Давно наука разложила

[egovoru]

Слово «наука» часто употребляют в значении «система знания». При таком раскладе математика, конечно – тоже наука, более того, «царица наук», как называл ее Гаусс. Однако еще до него начал складываться новый научный идеал, столь радикально отличающийся от прежнего и оказавшийся столь продуктивным, что, мне думается, полезно зарезервировать слово «наука» только за ним.

Согласно этому идеалу, справедливость утверждения должна не доказываться умозрительно (как полагали философы еще с античных времен), а проверяться экспериментально. Соответственно, утверждения, которые невозможно подвергнуть такой проверке (позже Карл Поппер назовет их «нефальсифицируемыми»), оказываются за бортом научного рассмотрения.

Более того, в этой новой парадигме никакое утверждение нельзя считать окончательно доказанным, потому что невозможно заранее исключить, что однажды появится какой-то «черный лебедь» – новый экспериментальный результат (например, после изобретения нового прибора), который это утверждение опровергнет. По старинке мы продолжаем пользоваться словосочетанием «законы природы», но эти законы – никакие не законы, а допущения, условно принятые до той поры, пока не обнаружатся опровергающие их обстоятельства.

Математика же представляет собой деятельность совершенно иного рода. Никто не проверяет справедливость теоремы Пифагора, измеряя линейкой длины сторон всех попадающихся на пути прямоугольных треугольников. Геометрия Эвклида – идеал математики, не изменившийся с античных времен: 1) выбирается конечное число утверждений, принимаемых за истинные без доказательства; 2) провозглашается свод легитимных правил для операций с этими утверждениями; 3) все прочие утверждения, которые удается сконструировать из этих первоначальных при помощи оговоренных правил, также считаются верными. Иными словами, математика представляет собой не эмпирическую, а дедуктивную систему знания, и в этом смысле она тавтологична. Хорошей аналогией математики служит детский конструктор.

Многих занимает вопрос: хорошо, если математика столь искусственна, то почему же тогда она так хорошо описывает свойства физического мира? На мой взгляд, никакой загадки тут нет: наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему. Не стоит забывать и о том, что для описания физического мира хорошо подходит только малая часть математических построений, а все остальное так и остается в пределах умозрительного мира чистой математики.

Несмотря на ее практическая полезность, математику все же нельзя считать наукой в изложенном выше узком понимании. И дело тут не просто в ярлыках, а в опасности бездумного перенесения понятий из одной сферы в другую, чреватого полной потерей смысла. Показательным примером может служить попытка приложения теоремы Геделя о неполноте арифметики (и включающих ее формальных систем) к естествознанию. Естественно-научная картина мира, принимая во внимание характер ее построения, и так принципиально неполна, и ни в какой «теореме неполноты» не нуждается :)

Бернар Пикар. Аллегория науки (1709)
Математика еще явно числится по этому разряду, судя по доске с геометрическими чертежами к руках у ангелочка справа. А вот правильно ли я понимаю, что ангелочек на переднем плане выращивает в горшке опунцию?
(фото Амстердамского Райксмузея)

У меня уже был здесь пост на ту же тему, но она всплывает в обсуждениях снова и снова :)

Comments

[moralg.livejournal.com]

Математика - это не наука, а язык.:)

[mynine.livejournal.com]

Не уверен что понятие тавтологичность по отношению к математике стоит применять. Но в ней, действительно, нельзя ничего открыть как в физике - все ее выводы лишь логические следствия исходных аксиом.
Да, согласен, что аксиомы в математике люди выбирали исходя из "очевидных" свойств мира, может быть поэтому она и годится для его описания.

И я бы уточнил что под законами вы имеете в виду "теории". Которые действительно, есть наши допущения той или иной степени близости к истинным законам. Но, вообще говоря, законы природы не имеют того смысла что изначально в них вкладывали древние (по аналогии с законами государства). Законы природы нельзя нарушить в принципе и, соотв., наказания за их нарушение тоже не может быть никакого.

[chyyr.livejournal.com]

>наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему.

А что вы имеете в виду: что аксиомы и правила логики эволюционировали к современной формы, поскольку люди приспосабливали к своим потребностям именно в этом мире? Или что аксиомы и правила логики - то, что у Канта идет по разряду "априорные формы рассудка", и сложились в ходе эволюции человека?

Со вторым я скорее не согласен. Прежде всего потому, что "бытовая" логика - которую я единственно и могу заподозрить в априорности - сильно отличается и от аристотелевской, и уж тем более от систем аксиом типа аксиоматической теории множеств и т.п.

А вот первое мне кажется правдоподобным. Именно что подбираются такие системы аксиом и такие правила вывода, которые можно потом эффективно применять на практике. (Причем для разных областей жизни/знания могут быть полезными разные системы аксиом и разные правила вывода)

[tijd.livejournal.com]

Жак Адамар назвал свою книжку "Исследование психологии процесса изобретения в области математики", потому что считал, что то, чем занимаются математики - это изобретения (как у инженеров), а не открытия (как у ученых).

Но по этому вопросу единого мнения нет.

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

Математика - это высшая абстракция. В своих абстракциях она вполне доказательна. В смысле, абстрактные эксперименты её теоремы подтверждают :)
А вот физический мир математика вообще не описывает. Этим занимается физика. Для физики математика - это инструмент и язык.
Жаль, что у философии нет такого инструмента.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Эволюционной приспособленностью можно объяснить все. Однако вопрос в том, можно ли это назвать объяснением, в особенности эмпирическим объяснением.

На эту тему цитата Robert B. Laughlin, A Different Universe

Evolution by natural selection, for instance, which Charles Darwin originally conceived as a great theory, has lately come to function more as an antitheory, called upon to cover up embarrassing experimental shortcomings and legitimize findings that are at best questionable and at worst not even wrong. Your protein defies the laws of mass action? Evolution did it! Your complicated mess of chemical reaction turns into a chicken? Evolution! The human brain works on logical principles no computer can emulate? Evolution is the cause!

[mynine.livejournal.com]

Как было отмечено в посте, математика основана на аксиомах и правилах вывода. Аксиомы же приняты в результате наблюдения за миром - это попытки абстрактно выразить физические понятия. Примите другие аксиомы и получите совсем другую математику (хотя бы, неэвклидову геометрию). Вдобавок, вычисления - это физический процесс. То есть математика, как ни странно, никакая не абстракция, а зависит от нашего знания физического мира.

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

На аксиомах - да. Но от физического мира математика никак не зависит. Чистая абстракция.
Что такое 2 * 3 = 6 ? Какой в этом смысл? Никакого.
А теперь берем физику: у трех человек по два яблока. Здесь уже всё конкретно.
Математике всё равно какие модели составлять. Хоть сферического коня в вакууме. Математике всё равно, что обсчитывать. Хоть реальные показатели, хоть вымышленные. Именно поэтому, когда говорят, что математики что-то там доказали в физике, я громко смеюсь. Математики могут доказывать лишь свои теоремы. А применимы они в физике или нет, решают только физики.
Математика - прекрасный инструмент для физики. Вместо проведения реальных экспериментов, можно всё просчитать через соответствующую математическую модель. Это быстрее и ресурсов меньше тратится.
Математика - это ещё и язык физики. Короткая формула расскажет все взаимоотношения кратко и доходчиво. А вот описывать формулу словами - это, чаще всего, несколько абзацев текста.

[yoginka.livejournal.com]

У философии тоже есть такой инструмент, она тоже использует некоторую весьма ограниченную часть математики - логику. Правда, логика зародилась вне математики, но это было так давно, тогда еще не было разделения знаний на разные области. Но теперь логика - часть математики. Правда и то, что философы используют логику не так формально, как сами математики. Но то же самое можно сказать и об использовании математики физиками. У математиков "сердце кровью обливается", глядя на математические вольности, допускаемые физиками.

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

Логика зародилась у философов. И сейчас она в философии, т.к. неотъемлемая часть мышления. Без логики Вы даже простенькую мысль сформулировать не сможете :)
Но в философии проблема с измерением понятий и их оцифровкой. Как измерить и оцифровать любовь? А если учесть высказывание, что от любви до ненависти один шаг, то шкала вообще получается закольцованная.
Вот с этим большая проблема. Математика пока помочь не может.

"Законы" природы

[yoginka.livejournal.com]

//По старинке мы продолжаем пользоваться словосочетанием «законы природы»//
- Мне представляется, что в случае природы корректно было бы использовать слово "закономерности". Оно точно отражает суть дела. И не зря тесты на IQ содержат вопросы, связанные с поиском закономерностей. Наука на этом основана, и практически ничего, кроме закономерностей и логических и математических выводов из них (т.е. тавтологий), в ней в идеале и быть не должно.

[yoginka.livejournal.com]

//Не уверен что понятие тавтологичность по отношению к математике стоит применять//
- Тем не менее, оно применяется там. Например, в логике:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B0%D0%B2%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F_(%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D0%BA%D0%B0)

[yoginka.livejournal.com]

//Математика пока помочь не может.//
- Может, я недостаточно однозначно высказалась, но мое утверждение состоит в том, что теперь логика - часть математики. Так что математика может помочь и помогает. Другое дело, что другие части математики философами гораздо реже используются, и с этим я спорить не буду.

О любви и математике

[yoginka.livejournal.com]

//Как измерить и оцифровать любовь?//
- А математика - далеко не всегда измерение и оцифровывание. В ней есть и красивые и даже возвышенно звучащие понятия. Как вам нравится, например, "кольцо главных идеалов"? Даже какие-то ассоциации с любовью возникают, не правда ли?

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

Точнее, теперь логика и у математиков :) И математики её основательно расширили.
Но мне показалось, что Вам показалось :) будто я принижаю математику. Это совсем не так. Укрупнённо, есть физика, философия, математика. У каждой своё место и свое назначение. Друг без друга они не могут.
Физика без математики как без рук.
Математика без физики бесмысленна.
Физика без философии упёрлась в стенку. В тех глубинах, куда залезла физика, уже и терминология почти философская. Хорошая книжка на эту тему "Дао физики".
Философия тормозит, т.к. не может ничего у себя оцифровать и конкретизировать, чтобы задействовать математику.
Как-то так.

Re: О любви и математике

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

Математика вообще не измеряет и не оцифровывает. Этим физики занимаются :)
А вот философы тормозят, не могут измерить и оцифровать свои понятия. Потому и математика им помочь не может.
На "кольцо главных идеалов" я запал :) Полез искать, что это за чудо такое. Звучит очень красиво, я даже готов в него влюбиться, но не то :(

Re: О любви и математике

[yoginka.livejournal.com]

А что тут "не то"? Западайте смело.
Добавлю еще пару слов по теме: известно (математикам), что каждое поле является кольцом главных идеалов. (Красота-то какая!) И интересно то, что все это без чисел и арифметики обходится, нечего тут даже считать, и за одну первую лекцию можно все эти понятия ввести "с нуля", даже школьная математика не требуется, только абстрактное мышление. Сухой остаток: математика - это совсем не то, что многие о ней думают.

Re: О любви и математике

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

Тогда дайте, пожалуйста, ссылку на нормальную лекцию. Мне тема очень даже интересна. Не думаю, что любовь можно оцифровать, т.к. их несколько на разных уровнях абстракции - от гормональной до любви к Родине. Но попытаться стоит.

[yoginka.livejournal.com]

//Но мне показалось, что Вам показалось :) будто я принижаю математику. //
- Нет, мне показалось не это. Вы сначала классифицировали логику не совсем так, как я привыкла, отняв ее у математики. Теперь вроде все в порядке, и в основном согласна, что вы здесь написали, возражаю только против того, что для задействования математики нужна "оцифровка".

Re: О любви и математике

[yoginka.livejournal.com]

//Не думаю, что любовь можно оцифровать//
Насчет любви это ведь шутка была.
И опять вы про "оцифровывать". Можно и без этого математизировать.

Насчет ссылки на одну лекцию - вряд ли найду. Там ведь обычно вводится много других полезных и нужных определений, доказывается много теорем. Поэтому за одну лекцию до колец главных идеалов обычно не доходят. Но вижу, как это можно сделать, если поставить такую цель и отбросить все, не требующееся для введения нужных нам понятий. А нужны: группы - кольца - поля - области целостности. Может, что-то по мелочи еще, но все на пару страниц должно поместиться, если дать только необходимые определения, приводящие к главным идеалам. А каковы ваши отношения с математикой?

[egovoru.livejournal.com]

Да, когда говорят о противопоставлении математического языка обычному, так можно сказать. Но когда мы хотим сравнить математику и естествознание, то математика выступает все-таки как система знания - написанная на определенном языке, да.

[egovoru.livejournal.com]

"наши допущения той или иной степени близости к истинным законам"

Но ведь никаких "истинных законов" нет, в том-то и дело! Все возможные законы - это только более или менее точные модели.

[egovoru.livejournal.com]

"Или что аксиомы и правила логики - то, что у Канта идет по разряду "априорные формы рассудка", и сложились в ходе эволюции человека?"

Про Канта, увы, ничего не могу сказать, потому что сама бы хотела, чтобы кто-нибудь мне объяснил, что все-таки он имел в виду под "априорным знанием".

"подбираются такие системы аксиом и такие правила вывода, которые можно потом эффективно применять на практике"

Более того, такие, которые уже исходно отражают некие наши наблюдения. Скажем, почему Ариститель предложил в качестве одного из законов своей логики "закон исключенного третьего"? Да потому, что, действительно, наблюдаемые нами предметы либо есть, либо их нет ("пациент либо жив, либо мертв").

Но это не значит, что мы не можем разработать и успешно применять (к каким-то отдельным областям) и какие-то другие, альтернативные логические системы, например, систему, в которой у объекта может быть три состояния: есть, нет и неизвестно. Такие разработки проводятся и находят применение.

Re: О любви и математике

[s-e-l-i-k.livejournal.com]

С математикой у меня прекрасные отношения, ибо радиоинженер по образованию :) Вот только последние лет 20 гуманитарщиной занимаюсь.
Попробую обрисовать проблемку. Человек мыслит понятиями. Любое понятие бесконечно по детализации. Слово "любовь" имеет произвольное значение, т.е. какое угодно. Понятие любовь имеет несколько уровней абстракции. На нижнем уровне зависит от гормонов и сильная эмоция может переходить в ненависть, т.е. шкала закольцована. На высших уровнях абстракции (любовь ко всему миру) любовь никак не может перейти в ненависть, только через точку безразличия (через 0). На высших уровнях абстракции нельзя любить и немножко ненавидеть. Либо то, либо другое. Т.е. плоская шкала.
И любовь нематериальна, её не существует в физическом мире. У неё нет ни заряда, ни формы, ни объёма, ни массы, ни температуры, т.е. вообще никаких признаков физического существования. Потому и относится к философии.
Не уверен, что смог объяснить. А со взаимосвязями вообще беда.

[egovoru.livejournal.com]

Верно, единого мнения нет, потому что среди математиков много платонистов (или, что то же самое в данном случае, пифагорейцев). Иными словами, они верят в то, что математические структуры объективно существуют в некоем отдельном, трансцендетном мире, а нам остается их только открыть. Но мне такая позиция кажется (http://egovoru.livejournal.com/98686.html) порождающей больше вопросов, чем предоставляющей ответов ;)