Поняв механику миров и механичность жизни дольной

[egovoru]

Раньше я думала, что классическая механика бывает только ньютонова и релятивистская, хотя и слышала слова «лагранжиан» и «гамильтониан». В своей первой книжке из серии «Величайшие идеи» Шон Кэрролл подробно рассказывает о лагранжевой и гамильтоновой механиках, подготавливая читателя ко второй книжке, повествующей о квантовых полях.

Ньютоновы законы движения позволяют предсказать состояние механической системы в любой момент времени, исходя из знания ее состояния (координат и скорости) в начальный момент. Фундаментальное понятие ньютоновской механики – сила. Ту же задачу можно решить и по-другому, исходя не из силы, а из энергии, и не прослеживая движение системы шаг на шагом, а наблюдая его, так сказать, с птичьего полета. Метод Лагранжа состоит в нахождении перехода системы из заданного начального состояния в заданное конечное, соответствующего минимальному действию. Для того, чтобы результат совпал с результатом Ньютона, действие определяют как интеграл под кривой лагранжиана – функции координат и скорости, для нерелятивистских систем имеющей вид разности между кинетической и потенциальной энергиями.

Гамильтонова механика – версия лагранжевой, в которой движение описывается гамильтонианом – функцией не скорости, а импульса, причем (обобщенный) импульс определяется не как произведение массы и скорости, знакомое нам из школьного курса, а как производная лагранжиана! Импульс – более фундаментальное свойство, чем скорость, потому что подчиняется закону сохранения. Более того, если у Ньютона масса – константа, то при переходе к релятивистским теориям приходится учитывать и ее изменение. Гамильтониан, сумма кинетической и потенциальной энергий, в большинстве случаев представляет собой общую энергию системы.

Гамильтонова механика легче поддается квантованию, чем ньютонова, а лагранжева механика облегчает расчеты в специальной теории относительности. Примечательно, однако, что созданы они были задолго до этого: Жозеф-Луи Лагранж выступил со своей версией в 1760, описывая движение маятника, а Уильям Роуэн Гамильтон – в 1833. Современные историки науки пишут, что побуждением Гамильтона была трактовка потенциальной энергии как проявления силы. Похоже, развитие классической механики описало диалектическую спираль :)

Tри формулировки классической механики
в изложении физика Эллиота Шнайдера

На биофаке механику преподавали целый семестр, но ни о лагранжевой, ни о гамильтоновой версиях ни словом не обмолвились. А как обстояло дело в вузах, где вы учились?

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категории: Наука (https://www.livejournal.com/category/nauka/?utm_source=frank_comment).
Если вы считаете, что система ошиблась — напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

[egovoru.livejournal.com]

Она самая :)

[mercibo.livejournal.com]

Это проходят в курсе теоретической механики. С точки зрения "взгляда с птичьего полёта" важное значение имеет теорема Эммы Нётер о том, что каждому виду симметрии пространства-времени соответствует свой закон сохранения.

[egovoru.livejournal.com]

Да, теорему Нетер Кэрролл тоже разбирает, но, кажется, не в этом первом томе, а в следующем, где он рассказывает о квантовых полях.

[pargentum.livejournal.com]

В НГУ лагранжианы преподают на Физфаке и ММФ, на ФЕН (факультет естественных наук, химия и биология) никогда не было. Да, на мехмате это называют "теоретической механикой".

[greygreengo.livejournal.com]

Нам еще Сербо лекции читал, а Коткин семинары вел, а мы, по глупости и молодости, звали его Череп.

[egovoru.livejournal.com]

Название "теоретическая механика" какое-то сомнительное: ньютонова механика столь же теоретическая (или, если угодно, столь же экспериментальная), как и лагранжева, разве нет?

[verum-corpus.livejournal.com]

Мы, конечно, это всё сдавали.
Поражало же меня больше всего то, как физики раздувались от собственной важности, строили из себя всезнаек и несли свысока всевозможную чушь об устройстве мироздания при том, что до 20-го века понятия не имели, почему светит Солнце.

[ald1976.livejournal.com]

Медики еще больше раздуваются, при том, что знают свой предмет много хуже чем физики.

И физики хотя бы лоботомией не промышляли.

[egovoru.livejournal.com]

"физики раздувались от собственной важности"

Востребованность физиков, увы, определяется изготовлением бомбы :(

[alex-new-york.livejournal.com]

Гамильтон прекрасно видел, что уравнения движения волны и уравнения движения частицы (или механической системы) отличаются только названиями: частота волны соответствует механической энергии, а ее волновой вектор — механическому импульсу

Более того, у него можно найти фразы, свидетельствующие о понимании того, что это соответствие не случайно и обязано иметь глубокие физические причины

Если бы ему хватило смелости просто сказать вслух, что математические свойства механического движения могут объясняться его скрытой волновой природой, квантовая физика вполне могла бы быть открыта почти на столетие раньше

Что, в свою очередь, могло направить нашу цивилизацию по совершенно иному пути

Например, атомное оружие могло появиться намного раньше и предотвратить две мировые войны

Лазеры и полупроводники могли появиться еще до двигателей внутреннего сгорания, а человечество в начале 20-го века — ездить бы в запряженных лошадьми каретах, пролетках и экипажах под звуки музыки из транзисторного радиоприемника

Если бы Гамильтону просто хватило смелости

[jackclubs2.livejournal.com]

Вряд ли. Квантовую механику (да и вообще микрофизику) очень трудно "открыть" не зная электричества и магнетизма. Там в самом корне парадоксы связанные с излучением и поглощением.

[pargentum.livejournal.com]

При Гамильтоне для квантов не было никакой экспериментальной базы. Если бы он их открыл, ему бы никто не поверил, скорее всего даже не заинтересовался бы.
Остался бы и в истории в одном ряду с Левкиппом и Демокритом.

[egovoru.livejournal.com]

"Если бы ему хватило смелости просто сказать вслух, что математические свойства механического движения могут объясняться его скрытой волновой природой"

А были ли у него хоть какие-то основания такое говорить?

[anti0h.livejournal.com]

Спасибо, это было здорово. А вы не знаете, кто-то разбирал относительно популярно (не в формате учебника) эту тему? В смысле, сходство уравнения движения частиц (дифференциальные уравнения траекторий) и волн (уравнения в частных производных для поля) в рамках формализма Гамильтона-Якоби.

А относительно "Если бы Гамильтону просто хватило смелости" и я не уверен, что в середине 19го века уже было принято отождествлять физику с математическим описанием и идти от формализма к феномену, а не наоборот.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Статистическая термодинамика основана на механике Гамильтона, поэтому на химфаке она была. Только точкой отсчета у Гамильтона была не причинность, а оптика. Если честно, не могу сказать, какая связь, но так пишут.

Тут есть еще один интересный момент. Сила трения была частью механики. Для механиков было понятна невозможность вечного двигателя, но энергия в механике не сохранялась, поскольку тот же маятник со временем останавливался. Всем было понятно почему, трение же, и особых проблем с этим в механике не было.

Насколько я понимаю, в механике Гамильтона с введением трения были проблемы. По крайней мере именно ее использование в статистической механике приводит к тому, что смоделировать в ней остановку маятника из-за трения можно только в рамках статистического обоснования второго закона - есть вероятность, что покоющийся маятник начнет снова качаться.

[pargentum.livejournal.com]

Луч света в преломляющей среде распространяется по Гамильтону. В случае сред с дискретными поверхностями это можно описать законом Снеллиуса, но в среде с плавным изменением коэффициента (например в неоднородном по температуре воздухе) даже рассчитывать иначе, чем по Гамильтону, я не понимаю как.

[jackclubs2.livejournal.com]

Я учился на физфаке МГУ. Конечно преподавали. Преподавали плохо. Лагранжеву механику преподавали как метод расчета движения со связями (например шарик с дыркой на изогнутой проволоке). А гамильтонову механику не преподавали никак (только понятие о ней, что уравнения можно переписать и вот так тоже). Но я не был очень уж успешный студент.

[egovoru.livejournal.com]

Интересно, что все хвалят гамильтонову механику как уж такую удобную для решения столь многих задач, но преподают ее далеко не всем. Что же, ее математика намного сложнее ньютоновой?

[nick-55.livejournal.com]

У нас все это преподавал на 3-м курсе Николай Иванович Жирнов. Как все теоретики он был весьма строг, и раздолбаям на его занятиях было очень несладко. Но если он видел, что человек работает, то максимально шел навстречу. На экзаменах он разрешал пользоваться любой литературой - если человек занимался ерундой весь семестр, то списывание ему не поможет. Свой предмет он всегда называл только "классическая механика", никогда "теоретическая" или, тем более, "термех". Но на сотрудниц деканата никогда не обижался за то, что они писали в расписании "теоретическая". Он написал книгу "Классическая механика", а еще задачник по электродинамике. Сейчас его, конечно, уже нет с нами - когда мы пришли на 3-й курс, ему было за 60. Он был участником ВОВ и артиллеристом, как Д.В. Сивухин и И.А. Глебов.

[egovoru.livejournal.com]

"Свой предмет он всегда называл только "классическая механика", никогда "теоретическая" или, тем более, "термех""

Мне кажется, это правильно, потому что ведь ньютонова механика ровно настолько же теоретическая (и настолько же экспериментальная), как и лагранжева и гамильтонова. А что же, приходилось ли Вам впоследствии применять эти последние в своей профессиональной деятельности?

[woodenfriend.livejournal.com]

всё было в курсе теоретической механики. но к сожалению никогда это не формулировалось в виде стратегий с сопоставлением отличий и преимуществ. у нас был хороший преподаватель, но всё же это это скорее выглядело как а давайте месяц херачить формулы в одному лектору ведомом направлении, вводя загадочные сущности, чтобы получить уже известный результат. принцип наименьшего действия удивил тогда непропорциональным лаконичности богатством следствий.
а ещё я её всю, два семестра, две то ли три здоровенные тетрадки формул учил за 1 день, потому что иначе удержать всё в голове и ничего не просыпать не было шансов.

[egovoru.livejournal.com]

"давайте месяц херачить формулы в одному лектору ведомом направлении"

То есть, было непонятно, зачем это все нужно? Ну, а пригодились ли Вам эти знания в последующей профессиональной жизни?

Три тетрадки формул за один день - это жуть :(

[greygreengo.livejournal.com]

Пусть гамильтонова механика легче квантуется в первичном смысле этого слова, зато лагранжева формулировка сохраняет лоренц-инвариантность, что при переходе от нерелятивистских систем к релятивистским иногда важнее.

ЗЫ Мы все учились понемногу — чему-нибудь и как-нибудь. Помню, пошел сдавать классическую механику на следующий день после второго экзамена по теорминимуму, а это как раз первый том Ландавшица и есть. То есть совершенно не готовым по материалам лекций. Пришлось самому выводить свойства повышающих-понижающих операторов гармонического осциллятора и писать их уравнения динамики.

[egovoru.livejournal.com]

"зато лагранжева формулировка сохраняет лоренц-инвариантность, что при переходе от нерелятивистских систем к релятивистским иногда важнее"

Да, Кэрролл так и пишет, что она применяется в теории относительности.

"Пришлось самому выводить свойства повышающих-понижающих операторов гармонического осциллятора и писать их уравнения динамики"

Ну и как, справились?

[jak40.livejournal.com]

На мехмате (!) Ростовского университета прикладникам-информатикам об этом даже не заикались. Даже в курсах теор. механики и уравнений мат. физики (там были избранные главы).

[egovoru.livejournal.com]

Ну, хоть это и называют (неизвестно почему) теоретической механикой, по сути это все же физика - потому, наверное, на мехмате ее и не преподают?

[andresol.livejournal.com]

У нас на первом курсе химфака СПбГУ был курс теоретической механики, где было много лагранжевой механики и под конец немного гамильтоновской. Как бывает со многими не совсем профильными предметами, я сдал её на зачёт и всё со временем забыл, так как в органической химии теоретическая механика не используется. В курсе по квантовой химии часто всплывал гамильтониан, применённый к волновой функции, но детали гамильтониана, если и проходили, то квантовую химию я забыл ещё прочнее теоретической механики.

Сейчас, возможно, и теормех не проходят, потому что его вёл профессор Кротов, который был на таких вещах помешан, а после его смерти на химфаке этот курс спокойно могли заменить чем-нибудь более химическим или, наоборот, более гуманитарным.

[egovoru.livejournal.com]

"В курсе по квантовой химии часто всплывал гамильтониан, применённый к волновой функции, но детали гамильтониана, если и проходили, то квантовую химию я забыл ещё прочнее теоретической механики"

А вот интересно, когда занимаются молекулярно-динамическим симулированием молекул (QM/MM molecular dynamics simulations), там ведь, наверное, как раз нужна гамильтонова механика?

[anti0h.livejournal.com]

На инженерной специальности термех был один семестр, и там решали только простенькие дифуры (емнип). Причём шёл он почему-то в третьем семестре, ещё до того как нам дочитали интегральное исчисление до конца. У кого с вышкой и так было не очень — были в полном восторге конечно. =))

[egovoru.livejournal.com]

Да, отсутствие координации программ разных курсов - это, видимо, общая проблема всех вузов. У нас тоже было много таких нестыковок: или один курс требовал того, чего еще не прошли по другому, или, наоборот, два разных курса излагали одно и то же :)

[greygreengo.livejournal.com]

В тоске по притчам Галилея
Термех он с детства изучал,
Для функций действие писал
Пред Гамильтоном не робея.
Умел тяжелый бег планет
Разложить секулярным рядом.
(там впрочем многого не надо,
поскольку продолжений нет)
Но мыслимо ли — эти взгляды
В нем разожгли такой пожар
О вере в правильность законов,
Что жизни сотен миллионов
Он смог пожертвовать за них...

Хоть сам и был в числе таких.

[pargentum.livejournal.com]

однако!

[nebos-avos.livejournal.com]

Судя по моему опыту, уравнения Гамильтона - самый удобный способ решить механическую задачу.

[egovoru.livejournal.com]

Вот я и удивляюсь, почему их не изучают не то что в школе, но даже и в нефизических вузах? Разве они уж настолько сложнее ньютоновых?