Давно наука разложила

[egovoru]

Слово «наука» часто употребляют в значении «система знания». При таком раскладе математика, конечно – тоже наука, более того, «царица наук», как называл ее Гаусс. Однако еще до него начал складываться новый научный идеал, столь радикально отличающийся от прежнего и оказавшийся столь продуктивным, что, мне думается, полезно зарезервировать слово «наука» только за ним.

Согласно этому идеалу, справедливость утверждения должна не доказываться умозрительно (как полагали философы еще с античных времен), а проверяться экспериментально. Соответственно, утверждения, которые невозможно подвергнуть такой проверке (позже Карл Поппер назовет их «нефальсифицируемыми»), оказываются за бортом научного рассмотрения.

Более того, в этой новой парадигме никакое утверждение нельзя считать окончательно доказанным, потому что невозможно заранее исключить, что однажды появится какой-то «черный лебедь» – новый экспериментальный результат (например, после изобретения нового прибора), который это утверждение опровергнет. По старинке мы продолжаем пользоваться словосочетанием «законы природы», но эти законы – никакие не законы, а допущения, условно принятые до той поры, пока не обнаружатся опровергающие их обстоятельства.

Математика же представляет собой деятельность совершенно иного рода. Никто не проверяет справедливость теоремы Пифагора, измеряя линейкой длины сторон всех попадающихся на пути прямоугольных треугольников. Геометрия Эвклида – идеал математики, не изменившийся с античных времен: 1) выбирается конечное число утверждений, принимаемых за истинные без доказательства; 2) провозглашается свод легитимных правил для операций с этими утверждениями; 3) все прочие утверждения, которые удается сконструировать из этих первоначальных при помощи оговоренных правил, также считаются верными. Иными словами, математика представляет собой не эмпирическую, а дедуктивную систему знания, и в этом смысле она тавтологична. Хорошей аналогией математики служит детский конструктор.

Многих занимает вопрос: хорошо, если математика столь искусственна, то почему же тогда она так хорошо описывает свойства физического мира? На мой взгляд, никакой загадки тут нет: наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему. Не стоит забывать и о том, что для описания физического мира хорошо подходит только малая часть математических построений, а все остальное так и остается в пределах умозрительного мира чистой математики.

Несмотря на ее практическая полезность, математику все же нельзя считать наукой в изложенном выше узком понимании. И дело тут не просто в ярлыках, а в опасности бездумного перенесения понятий из одной сферы в другую, чреватого полной потерей смысла. Показательным примером может служить попытка приложения теоремы Геделя о неполноте арифметики (и включающих ее формальных систем) к естествознанию. Естественно-научная картина мира, принимая во внимание характер ее построения, и так принципиально неполна, и ни в какой «теореме неполноты» не нуждается :)

Бернар Пикар. Аллегория науки (1709)
Математика еще явно числится по этому разряду, судя по доске с геометрическими чертежами к руках у ангелочка справа. А вот правильно ли я понимаю, что ангелочек на переднем плане выращивает в горшке опунцию?
(фото Амстердамского Райксмузея)

У меня уже был здесь пост на ту же тему, но она всплывает в обсуждениях снова и снова :)

Comments

[deadmadcat.livejournal.com]

Я не знаю, что такое полнота в математике. Я об эволюции. Исходим из того, что логика и математика - в некотором роде свойства мозга, закрепленные эволюцией в нашей части мира. Они закрепились, потому что для этого обыденного мира они верны. Но возможно, что они являются частным случаем, т.е. верны не всегда, не универсальны. Если это так, не значит ли это, что они должны порождать противоречия?

[egovoru.livejournal.com]

Полнота формальной системы означает, что любое ее утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть.

"они являются частным случаем, т.е. верны не всегда, не универсальны. Если это так, не значит ли это, что они должны порождать противоречия?"

Геометрия Эвклида, как я уже сказала, полна и непротиворечива. Но, как Вы знаете, она совершенно не применима к поверхности сферы, где, в частности, сумма углов треугольника не равна 180 градусам. Но это проблема уже не самой математики, а применения мат. моделей к физическому миру.

[deadmadcat.livejournal.com]

Спасибо)

Смотрите, есть аксиомы-кубики, есть логика-правила, по которым они складываются. Так вот, эвклидова геометрия - частный случай в своей аксиоматической составляющей, тогда как логика у нее вполне универсальная (в той мере, в которой она нам доступна). Неподходящий пример.

[egovoru.livejournal.com]

"логика у нее вполне универсальная"

Действительно, аристотелева логика на первый взгляд кажется единственно возможным вариантом, но на самом деле можно построить и альтернативные логические системы, не менее "универсальные". Вот здесь мы уже начали обсуждать (http://egovoru.livejournal.com/99365.html?thread=4396069#t4396069) это.

[deadmadcat.livejournal.com]

Так мы ж вроде говорили не про аристотелеву логику, а про встроенную логику как продукт эволюции (с нашей точки зрения универсальную, но, может быть, и нет)? А аристотелева - всего лишь в меру удачная попытка эту встроенную логику сформулировать и последовательно изложить.

[egovoru.livejournal.com]

"встроенную логику как продукт эволюции"

А что это такое? И чем она отличается от аристотелевской? Мне казалось, Аристотель был первым, кто сформулировал правила логики в явном виде.

[deadmadcat.livejournal.com]

А вы разве не об этом пишете? "хорошо, если математика столь искусственна, то почему же тогда она так хорошо описывает свойства физического мира? На мой взгляд, никакой загадки тут нет: наш выбор и аксиом, и правил логики не случаен, а обусловлен эволюционной приспособленностью к жизни именно в этом мире, а не в каком-то другом, так что и наши математические построения оказываются надежным проводником по нему."

Ну и что? Он их попытался сформулировать, но это же не значит, что эта его формулировка безупречно точна и исчерпывающа.

[egovoru.livejournal.com]

"это же не значит, что эта его формулировка безупречно точна и исчерпывающа"

Конечно, и именно поэтому и предпринимаются попытки посмотреть, что будет, если мы примем какие-то иные правила логики. Но для того, чтобы эти наши новые правила были полезными, т.е. заключения, сделанные на их основе из принятых аксиом были полезны для описания физического мира, они должны, по-видимому, опираться на свойства этого мира, как и логика Аристотеля.

При этом, наверное, для разных аспектов физического мира годятся разные логики: скажем, для квантового мира с его принципом неопределенности нужна, вероятно, иная логика, чем для мира макроскопического с его ньютоновской механикой. И, как понятно, квантовая логика уже вряд ли будет отражать нашу биологическую эволюцию, потому что последняя протекала в классическом мире.

[yoginka.livejournal.com]

По поводу нашего недавнего разговора о дедукции.
//Полнота формальной системы означает, что любое ее утверждение можно либо доказать, либо опровергнуть.//
- Вы не упомянули главное условие: доказать или опровергнуть в рамках самой этой системы и сделать это совершенно формальным способом - вывести из аксиом простыми символьными манипуляциями над аксиомами и правилами вывода, не прибегая к семантике. Если для доказательства нужно понимать смысл (прибегать к интерпретации), то такое доказательство не считается.

[egovoru.livejournal.com]

"доказать или опровергнуть в рамках самой этой системы и сделать это совершенно формальным способом"

Да, я имела в виду именно это. О смысле в математике см. мой другой комментарий.