Я вышел в ночь – узнать, понять

[egovoru]

Что такое «понимание»? Что конкретно мы имеем в виду, когда говорим, что «хотим понять» явление природы – или произведение искусства? Может, «понять» – это научиться предсказывать поведение системы, исходя из заданных условий? Но все не так просто.

Во-первых, есть принципиально непредсказуемые, стохастические процессы, например – распад атома. Означает ли это, что мы совершенно не понимаем радиоактивный атом?

Во-вторых, есть системы детерминированные, но хаотические – например, земная атмосфера. Для надежного предсказания ее поведения (погоды) требуется знание начальных условий с такой точностью, которую трудно достичь практически.

В-третьих и главных, возможность предсказания далеко не всегда приносит нам эмоциональное удовлетворение, заслуживающее восклицания «эврика!». Можно с большой вероятностью утверждать, что завтра солнце снова взойдет, но этого явно недостаточно:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей.

Так чего же мы все-таки хотим, когда говорим, что стремимся «понять» нечто? Скажем, сознание?

(фото Vuenick)

Comments

[alex-new-york.livejournal.com]

А при чем тут вообще квантовая электродинамика? Мы ведь говорим не о квантовой электродинамике и вообще не о квантовой физике в том виде, в котором мы её знаем, а о современной Гамильтону логике, следуя которой он имел разумные основания предположить, что в основе классической механики лежат некоторые волновые явления. Не удивлюсь, если он именно это и предполагал и ему просто не хватило смелости поделиться этими предположениями. А Вы почему-то эту логику с непонятным упорством отказываетесь видеть. И вместо этого зачем-то принимаетесь обсуждать подробности современных представлений квантовой физики и настаивать на том, что Гамильтон никак не мог до них додуматься. Конечно не мог, кто же спорит. Как я уже написал, о них и Нильс Бор еще не имел особого представления. Однако это не помешало Бору описать энергетические уровни водорода. И Гамильтону ничто бы не помешало поэкспериментировать с моделью, в которой импульс заменен на волновой вектор, а гамильтониан - на частоту волны.

[rock-25.livejournal.com]

1. Ещё раз повторю, будьте внимательней! ВЫ написали: "в среде с дисперсией СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ФОТОНОВ РАЗНОЙ ЧАСТОТЫ НЕ ОДИНАКОВАЯ". Поэтому теперь заявлять, что мы говорим не о квантовой электродинамике (то есть "не о фотоне") как-то нелогично.

Фотон - переносчик электромагнитного взаимодействия, квант электромагнитного поля. Его физическое описание относится к компетенции квантовой электродинамики (или к более глубоким квантово-полевым теориям в соответствующих условиях). Поэтому мой ответ на ВАШУ реплику разъяснял Вам, что то, что Вы написали про фотон - абсурд: не может фотон двигаться ни с какой другой скоростью, кроме C! Понимаете? Скорость всех фотонов с любой частотой только C, вопреки тому, что Вы написали про "фотоны в среде с дисперсией"!!!

Дисперсия света - макроскопический эффект, возникающий за счет статистического осреднения взаимодействия потока огромного количества фотонов с электрически заряженными частицами атомов макроскопически нейтрального вещества. При этом КАЖДЫЙ ФОТОН В ПОТОКЕ ОСТАЁТСЯ РЕЛЯТИВИСТСКИМ КВАНТОВЫМ ОБЪЕКТОМ и между актами взаимодействия с заряженными частицами движется свободно со скоростью C и ни с какой другой: он не может существовать с меньшей скоростью поскольку не имеет массы.
ЕГО ЭНЕРГИЯ НИКАК С ЕГО СКОРОСТЬЮ НЕ СВЯЗАНА. Она - параметр квантового состояния фотона. То, что импульс пропорционален этой энергии - следствие нулевой массы фотона, который является ультрарелятивистским объектом. Ничего такого Гамильтон представить себе не мог.
2. "А Вы почему-то эту логику с непонятным упорством отказываетесь видеть." - Нет тут логики, поэтому и увидеть её невозможно. Не было у Гамильтона никаких возможностей изобрести квантовую теорию: объектов подходящих тогда физика не знала. Электрон как частица был открыт только в 1897 г. К сожалению, у Вас по этому поводу сложилось иллюзорное суждение, которое возможно связано с недостатком необходимых знаний, и Вы действительно "с непонятным упорством" его отстаиваете. Образец одного из Ваших заблуждений в области физики я только что ещё раз подробно для Вас разобрал. В первый раз Вы даже не поняли, что сказав в наше время "фотон" немедленно попадаете как минимум в область квантовой электродинамики - то есть релятивистский квантовый мир.

[alex-new-york.livejournal.com]

Вы снова переводите разговор на квантовую физику и снова то ли не понимаете, то ли сознательно игнорируете простую и не требующую знания квантовой физики логику относительно идентичности уравнений динамики гамильтоновой механики и волнового пакета, которую я в 3-й или 4-й раз пытаюсь донести. Думаю, что нам пора остановиться. Уже вполне ясно, что дальнейшее обсуждение не имеет смысла.

[rock-25.livejournal.com]

Это ВЫ перевели разговор на квантовую физику, написав слово "ФОТОН". Тем самым ВЫ взяли на себя всю ответственность за его использование. ФОТОН - это КВАНТ, переносчик электромагнитного взаимодействия. У него есть вполне определенные физические свойства.
Приписав этому кванту абсурдную способность двигаться в диспергирующей среде с "разной скоростью при разной частоте" Вы проявили полное непонимание физики фотона. Современной квантовой физики, о которой Вы пытаетесь рассуждать, надеясь вытянут её из гамильтоновой механки! Вот это Вы ("в 3-й или 4-й раз") никак не воспринимаете.

Про полюбившийся Вам "волновой пакет".
Уравнения гамильтоновой механики НЕ идентичны динамике волнового пакета. Они возникают при АСИМПТОТИЧЕСКОМ описанием монохроматического волнового поля в нулевом порядке по длине волны (точнее её отношению к характерному пространственному масштабу). При этом уравнения эйконала монохроматической компоненты волнового поля оказываются уравнениями типа Гамильтона -Якоби. Понимаете, НУЛЕВОЕ приближение: для отдельной ультракоротковолновой МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ гармоники без дисперсии, не для "волнового пакета"? Любой пакет в этом приближении собирается благодаря суперпозиции из таких гармоник и распространяется без искажений: все гармоники бегут независимо и синхронно по одним и тем же лучам (поскольку уравнение эйконала в ультракоротковолновой асимптотике от длины волны не зависит: фаза монохроматической волны определяется произведением эйконала на очень большой волновой вектор, обратно пропорциональный очень маленькой длине волны!). Их амплитуды пропорционально медленно растут там, где лучи сгущаются, убывают, где лучи разрежаются. Это изменение амплитуд описывается уравнением переноса (ведь у каждой монохроматической волны кроме фазы есть и амплитуда, которая в этом приближении считается очень медленно меняющейся в пространстве функцией в отличие от очень быстро меняющейся фазы). Поэтому решив уравнения эйконала (аналогичное гамильтоновым для материальных точек) можно найти поле в любой точке (в этом приближении!). Волны де Бройля, с которых началось развитие, "новой" (после "атома Бора") квантовой теории - тоже монохроматические: это понадобилось, чтобы объяснить дифракцию электронов.
Динамика волнового пакета в диспергирующей среде при асимптотическом описании с учетом дисперсии требует учета следующих по порядку членов разложения в зависимости частоты от волнового вектора. Уравнение эйконала для каждой спектральной составляющей - своё, а не одно для всех. При слабой дисперсии и узкополосном пакете асимптотика разложения по "почти плоским" волнам еще имеет смысл на некотором расстоянии, но при этом пакет таких волн расплывается и перемещается с "групповой скоростью", которая и по величине , и по направлению может отличаться от фазовой. В общем случае (когда длина волны не мала в условиях задачи) надо решать полную волновую задачу, в которой от лучевой асимптотики вместе с самим понятием "луч" проку нет, как и от гамильтоновых уравнений. Кроме того учет причинности требует соблюдения дисперсионных соотношений, связывающих частотную дисперсию скорости с частотной зависимостью затухания при представлении волнового поля в виде интегралов Фурье по частоте, кототорых во времена Гамильтона ещё не знали.
Никакой "идентичности уравнений гамильтоновой динамики и волнового ПАКЕТА", которую Вы "пытаетесь донести" просто нет: в диспергирующей среде у разных спектральных составляющих пакета нет одинаковых лучей. Сам Гамильтон, между прочим, сначала написал свои уравнения для лучевой оптики, а потом перенес их на механику.
Вы в какой угодно раз "несете" пустоту!

[alex-new-york.livejournal.com]

В среде с дисперсией под фотоном обычно понимают квант собственных колебаний системы "среда плюс электромагнитная волна". Поэтому в книгах по оптике постоянно встречается утверждение, что фотоны в оптических средах движутся медленнее скорости света в вакууме. Вот тут, к примеру, в конце 40-й - начале 41-й страницы.

http://pskgu.ru/ebooks/zsm_3/zs3_gl02_06.pdf

Или вот тут, например, где статья начинается с утверждения, что импульс фотона в плазмоподобной среде может во много раз превышать его импульс в вакууме (чего в системе Ваших понятий никак быть не может):

http://arxiv.org/pdf/0804.2599.pdf

"Никакой "идентичности уравнений гамильтоновой динамики и волнового ПАКЕТА", которую Вы "пытаетесь донести" просто нет: в диспергирующей среде у разных спектральных составляющих пакета нет одинаковых лучей."

А тут я уже от души рассмеялся, поскольку Вы, сами того не заметив, "доказали" невозможность классической механики как коротковолнового предела квантовой :)

Всё, больше ничего отвечать на Ваши возражения не буду, извините :)

[rock-25.livejournal.com]

Фотон никогда не существует со скоростью, отличной от с. В среде он взаимодействует с заряженными частицами среды, и макроскопическая волна, которая является усредненным по всем фотонам полем, оказывается имеющей фазовую скорость отличную от с. Вы читаете учебник классической оптики вместо учебника квантовой электродинамики и делаете бессмысленные выводы.

Никакой групповой скорости в уравнении Шредингера нет. Причем это было известно уже самому Щредингеру. Он действительно предполагал, что идея деБройля может быть объяснена таким образом, но в итоге вывел свое уравнение и понял, что это не так. Вот что об этом написано в книге О.Д. Хвольсона почти 90 лет назад:




>А тут я уже от души рассмеялся, поскольку Вы, сами того не заметив, "доказали" невозможность классической механики как коротковолнового предела квантовой :)<

Смейтесь дальше. Это легче, чем разобраться в физике :)) Когда насмеётесь, запомните: классическая механика - предел квантовой при h->0. h - это квант действия (постоянная Планка), а вовсе не "длина волны".

[alex-new-york.livejournal.com]

Нет, нет, не стоит нам спорить о физике :))) Мы с Вами говорим на слишком разных языках, у нас не получится диалога

[rock-25.livejournal.com]

Я говорю на языке физики, в которой принцип соответствия известен с 1923 г.:
"Условия, при которых квантовая и классическая механики совпадают, называются классическим пределом. Бор предложил грубый критерий для классического предела: переход происходит, когда квантовые числа, описывающие систему являются большими, означая или возбуждение системы до больших квантовых чисел, или то, что система описана большим набором квантовых чисел, или оба случая. Более современная формулировка говорит, что классическое приближение справедливо при больших значениях действия S >>h. В терминах «школьной» физики это означает, что должны соблюдаться неравенства:
P x l>>h
E x t >>h
(произведение характерного импульса процесса на его характерный размер и произведение характерной энергии процесса на его характерное время значительно больше h)". То есть при h->0, например, уравнение Шредингера переходит в уравнение Гамильтона-Якоби (есть модификация этого принципа, принадлежащая Дираку, что в данном случае не важно, поскольку условие h->0 в нём неизбежно присутствует).
А Вы находитесь в плену собственных заблуждений. Продолжайте, Вам с этим жить.

Рассуждения о том, что в преломляющей среде фотон движется медленнее С, имеет примерно такой же смысл, как утверждение о том, что если муха влетела в окно комнаты, а через 2 часа вылетела через дверь, и расстояние от окна до двери 4 м, то скорость мухи 2 м/час. Вы, конечно, можете так считать в смысле средней скорости, но не говорите мухе, что она непрерывно летела с этой именно скоростью. Муха Вас засмеёт :)

[alex-new-york.livejournal.com]

Вы же сами видели в приведенных мною ссылках, что разговор о фотоне в оптической среде, движущемся медленнее скорости света, никого в теоретической физике не возмущает. Все прекрасно понимают, что именно имеется в виду. А Вас этот разговор возмущает, Вы начинаете всерьез спорить и доказывать, что так не бывает. Ну, не бывает - и не бывает, ладно. Мне совершенно не хочется спорить с Вами об определениях. То же самое могу сказать и о проблеме соотношения между классической и квантовой механикой. Не хочется мне об этом спорить. Не согласны - и ладно, ничего страшного.

[rock-25.livejournal.com]

Физики-теоретики отличаются тем, что изучали теоретическую физику, например, читали 4-й том "Курса теоретической физики" Ландау и Лифшица:


Поэтому у теоретиков нет никаких проблем с пониманием того, что я Вам давно и пока, увы, безуспешно втолковываю: фотон не существует ни с какой другой скоростью, кроме скорости света. В текстах, которые Вы, видимо, либо сами не читали, либо не поняли, говорится о макроскопической средней скорости, наблюдаемой при распространении света (то есть внешнего возмущения электромагнитного поля) в среде, состоящей из большого количества электрически заряженных частиц. Я Вам описал пример со средней скоростью мухи на пути из окна в дверь, которая влетела в окно, долго летала по комнате, а потом вылетела в дверь. Вы, видимо, ничего не поняли!
Поскольку квантовое описание электромагнитного поля - квантовой системы с бесконечным числом степеней свободы,- состоит во введении операторов, определяющих его переход во все возможные состояния (Дирак ввел для этого операторы рождения и уничтожения частиц), то пропагатор фотона представляет собой (в разложении в ряд теории возмущений) даже в вакууме сумму всех возможных (разрешенных квантовыми правилами отбора) процессов рождения и уничтожения (в пределах соотношения неопределенности) виртуальных частиц из первоначального фотона. Например, виртуальных электронно-позитронных пар. Для представления и вычисления таких рядов давно и успешно используют фейнмановские диаграммы. Полный ряд для фотона в вакууме был просуммирован Дайсоном в конце 40-х годов. Уже простая диаграмма изображает процесс превращения фотона в электрон и позитрон с последующей их аннигиляцией и рождением фотона с тем же импульсом и энергией. Но там где линия "голого" фотона встречается в подобных процессах, она представляет именно ту самую релятивистскую частицу, существующую со скоростью света. Никак иначе она жить не может: скорость света - инвариант преобразований Лоренца, поэтому фотон в любой системе отсчета будет иметь только эту скорость и никакую другую. По этой же причине не существует системы отсчета, где бы фотон покоился. А там, где фотон исчезает, породив новые квантовые частицы, его просто нет, поэтому о его скорости говорить бессмысленно. В присутствии реальных, а не виртуальных, заряженных частиц, становятся возможными ещё процессы, связанные с рассеянием фотонов на них, поглощением фотона ими, взаимодействием виртуальных частиц с реальными и пр. При этом уже нет гарантии, что появляющиеся в цепи этих превращений фотоны будут иметь те же импульс и энергию, что первоначальный. Например, если энергия фотона достаточна для того, чтобы перевести встреченный электрон из оболочки атома на более высокий энергетический уровень, то фотон будет поглощен, а электрон - перейдет в возбужденное состояние, из которого он, возможно когда-нибудь вернется назад, излучив куда-нибудь фотон, уносящий высвободившуюся энергию. Естественно со скоростью света! Только импульсы могут часто меняться, даже при сохранении энергии. Вот таким запутанным путем свет и распространяется в материале. Поэтому, когда фотонов много, с макроскопической точки зрения наблюдается результат статистического усреднения параметров поля по всем таким путям.
Когда Вы изучите хотя бы содержание первых 4-х томов Ландау и Лифшица (или любой их эквивалент), тогда Вы поймете физиков-теоретиков.

Что касается принципа эквивалентности, то, если Вы еще до сих пор не поняли, что классический предел из квантовых теорий получается при h->0 (или S/h->"бесконечности", если S-действие), и продолжаете считать, что это какой-то "коротковолновый предел" то попробуйте это доказать хотя бы для простейшего нерелятивисткого варианта квантовой теории - уравнения Шредингера.

[alex-new-york.livejournal.com]

Открою Вам страшную тайну: под коротковолновым пределом в квантовой механике как раз обычно и понимается предел h->0 :) И под фотоном в среде чаще всего понимается квант собственных колебаний системы "среда + электромагнитное поле". Именно эти смыслы я вкладывал в эти понятия.

Если честно, я не понимаю, почему Вы так настойчиво продолжаете спор, в котором Вы даже не пытаетесь сделать никаких интересных и неочевидных утверждений. Неужели Вам вправду интересно спорить о такой скучной вещи, как терминология?

[rock-25.livejournal.com]

Да, я уже заметил, что пропустил "волнового пакета" после коротковолнового предела. Вы ведь постоянно на волновом пакете настаиваете!
Я уже много раз писал, что в переходе к классическому пределу рассуждение строится на рассмотрении монохроматической волны (с частотой E/h и волновым вектором p/h=(grad S)/h ), а не "волнового пакета". Конечно, h->0 - высокочастотный предел для этой монохроматической плоской волны. Что было понятно Шредиингеру и отражено в написанной "по горячим следам" книге Хвольсона. Принцип соответствия, конечно, шире, поскольку при h->0 не только пространственное движение частицы становиться классическим, но и другие, чисто квантовые, параметры, пропорциональные h, исчезают.

А зачем называть фотоном то, что не имеет четко определенных свойств и меняется не только от среды к среде, но и от её границ и прочих параметров? Кроме того разделение на "среду" и "электромагнитное поле" (которое связано и со всеми заряженными частицами среды, а не только с внешним полем) можно, как известно, делать разными способами, поскольку оно условно, да ещё с релятивистской инвариантностью могут быть проблемы? Это уже - не элементарный объект.
Начиная от книг Ландау и Лифшица (вы видели текст), Ахиезера и Берестецкого, Боголюбова и Щиркова и до самого простого физического справочника фотон - безмассовая частица, всегда имеющая скорость света и поэтому не имеющая координатного представления для своей волновой функции. Только импульсное. По причинам, которые я уже называл: нет такой системы отсчета, где фотон покоится. Волновая функция его не локализуется в пространстве: его положение может быть определено с точностью не лучше длины его волны.
Зачем путать понятия?

[alex-new-york.livejournal.com]

Энергетическая монохроматичность соответствует полной размытости волновой функции в пространстве. Двигаться из точки А в точку В может лишь волновой пакет. Пролетающий у Вас над головой по закону x=v*t мяч Вы монохроматическим решением никак не опишете.

[rock-25.livejournal.com]

Интеграл действия для мяча массой в 0.5 кг, пролетающего "у меня над головой" со скоростью 2м/с за 1 секунду, примерно в 10^33 превышает квант действия (постоянную Планка), поэтому мяч - прекрасно описывается классической механикой, а квантовая неопределенность его координат соответственно ничтожна.

О фотоне (именно о кванте электромагнитного поля, определенном, в частности, на предъявленной Вам странице 4-го тома "Курса ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ физики") я уже написал, что он не локализуется в пространстве лучше, чем с точностью до длины волны, и не имеет волновой функции в координатном представлении именно потому, что его масса - нуль, а скорость в любой системе отсчета - релятивистски инвариантная величина С.

Вы путаете фотон, как квант электромагнитного поля, с квазичастицами, которые используются для описания некоторых состояний многочастичных систем, как малых возмущений к некоторому референтному состоянию. Этот прием избавляет от расчета самого референтного состояния по релятивистским квантовым правилам.

В главе "оптика" из учебника ОБЩЕЙ физики, на который Вы сослались, речь идет о "средней скорости фотона" в среде (средняя скорость мухи, ага!) - то есть некоторой статистической характеристике процесса, в котором принимает участие огромное количество взаимодействующих элементов статистического ансамбля (поле+вещество).
В статье из arxiv рассматриваются поверхностные плазмоны - это квазичастицы, то есть особое состояние системы, состоящей из электромагнитного поля и электронной плазмы электронов проводимости под поверхностью металла.

Поскольку в многочастичных системах количество степеней свободы практически так же велико, как в квантовых полях, для их квантового описания, при определенных условиях, можно использовать те же приемы, что в квантовых теориях поля: операторы рождения и уничтожения квазичастиц, числа заполнения и пр. Все это было понято к концу 1950х годов, а в 1962 вышла книга Абрикосова, Горькова и Дзялошинского "Методы квантовый теории поля в статистической физике".

Другие известные примеры квазичастиц - фононы, экситоны, поляроны, дырки в полупроводниках. Электроны в металлах и полупроводниках - тоже отличаются от свободных, поскольку взаимодействуют с другими заряженными частицами, включая массивные ядра атомов кристаллической решётки, и друг с другом. Причем разные подсистемы электронов в конденсированных средах удобно описывать по-разному (например, электроны проводимости и валентные электроны в полупроводниках).

Квазичастицы - это совершенно другой структурный уровень физического описания, чем частицы. Рой комаров может висеть неподвижно в воздухе, и средняя скорость комара в рое - равна нулю, но это не значит, что каждый комар висит в воздухе неподвижно и его реальная скорость равна нулю. Слабый ветер - вызовет дрейф всего роя с небольшой скоростью, а сильный ветер - разрушит рой и понятие "средняя скорость (этого) роя" потеряет смысл вместе с ним.
Квазичастицы легко перестают существовать при значительном изменении тех референтных состояний, возмущения которых с этим способом описания связаны. Например, фононы - квазичастицы, описывающие акустические колебания атомов заданной кристаллической решетки, при увеличении амплитуды этих колебаний до значений, разрушающих структуру решетки (то есть её плавления), потеряют смысл.

Небольшое возмущение электромагнитного поля в среде можно линеаризовать и проквантовать в описанном выше смысле, как относительно независимую подсистему. Тогда у Вас и получатся квазичастицы, которые подобны квантам электромагнитного поля, но уже имеют ненулевую эффективную массу и скорость, отличную от С, а могут вообще покоиться. Их на жаргоне физики конденсированного состояния называют фотонами, но это - не кванты полного электромагнитного поля, а квазичастицы - результат квантовая малого возмущения коллективного поля взаимодействующих частиц среды.

[alex-new-york.livejournal.com]

"...квантовая неопределенность его координат соответственно ничтожна."

Как же она ничтожна, если Вы мяч монохроматической функцией описываете?:))) Абсолютное значение монохроматической волновой функции стационарно во времени :))) Переместиться из точки А в точку В такая функция никак не может :)))

[rock-25.livejournal.com]

Я, как и все прочие, классический предел получаю для монохроматической спектральной составляющей любого пакета. Для КАЖДОЙ составляющей с точно определенными импульсом и энергией. Принцип суперпозиции никто не отменял. В классическом описании мяча волновых функций уже нет, а с квантовой точки зрения все квантовые структурные элементы имеют такие волновые функции (с учетом всех их взаимодействий), что мяч не расползается на лету, благодаря огромным внутренним взаимодействиям, обеспечивающим устойчивость структуры, а наблюдаемые значения координат, импульсов и прочих наблюдаемых соответствуют макроскопическому движению: средняя скорость должна быть классической. Импульс - аддитивная величина, значит, полный импульс системы должен иметь классическое значение, в среднем mV. Мяч - это уже макроскопическое тело, его квантовую структуру практически невозможно описать. Но раз известно, что для всего тела выполняется классическая механика, то в результате всех квантовых расчетов и вычислений должно получиться классическое движение, поскольку минимальное действие, рассчитанное только по классическим параметрам движения, уже многократно превосходит постоянную Планка. Это - даёт право воспользоваться принципом соответствия и решать классические уравнения движения.

[alex-new-york.livejournal.com]

Получить классический предел для одной-единственной монохроматической волновой функции, не рассматривая ее как часть волнового пакета, невозможно в принципе. Поскольку, как мы только что согласились, монохроматическая спектральная составляющая вообще не меняет своего пространственного положения. И двигаться в пространстве может только волновой пакет - суперпозиция близких, но не совпадающих волн. Движение же пакета связано как раз с тем, что близкие, но не совпадающие волновые функции имеют близкую, но разную частоту. Что, собственно и отражено в классическом пределе, который выражает динамику координаты частицы во времени через частную производную гамильтониана по импульсу - то есть, через сравнительные характеристики гамильтониана для близких, но не совпадающих значений импульса.

[rock-25.livejournal.com]

Вы ведь имеете в виду нерелятивистскую волновую квантовую теорию, то есть уравнение Шредингера. ЖЖ не очнь удобен для математики, поэтому договоримся, что d/dt - это частная производная по времени, а h - "перечеркнутая" постоянная Планка. Тогда для волновой функции f "частицы" массы m в классическом потенциальном поле U:
ihdf/dt+(div grad f)(h^2)/(2m)-Uf=0

Подставляем "волну" f=exp(iS/h), дифференцируем, сокращаем общие экспоненты, а все h сокращаются сами (!!! - то есть Гамильтону неоткуда было знать, что для действия существует единый универсальный масштаб - фундаментальная физическая постоянная h!!!), и получаем:
dS/dt+(1/2m)(gradS)^2+U=0.
Это - классическое уравнеие Гамильтона-Якоби для действия S. "Пакет" не понадобился "в принципе" :) Понадобилось только соображение о том, что волна с фазой ф~S (и то, и другое - функции коорддинат и времени) и движение классических материальных точек - в некотором смысле обладают аналогией. В стационарном случае S=pr-Et: dS/dt=-E, gradS=p.

Уравнение Шредингера - линейное, принцип суперпозиции для его решений, как я уже писал, никто не отменял. Можно, конечно, собирать их и в пакеты. Для того, что было написано выше, - это не требуется. Аналогия между волнами и механикой там уже подтверждена. (Для Гамильтона это была "оптико-механическая аналогия" и интересна ему тем, что в оптике уже был давно сформулирован вариационный принцип - "принцип Ферма", а так его аналог оказался перенесен в механику). "Пакет" нужен совсем для других - очень важных! - выводов: о роли h и смысле амплитуды отдельной составляющей пакета. Но эти вопросы перед Гамильтоном не стояли: для них ещё не было физических основний. Вот почти через сто лет после тех работ Гамильтона стало понятно, что здесь не только аналогия, а вполне определенное соответствие.

[alex-new-york.livejournal.com]

"В стационарном случае S=pr-Et: dS/dt=-E, gradS=p."

Совершенно верно: в стационарном случае фаза является линейной функцией времени и координаты. Имеет место обычная монохроматическая волна. Отождествить которую с классической частицей, переместившейся из точки А в точку В при всем желании невозможно, поскольку эта волна лишь гармонически осциллирует, никуда не перемещаясь. Что, собственно, я и имел в виду. Чтобы обнаружить эффект движения из точки А в точку В с групповой скоростью, равной частной производной гамильтониана по импульсу, нужно рассматривать не монохроматическое стационарное решение, а нестационарное и не монохроматическое.

[rock-25.livejournal.com]

В стационарном случае только энергия определена (dS/dt=-E=const), а pr - скалярное произведение двух векторов. Вы же видели, что переход от уравнения Шредингера к уравнению Гамильтона-Якоби получается просто при f(r,t)=exp(iS(r,t)/h). С любым h. Чтобы выделить одну конкретную частицу в уравнении Гамильтона-Якоби нужно ещё её определить, например, задав координаты r0 и импульсы p0 в определенный момент времени, причем соответствующие заданной энергии E (то есть удовлетворять гамильтониану H(r0,p0)=E). Только так выделяется одна конкретная классическая траектория и движение одной классической материальной точки по ней.Вот чтобы локализовать "волну" можно собрать пакет из суперпозиции функций вида A(r,t)exp(iS/h), но теперь уже подстановка в уравнениее Шредингера даст для действительной части: dS/dt+(gradS)^2+U-h^2 div(gradA)/(2mA)=0. То есть получается уравнение для S, которое совпадает с уравнением Гамильтона-Якоби только приближенно, из-за добавочного члена порядка h^2. Вот теперь видно, что малость h - условие классического приближения, которое выполняется с точностью до величин, порядка h. Поскольку за счет добавочного члена ~h^2 "пакет" постепенно расплывается. Зато из мнимой части уравнения Шредингера можно получить, что d(A^2)/dt+div((A^2)gradS/m)=0. Это - уравнение непрерывности для (A^2), поскольку gradS/m=v - скорость соответствующей классической частицы, которая, очевидно, определяет перенос плотности A^2. Нормировав интеграл от этой величины на 1 можно трактовать её как плотность вероятности нахождения частицы в определенном месте.
Ясно, что к мячу (макроскопическому телу со сложной внутренней структурой) это не очень относится: мяч не расплывается. Потому что его квантовое описание должно быть многочастичной волновой функцией, а не волновым пакетом одной квантовой частицы.

[alex-new-york.livejournal.com]

Уравнение непрерывности в случае монохроматического решения приводит к тривиальному результату: абсолютное значение волновой функции стационарно в любой точке пространства. Нестационарность автоматически означает, что мы имеем дело не с единственной собственной модой, а с суперпозицией собственных мод, то есть - с волновым пакетом.

[rock-25.livejournal.com]

Стационарное состояние - это состояние с определенным (постоянным) значением энергии E=-dS/dt. В этом состоянии гамильтониан системы не зависит от времени явно, а зависит только от координат и импульсов. Я об этом уже написал. Вы не поняли. В этом состоянии "линейная зависимость от координат" - то есть от вектора r, - допускает бесконечное вырождение по векторам p. При этом каждому p соответствует своя бегущая волна. Я на это уже указывал, когда писал, что pr - скалярное произведение двух векторов. Возможно бесконечно много движений с одинаковой энергией, если они разрешены уравнениями движения (например, уравнением Шредингера для волн, или Гамильтона-Якоби для классических частиц)! Поэтому чтобы выбрать единственную классическую частицу требуется задать дополнительно, например, точку на её реализуемой в конкретном движении траектории, одной из всех возможных, и импульс в этой точке. Уже объяснял.
Уравнение непрерывности для A^2 в случае "волнового пакета" - суперпозиции решений вида f=A(r,t) exp(iS/h), - не тривиальный, а фундаментальный факт, устанавливающий смысл функции A^2=(Aexp(iS/h))(Aexp(-iS/h))=|f|^2, как плотности вероятности для квантовой частицы с волновой функцией f(r,t) быть обнаруженной в окрестности определенной точки постранства и времени.
За такую суперпозицию "платой" является расплывание "пакета", вызванное тем, что уравнение для S "пакета" уже отличается от Гамильтона-Якоби членом ~h^2/(2m). Если бы все частицы многочастичного макроскопического тела ("мяча") жили бы независимо как квантовые (нерелятивистские), то каждая из них имела бы свое собственное расплыание своего волнового пакета. Например, для каждого электрона это определялось бы его массой Me в его персональном уравнении для S. То есть членом ~h^2/(2Me). В ральном теле частицы, составляющие его микроскопическую квантовую структуру, взаимодействуют друг с другом. Причем природа и силы этих взаимодействий значительно отличаются от тех, которые макроскопически проявляются при наблюдении и описании макроскопического движения этого тела. Внутренние связи - на много порядков сильнее, поэтому "мяч" не распадается ни на атомы и молекулы, ни на электроны и нуклоны, ни на кварки и лептоны и пр. (а также на фотоны, глюоны, скалярние бозоны и пр.), хотя все они в мяче в том или ином виде присутствуют. Это и приводит к тому, что классическое уравнение Гамльтона-Якоби для действия описывает классическое движение мяча, которое соответствует квантовому с точностью до члена ~h^2/(2m), где m - учитывает ВСЮ энергию этого мяча (обеспеченную всей его внутренней структурой и даже более глубокими причинами: свойствами вакуума нашей Вселенной) в его собственной системе отсчета (мы же нерелятивистское тело рассматриваем!). То есть поправка к Уравнению Гамильтона-Якоби для мяча массой 0.5 кг имеет, наример, порядок в m/Me меньший, чем у одного (нерелятивистского) свободного электрона, входящего так или иначе в его внутреннюю структуру, если бы этот электрон двигался не участвовуя в структуре мяча, что составит ~3*10^26 раз!

[alex-new-york.livejournal.com]

Я устал от этой дискуссии. Если Вы считаете, что к классическому пределу для скорости частицы, равной групповой скорости дебройлевской волны, можно придти, рассматривая не динамику суперпозиции волновых функций с несовпадающими энергиями, - а одно-единственное монохроматическое решение, - считайте. Я не стану Вас переубеждать. Мне интересно спорить лишь о неочевидных вещах.

Кстати, возвращаясь к первоначальной теме обсуждения, не устою перед соблазном напомнить Вам, что понятие групповой скорости было введено именно Гамильтоном :)

[rock-25.livejournal.com]

Я Вам подробно объяснил, что «ключ в квантовый мир» - это открытие кванта действия (h) – универсальной физической постоянной, в сравнении с которой величин той же размерности (то есть собственно действия, момента импульса, элементарного объема фазового пространства частицы в статистической физике), характеризующих физическую систему, определяется необходимость их квантового или возможность классического описания, при котором h исчезает из уравнений, то есть с квантовой точки зрения происходит предельный переход h->0. Никакие «волновые пакеты» здесь не имеют значения. Да, Гамильтон знал, что из волн с непрерывным спектром можно собрать волновой пакет. Вот только к открытию кванта действия это никак не продвигало! Гамильтон был высококвалифицированным ученым и прекрасно понимал, что фаза волны – безразмерная величина, а механическое действие – размерно. Но у него не было никаких оснований предполагать, что обезразмеривание действия должно для всех физических процессов выполняться с помощью одной и той же универсальной физической постоянной (тем более не было возможности измерить или хотя бы оценить её величину!). Для него это был условный (свой в каждой задаче) масштаб. Открытие кванта действия стало возможным только концу XIX века, когда электродинамика Максвелла позволила (а это произошло далеко не сразу после выхода его «Трактата об электричестве и магнетизме»!) осознать электромагнитную природу света, а развитие термодинамики и статистической физики привело к постановке и решению задачи о спектре равновесного теплового излучения абсолютно черного тела. Сделал это Макс Планк в последний год XIX века. Квантовые теории стали развиваться после открытия кванта действия и никак не могли появиться до него.
Квантовая физика приводит к более глубокому описанию физической реальности и содержит параметры, принципиально не имеющие классических аналогов. Например, никакими «волновыми пакетами» и «групповыми скоростями» Вы не объясните такие квантовые величины как спин или изотопический спин и пр. Поэтому из квантовых уравнений классические выводятся при h->0, а обратная процедура – строго невыполнима. Можно лишь рассчитывать на некоторые «подсказки», основанные на классических аналогиях. Законы дисперсии, на основе связи классических импульсов и энергий частиц - конечно, одна из них. Групповая скорость волн де Бройля при заданной энергии E в стационарном случае определяется производной ∂ E/∂p для этой же энергии, а не для "разных энергий".

[alex-new-york.livejournal.com]

А многочастичность мяча к расплыванию его волновой функции не имеет никакого отношения. Атом тоже состоит из частиц: ядра и электронов. А молекула состоит из атомов. Но при этом квантовая дифракция атомов и молекул - экспериментально наблюдаемое явление.