверяется экспериментом. Хотите ли Вы сказать, называя геометрию и арифметику естественными науками, что и в них дело обстоит так же?

[alex-new-york.livejournal.com]

А вот если бы какой-нибудь математик был своими размерами сравним с атомами и молекулами, то мы бы вряд ли смогли ему объяснить значение простейшей математической фразы вроде: "Точка находится в середине окружности". Поскольку в его квантовом мире не было бы материальных объектов, хотя бы отдаленно напоминающих точку или окружность, и даже слово "находится" было бы ему непонятно, поскольку про объекты его мира нельзя было бы со стопроцентной увереностью сказать, где именно они находятся.

[egovoru.livejournal.com]

Да, именно это я имею в виду, когда говорю, что выбор аксиом и правил вывода (логики) не произволен, а определяется нашей эволюционной приспособленностью к тому миру, в котором мы обитаем. Разумеется, это утверждение - из тех, которые было бы очень трудно фальсифицировать, но, тем не менее, в качестве рабочей гипотезы оно представляется весьма привлекательным :)

[aosypov.livejournal.com]

да, и эта-то простая мысль совершенно непостижна Пенроузу. Удивительно.

[egovoru.livejournal.com]

Бог с ним, с Пенроузом. А сами Вы что думаете?

[m-krokodilov.livejournal.com]

Карл Поппер, как и положено шоумену от философии, писал много, доступно и бесполезно.

Он, конечно, гладко излагает общедоступные вещи (что опровергнуть намного проще, чем доказать), но за пределами расхожих примеров его критерий неприминим.

Являются ли трансурановые и редкоземельные элементы опровержением периодического закона Менделеева? И как фальсифицировать применение математической операции разложения в ряд при физических рассчётах? (это только два самых простых примера)

> Многих занимает вопрос: хорошо, если математика столь искусственна, то почему же тогда она так хорошо описывает свойства физического мира? На мой взгляд, никакой загадки тут нет: наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему.

Выбор пятого постулата Евклида вполне случаен, а логика, которая использовалась Колмогоровым для создания современного статистического анализа, была как раз не-Аристотелева.

И сама логика научного поиска - крайне контринтуитивна и решительно антиэволюционна. Человеку никак не помогает для выживания ни теорема Фалеса, ни даже то, что волк и лиса относятся к одному семейству.

[egovoru.livejournal.com]

Согласна с Вами насчет Поппера - с опровержением тоже далеко не всегда все так просто. Гипотезы, вроде бы отвергнутые на одном этапе, иногда возвращаются на следующем, поскольку оказывается, что прежние "опровержения" были вовсе не такими однозначными, как казалось раньше.

Но то различие между математикой и естествознанием, о котором я здесь говорю, кажется мне достаточно принципиальным. Недопонимание его приводит ко многим недоразумениям.

"сама логика научного поиска - крайне контринтуитивна"

Мне кажется, эту мысль стоит сформулировать иначе: научный поиск далеко не всегда следует правилам логики :) Я, разумеется, и не утверждала обратного. Единственное, что я хотела здесь подчеркнуть - это то, что естественно-научные гипотезы проверяются экспериментом, а математические - логическим доказательством, т.е., сведением к изначально принятым аксиомам, и в этом заключается принципиальное отличие этих двух родов деятельности.

[egovoru.livejournal.com]

Ответвление той же беседы (http://rock-25.livejournal.com/29253.html?thread=185669#t185669).

[const0000.livejournal.com]

не стоит так сакрально и предыхательно относится тому, что мы сейчас называем «наука».
наука — это артефакт сугубо материалистического отношения к миру, или по-просту — прямое следствие материалистического мировоззрения.
итд

и математику - МОЖНО! - представить как, и выдать за - науку.
ну и что?

наука — это способ познания мира, основанный — на конкретном методе получения знаний («верификация», или просто - повторение, суть - получение одних и тех же результатов посредством собственных органов чувств).
метод — это достаточное условие для идентификации познания, как - науки.
а необходимым условием является — системность знаний, т.е. их общая связанность и упорядоченность — иерархия.
и последнее, наука — публична, т.е. это — 100%-но социальное явление. Данилы-мастера - могут до посинения строгать свои Чудо-чаши в тиши своих кабинетов и пещер, но наукой это станет — только став достоянием ВСЕГО социума.

так вот,
к математике - «как науке» - тут есть только одна претензия:
а какова её ПОЗНАВАТЕЛЬНАЯ значимость?
т.е. построение - ею лично! - прогнозов для реального мира.
(в этом же суть «познания»?)
и да — это верная и реальная претензия.
математика описывает абстрактные вещи, и соответственно — их же и «предсказывает», прогнозирует, поэтому, реальный мир математика (сама по себе!), если и предскпзывает, то - «очень плохо», потому что предсказывает это — лишь для... единиц, в чьих головах только эти предсказания - по-началу! - и материализуются ИЗ 100%-х АБСТРАКЦИЙ.
да, такая проблема у математики - как науки! - ЕСТЬ: математика это не самый лучший и удобный путь познания мира.
но зато - как инструмент ОПИСАНИЯ познанного (материального!) - математика не имеет себе равных.
математика — это фундамент описания материального (мира).
и да - немного и чуть-чуть - инструмент познания,
и в этом - и только! - смысле, является наукой — лишь отчасти.
потому что - верифицируема, системна и публична.

[egovoru.livejournal.com]

"математику - МОЖНО! - представить как, и выдать за - науку"

Что значит "выдать"? Разумеется, мы можем сформулировать определение понятия "наука" так, чтобы математика в него тоже входила, но какой в этом смысл? Существенно, что естествознание и математика - это два совершенно разных рода деятельности, и различаются они именно своими методами.

"наука — публична, т.е. это — 100%-но социальное явление"

С этим я согласна, как бы мы ни понимай, что такое "наука" :)

[yoginka.livejournal.com]

//Иными словами, математика представляет собой не эмпирическую, а дедуктивную систему знания, и в этом смысле она тавтологична. //
- И здесь, и в других местах мы уже много об этом спорили. Я утверждала, что дедукция - последний шаг, причем не всегда он быстро получается, бывает, и столетия проходят. Сегодня попались слова почти в точности повторяющие то, что я не раз писала Вам на все лады:
"As expressed by Paul Halmos: "Mathematics is not a deductive science—that's a cliché. When you try to prove a theorem, you don't just list the hypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork. You want to find out what the facts are, and what you do is in that respect similar to what a laboratory technician does.""
(https://en.wikipedia.org/wiki/Experimental_mathematics)

[egovoru.livejournal.com]

"дедукция - последний шаг, причем не всегда он быстро получается, бывает, и столетия проходят"

Я вовсе не имела в виду, что сама мысль математика движется дедуктивно - она развивается теми же таинственными путями, что и мысль любого из нас. Я хотела сказать другое: для того, чтобы некое математическое утверждение начали считать "истинным", оно должно быть "доказано" логическим путем. Недоказанное утверждение остается в статусе сonjecture (ну, или принимается за аксиому, если в этом есть необходимость); только доказанное становится теоремой. Представления о том, что можно, а что нельзя считать доказательством, меняются со временем, но необходимость доказательства все равно остается и сегодня - насколько я помню, с этим Вы согласились.

Хорошая иллюстрация к этому есть в фильме, о котором я писала в сообществе (https://british-cinema.livejournal.com/389876.html). Новые соотношения богиня сообщала Рамануджану во сне, и он никак не мог понять, зачем нужно еще что-то доказывать, когда это же богиня сообщила :)