Давно наука разложила

[egovoru]

Слово «наука» часто употребляют в значении «система знания». При таком раскладе математика, конечно – тоже наука, более того, «царица наук», как называл ее Гаусс. Однако еще до него начал складываться новый научный идеал, столь радикально отличающийся от прежнего и оказавшийся столь продуктивным, что, мне думается, полезно зарезервировать слово «наука» только за ним.

Согласно этому идеалу, справедливость утверждения должна не доказываться умозрительно (как полагали философы еще с античных времен), а проверяться экспериментально. Соответственно, утверждения, которые невозможно подвергнуть такой проверке (позже Карл Поппер назовет их «нефальсифицируемыми»), оказываются за бортом научного рассмотрения.

Более того, в этой новой парадигме никакое утверждение нельзя считать окончательно доказанным, потому что невозможно заранее исключить, что однажды появится какой-то «черный лебедь» – новый экспериментальный результат (например, после изобретения нового прибора), который это утверждение опровергнет. По старинке мы продолжаем пользоваться словосочетанием «законы природы», но эти законы – никакие не законы, а допущения, условно принятые до той поры, пока не обнаружатся опровергающие их обстоятельства.

Математика же представляет собой деятельность совершенно иного рода. Никто не проверяет справедливость теоремы Пифагора, измеряя линейкой длины сторон всех попадающихся на пути прямоугольных треугольников. Геометрия Эвклида – идеал математики, не изменившийся с античных времен: 1) выбирается конечное число утверждений, принимаемых за истинные без доказательства; 2) провозглашается свод легитимных правил для операций с этими утверждениями; 3) все прочие утверждения, которые удается сконструировать из этих первоначальных при помощи оговоренных правил, также считаются верными. Иными словами, математика представляет собой не эмпирическую, а дедуктивную систему знания, и в этом смысле она тавтологична. Хорошей аналогией математики служит детский конструктор.

Многих занимает вопрос: хорошо, если математика столь искусственна, то почему же тогда она так хорошо описывает свойства физического мира? На мой взгляд, никакой загадки тут нет: наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему. Не стоит забывать и о том, что для описания физического мира хорошо подходит только малая часть математических построений, а все остальное так и остается в пределах умозрительного мира чистой математики.

Несмотря на ее практическая полезность, математику все же нельзя считать наукой в изложенном выше узком понимании. И дело тут не просто в ярлыках, а в опасности бездумного перенесения понятий из одной сферы в другую, чреватого полной потерей смысла. Показательным примером может служить попытка приложения теоремы Геделя о неполноте арифметики (и включающих ее формальных систем) к естествознанию. Естественно-научная картина мира, принимая во внимание характер ее построения, и так принципиально неполна, и ни в какой «теореме неполноты» не нуждается :)

Бернар Пикар. Аллегория науки (1709)
Математика еще явно числится по этому разряду, судя по доске с геометрическими чертежами к руках у ангелочка справа. А вот правильно ли я понимаю, что ангелочек на переднем плане выращивает в горшке опунцию?
(фото Амстердамского Райксмузея)

У меня уже был здесь пост на ту же тему, но она всплывает в обсуждениях снова и снова :)

Comments

[egovoru.livejournal.com]

Как я объяснила в посте, определяющим свойством естественных наук является то, что в них справедливость утверждения проверяется экспериментом. Хотите ли Вы сказать, называя геометрию и арифметику естественными науками, что и в них дело обстоит так же?

[admiral-hood.livejournal.com]

Конечно, всякий раз, когда вы стелете линолеум в квартире или считаете сдачу в магазине, вы проверяете истинность геометрии и арифметики экспериментом :~)

[egovoru.livejournal.com]

В этих случаях мы занимаемся практическим применением математических моделей, истинность которых уже была установлена дедуктивным способом :)

[admiral-hood.livejournal.com]

Вы же понимаете, что в древнем Египте основные геометрические истины были установлены не дедуктивно. Это потом задним приплели аксиоматику и дедукцию. Даже если предположить, что дедукция первична, аксиомы вы откуда возьмёте?

Точно так же в физике, рабочие формулы вы выводите дедуктивно из основных законов, а основные законы берёте из практических соображений.

[egovoru.livejournal.com]

"основные геометрические истины были установлены не дедуктивно"

Да, конечно, выбор аксиом осуществляется на основании практического опыта; дедукция возможна только после того, как они (и правила операций с ними) уже выбраны: разве я не упомянула этого в посте?

Но математические аксиомы выбираются один раз (даже если возможны разные аксиоматические системы, в каждой из них выбор аксиом - однократное действие). А жизнь естествоиспытателя вся состоит из выбора очередных аксиом.

"Законы природы" не образуют единую логически связанную систему: скажем, принцип генетического кода невозможно логически вывести из закона тяготения или принципа неопределенности. Все эти утверждения - независимые аксиомы, сформулированные на основании экспериментальных данных.

[admiral-hood.livejournal.com]

Вся электростатика выводится из формулы Кулона.
Вся классическая электродинамика — из четырёх уравнений Максвелла.
И т. д.
Чем это отличается от геометрии?

То, что законы природы невозможно вывести из ограниченного числа высказываний - не факт. Просто природа на много порядков сложнее евклидовой геометрии, придётся сильно постараться.

То, что принцип генетического кода нельзя вывести из закона тяготения, говорит только о том, что закон тяготения не составляет полную систему аксиом. Точно так же, если вы из евклидовой геометрии выкинете аксиому параллельных, то хренушки вы докажете теорему Пифагора.