![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
egovoruНьютоновы законы движения позволяют предсказать состояние механической системы в любой момент времени, исходя из знания ее состояния (координат и скорости) в начальный момент. Фундаментальное понятие ньютоновской механики – сила. Ту же задачу можно решить и по-другому, исходя не из силы, а из энергии, и не прослеживая движение системы шаг на шагом, а наблюдая его, так сказать, с птичьего полета. Метод Лагранжа состоит в нахождении перехода системы из заданного начального состояния в заданное конечное, соответствующего минимальному действию. Для того, чтобы результат совпал с результатом Ньютона, действие определяют как интеграл под кривой лагранжиана – функции координат и скорости, для нерелятивистских систем имеющей вид разности между кинетической и потенциальной энергиями.
Гамильтонова механика – версия лагранжевой, в которой движение описывается гамильтонианом – функцией не скорости, а импульса, причем (обобщенный) импульс определяется не как произведение массы и скорости, знакомое нам из школьного курса, а как производная лагранжиана! Импульс – более фундаментальное свойство, чем скорость, потому что подчиняется закону сохранения. Более того, если у Ньютона масса – константа, то при переходе к релятивистским теориям приходится учитывать и ее изменение. Гамильтониан, сумма кинетической и потенциальной энергий, в большинстве случаев представляет собой общую энергию системы.
Гамильтонова механика легче поддается квантованию, чем ньютонова, а лагранжева механика облегчает расчеты в специальной теории относительности. Примечательно, однако, что созданы они были задолго до этого: Жозеф-Луи Лагранж выступил со своей версией в 1760, описывая движение маятника, а Уильям Роуэн Гамильтон – в 1833. Современные историки науки пишут, что побуждением Гамильтона была трактовка потенциальной энергии как проявления силы. Похоже, развитие классической механики описало диалектическую спираль :)
в изложении физика Эллиота Шнайдера
На биофаке механику преподавали целый семестр, но ни о лагранжевой, ни о гамильтоновой версиях ни словом не обмолвились. А как обстояло дело в вузах, где вы учились?
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2025-05-24 12:02 pm (UTC)При обсуждении яйца следует начать рассмотрение с того, что такое энтропия яйца. На этом все и остановится. Самой главное, что в этом случае беспорядок не имеет отношения к энтропии яйца. В этом проблема метафоры числа перестановок - она не применима к реальным системам.
no subject
Date: 2025-05-24 12:33 pm (UTC)Почему не применима? Теоретически мы можем, например, разбить весь объем яйца на участки в кубический миллиметр и приписать каждому из них одно из качеств: белок, желток и скорлупа. Дальше мы можем задать некую функцию, описывающую распределение участков с этими качествами по объему, и считать, насколько упорядочено это распределение. Чем плох такой подход?
no subject
Date: 2025-05-24 12:42 pm (UTC)Правильно рассмотрение должно начинаться с ансамбля - микроканонического или канонического, но в обоих случаях ничего хорошего не получится. Надо начать с того, что есть много фаз и при рассмотрении многофазовой системы целиком в статистической механике нет решений. Значит надо разбить на разные фазы, но тут будет большая проблема, поскольку в клетке большую роль играет поверхностные явления и что такое фаза - это открытый вопрос. Мы с вами это уже, кстати, обсуждали.
Пожалуйста, забудьте о числе перестановок. Оно применимо только в случае идеального одноатомного газа. Разве яйцо напоминает идеальный одноатомный газ?
В этом основная проблема рассмотрения энтропии в научно-популярных книгах - там обсуждается число перестановок и только это остается в головах. Но это как раз совершенно неправильно.
no subject
Date: 2025-05-24 07:30 pm (UTC)Kaк справедливо заметил Копайлот, в процессе разбивания яйца нет ни передачи тепла, ни химических реакций - одним словом, ничего такого, что позволило бы нам применить понятие энтропии, как оно вводится в термодинамике. Следовательно, нам остается информационно-теоретический подход, вроде того, какой я предложила выше.
"Значит надо разбить на разные фазы, но тут будет большая проблема, поскольку в клетке большую роль играет поверхностные явления и что такое фаза - это открытый вопрос"
Вопрос тут другой: так ли уж необходимо для подсчетов энтропии разбиваемого яйца спускаться до клеточного уровня? А если спускаться, то почему именно до клеточного, а не молекулярного, не атомного - или не до уровня квантовых субатомных частиц, наконец?
no subject
Date: 2025-05-24 07:41 pm (UTC)Однако если вы говорите про термодинамическую энтропию, то нет другого пути как рассматривать энтропию на уровне клетке, поскольку термодинамическая энтропия есть характеристика вещества и она не имеет никакого отношения к информационно-теоретическому подходу. Естественно, что рассмотрение на уровне клетки предполагает связь с молекулами.
При этом изменение термодинамической энтропии при разбивания яйца будет небольшое, поскольку термодинамическая энтропия есть сумма энтропий фаз. Число вещества не поменялось, фазовый состав также по всей видимости не сильно изменился.
В данной ситуации могу предложить более простой пример. Возьмите болты и гайки и их перемешайте. Что будет с термодинамической энтропией болтов и гаев в этом процессе? Ответ - ничего не изменится. Термодинамическая энтропия останется точно той же самой.
no subject
Date: 2025-05-24 09:08 pm (UTC)Да, потому что и в этом случае не происходит никакой передачи тепла. Следовательно, единственный смысл, в котором мы можем понимать и подсчитывать энтропию в этом примере - информационно-теоретический.
no subject
Date: 2025-05-25 06:43 am (UTC)В статистической механике действительно есть линия развития "субъективной энтропии" когда в силу сходства между статистической энтропией Гиббса и информационной энтропией Шеннона ряд физиков пришел к выводу о связи энтропии и незнания. Поэтому можно поставить такой вопрос - связываете ли стрелу времени с незнанием человека?
Если нет, то какой вы видите смысл в использовании информационной энтропии Шеннона при рассмотрении, например, разбивания яйца?
no subject
Date: 2025-05-25 03:43 pm (UTC)no subject
Date: 2025-05-25 03:49 pm (UTC)Обычный ход связан с тем, что информационная энтропия Шеннона отождествляется со статистической энергией Гиббса, но это возможно только в том случае когда термодинамическая энтропия отождествляется с незнанием. Таким образом, сама стрела времени связывается каким-то образом с человеком и его незнанием.
Кстати, примерно так получилось у Больцмана в флуктуационной гипотезе - у него времени не было на уровне физического мира, время появлялось в обоих лучах флуктуации по мере возрастания энтропии.
См. эту главу и следующую:
https://blog.rudnyi.ru/ru/2025/05/book-entropy-chapter24.html
no subject
Date: 2025-05-25 11:13 pm (UTC)no subject
Date: 2025-05-26 06:49 am (UTC)Про какую произвольность в этом случае идет речь?
Если говорить про энтропию Больцмана, то в этом случае следует перейти к микроканоническому ансамблю. Исходное уравнение Больцмана использовать уже нельзя. См. главу 2.6 у меня - там есть про Назад к Больцману. Здесь в целом нет произвольности, но ничего рассчитать нельзя.
Статистическая энтропия Гиббса в этом случае не меняется согласно теореме Лиувилля, в этом случае так же нет никакой произвольности. Некоторая произвольность появляется при введении грубой энтропии, но там точно также как в "Назад к Больцману" нельзя ничего рассчитать.
Поэтому вы должны разобраться, про какое уравнение вы говорите и про какую произвольность, и самое главное, что такое информационно-теоретический подход без энтропии Шеннона.
no subject
Date: 2025-05-26 11:48 am (UTC)В статье же про fluctuation theorem Вики пишет: "The fluctuation theorem shows how the second law is a consequence of the assumption of causality. When we solve a problem we set the initial conditions and then let the laws of mechanics evolve the system forward in time, we don't solve problems by setting the final conditions and letting the laws of mechanics run backwards in time."
Иными словами, второй закон термодинамики субъективен в том смысле, что мы выбираем те условия, которые называем начальными.
Там же в статье написано, что вероятность процессов, протекающих с уменьшением энтропии, зависит от размера системы, и что для микроскопических систем (и даже для систем размером с митохондрию!), эта вероятность достаточно велика. Я ничего об этом не знала, и о такой теореме никогда не слышала - даже не знаю, как ее название звучит по-русски (в русской Вики нет такой статьи): флуктуационная теорема?
no subject
Date: 2025-05-26 11:51 am (UTC)no subject
Date: 2025-05-26 12:37 pm (UTC)В случае разбитого яйца термодинамическая энтропия увеличивается, хотя подсчитать это увеличение достаточно сложно. В данном случае надо взять механику деформируемых сред, там рассматривается образование трещин и другие сопутствующих процессов. Не знаю как дело обстоит с яйцом, но можно увидеть видео расчетов разбиения стеклянного стакана на кусочки. Но энтропия увеличивается не из-за перемешивания кусочков, а из-за образования поверхности и сопутствующих деформаций в материале. Энтропия есть свойство материала.
В этом отношении вам было бы полезно понять откуда у вас идет число перестановок, поскольку в этой ситуации это никак не подходит. У Больцмана было два разных утверждения: 1) энтропия макросостояния пропорционально числу микросостояний; 2) число микросостояний равно числу перестановок. Первое еще можно оставить, но про второе надо забыть.
Проблема со статистической механикой в рассматриваемых случаях в том, что там ничего нельзя посчитать. Там можно записать общие уравнения, но их нельзя решить, поэтому, собственно говоря, ничего определенного сказать уже нельзя. Теорема Лиувилля в общем случае говорит о том, что статистическая энтропия Гиббса в любом неравновесном процессе в изолированной системе остается постоянной. Что добавляет пикантность ситуации, но есть ряд предложений как исправить эту ситуацию. Но в любом случае все остается на уровне общих уравнений и рассуждений, довести до расчетов не удается.
При уменьшении размеров системы есть флуктуационно-диссипационная теорема, которая восходит к работам Эйнштейна по броуновскому движению. Есть флуктуация, которая вызывает движение броуновской частицы, но есть тормозящая сила, которая это движение тормозит. Чем больше флуктуация, тем больше тормозящая сила. В настоящее время это активно рассматривается в так называемой стохастической термодинамике. Но это не имеет отношения к обсуждаемым вопросам.
Если вы хотите в этом разобраться, попробуйте посмотреть мою часть про стат. механику. Хотя также было бы полезно вначале посмотреть часть про классическую термодинамику. Тогда вы сможете лучше понять на каком этапе и что вам не хватает.
no subject
Date: 2025-05-26 01:59 pm (UTC)Не могу с этим согласиться. Если Вам покажут киноленту, где болты и гайки, высыпанные в одну банку слой за слоем, смешиваются, когда банку трясут, и киноленту, где они распределяются в два разных слоя, Вы сразу скажете, что последняя прокручена в обратном направлении, т.е., от настоящего к прошлому. (Можно рассмотреть и классический пример смешивания двух разных газов, в результате которого энтропия системы тоже возрастает).
"В этом отношении вам было бы полезно понять откуда у вас идет число перестановок"
А разве я говорила о перестановках? Это слово используете только Вы, и я не понимаю, откуда оно возникло. Я говорила только о выделении микросостояний: у Больцмана они были равновероятны, у Губбса, в его обобщенной формуле - нет.
А что Вы скажете о выводе второго закона из флуктуационной теоремы?
no subject
Date: 2025-05-26 02:25 pm (UTC)В случае смешения болтов и гаек в банке при вибрации будет работа, будет выделяться тепло и это, конечно, приведет к изменению энтропии. Самое главное - ни в коем случае нельзя сопоставлять этот процесс с процессами смешения газов. Это совершенно разные процессы. Кстати, статистическая механика как таковая ни в коем случае не дает возможности их отождествления. Сравнение болта или гайки с атомом с точки зрения современной физики не имеет смысла.
Сопоставление появляется только на уровне информационной энтропии Шеннона, но если мы отбросили ее в сторону, то тогда непонятно, про что идет речь. Вот вы отказываетесь от числа перестановок, но как тогда вы хотите определить энтропию смешения болтов и гаек без числа перестановок болтов и гаек?
Равновероятность микросостояний появляется в равновесном микроканоническом ансамбле. Это также следует из статистической энтропии Гиббса для равновесного распределения. В этом смысле между ними нет разницы. Так физики часто выводят распределение Гиббса по энергиям в каноническом ансамбле исходя из априорной равновероятности микроканонического ансамбля.
В стохастической термодинамики есть общие теоремы, но говорить о доказательстве неравенства Клаузиуса в общем виде по-прежнему нельзя. Дело в том, что при выводе уравнений стохастической термодинамики заложена равновесная статистическая механика. Но если вы хотите в этом разобраться, то вначале следует завершить рассмотрение обычной статистической механики без флуктуаций.
no subject
Date: 2025-05-26 03:16 pm (UTC)Этого я не понимаю. Кто здесь выступает в качестве отправителя, кто - получателя, и что - в качестве сообщения?
"В случае смешения болтов и гаек в банке при вибрации будет работа, будет выделяться тепло и это, конечно, приведет к изменению энтропии"
Так ведь без вибрации никакого перемешивания болтов и гаек в банке и не случится? То есть, получается, Ваш исходный вопрос об изменении энтропии относился к невозможной ситуации?
no subject
Date: 2025-05-26 03:19 pm (UTC)Мой вопрос относительно энтропии болтов и гаек касался идеальной ситуации, которую я разъяснил выше. Речь идет о безразличном равновесии на плоскости без трения. Передвижение осуществляется точно также как в идеальном цикле Карно - силой мысли.
no subject
Date: 2025-05-26 03:44 pm (UTC)А что такое в Вашей понимании "термодинамическая энтропия"? Имеете ли Вы в виду именно классическую термодинамику, определяющую энтропию через переданное тепло и температуру? Если так, то сопоставлять ее разумно не с энтропией Шеннона, разработанной для специфической ситуации передачи сообщений, а с энтропией статистической механики, определяемой через число микросостояний и их вероятности. Возможно, уже упомянутая мной произвольность выбора микросостояний ограничена желанием, чтобы эта энтропия совпала с энтропией классической термодинамики - по крайней мере в тех случаях, когда последнюю можно рассчитать?
"Передвижение осуществляется точно также как в идеальном цикле Карно - силой мысли"
Но ведь тогда сила мысли должна входит и в уравнения, описывающие такую систему? И как же Вы предлагаете ее туда включить? В идеальном цикле Карно тепло передается от горячего тела к холодному все же не силой мысли. Реальные газы смешиваются под действием диффузии, но объекты такой массы, как болты и гайки, диффундировать не будут.
no subject
Date: 2025-05-26 05:17 pm (UTC)Неравенство Клаузиуса является следствием идеализации, проведенной в цикле Карно. Сравнение со статистической механикой подвисает в силу того, что там неравенство Клаузиуса остается недоказанным.
К сожалению, нехватка времени приводит к тому, что я останавливаюсь. Впрочем, я уже ответил на многие ваши вопросы.