egovoru: (Default)
[personal profile] egovoru

Некоторые трактовки сознания все же вызывают у меня полное недоумение. Скажем, панпсихизм. Если, по Чалмерсу, атомы обладают сознанием, то почему же останавливаться на них? Следует также признать, что сознательны и протоны, и кварки, и суперструны. Единственное, что у них есть общего – то, что они существуют (отвлекаясь от проблематичности последних). А значит, обладать сознанием – это и есть существовать (прямо по Декарту :) Но ведь обозначать одно и то же свойство объекта двумя разными терминами – плохая логика?


Или вот идея Пенроуза-Хамероффа, что сознание основано на квантовых процессах в тубулиновых полимерах. Ее авторы вроде бы связывают сознание с нейронами, но почему-то избирают в качестве его носителя вовсе не специфические для нейронов структуры, а те, что обязательно присутствуют не только во всех клетках нашего тела, но и вообще во всех эукариотических, то есть, ядерных, клетках. Причем, тубулины из разных организмов настолько похожи, что распознаются одними и теми же антителами. Из чего следует, что мы должны назвать сознанием нечто, что есть у амебы (у которой тубулины есть), но чего нет у бактерии (у которой их нет). Ваши предложения?


«Танец амеб», рисунок Timothy Forry
Художник явно скрестил амеб с инфузориями,
потому что они у него покрыты ресничками :)

Date: 2018-07-21 06:36 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"Так что если хотите прекратить тему, то напишите прямо"

Напротив, мне очень интересно беседовать с Вами. С одной стороны, как я понимаю, по роду занятий Вы принадлежите к той же категории, что и Пенроуз, Минский и т.д., т.е., Вы математик или программист, и, соответственно - носитель этого образа мыслей. С другой стороны, Вы готовы - и это большая редкость! - обсуждать проблемы мышления со мной, человеком, пришедшим с другого "фронта", с фронта естествознания с его совершенно другим набором методологических установок. Обычно же люди с разными бэкграундами вообще не способны вести сколько-нибудь содержательные беседы, к большому сожалению :(

"сначала нужно обосновать неалгоритмизируемость мышления"

Да, и я не понимаю, как это можно сделать, не выяснив его механизм. Разве уже тот факт, что Пенроузу мало кого удается убедить в том, что мышление неалгоритмизируемо, не свидетельствует, что мы этого просто пока не знаем? Спорить об этом - все равно, что пытаться подсчитать число ангелов на кончике иглы. Мне кажется, куда продуктивнее было бы просто изучать работу мозга.

"судить о том, алгоритмизируем ли процесс любой неведомой природы, можно исходя из тех задач, которые он способен решить"

Я подозреваю, что слова "задача" и "решение" тут используются в некоем специальном смысле, и именно поэтому мне так трудно Вас понять. Потому что, если понимать слово "задача" в обывательском смысле, разве мы можем заранее определить круг задач, которые способен решить наш мозг (я имею в виду коллективный мозг человечества)? Круг решенных нами задач поступательно расширяется, и кто знает, что мы еще научимся делать в будущем, если сами себя не угробим?

"Свобода воли - это уже метафизика, от которой Пенроуз сознательно держится в сророне"

Не в этом последнем (2014) обзоре. Там он (в соавторстве с Хамероффом) пишет:

"Moreover, the neurocomputational approach to volition, where algorithmic computation completely determines all thought processes, appears to preclude any possibility for independent causal agency, or free will. Something else is needed. What non-computable factor may occur in the brain?"

А перед этим он пишет:

"As shown by Gödel’s theorem, Penrose [23,24] described how the mental quality of ‘understanding’ cannot be encapsulated by any computational system and must derive from some ‘non-computable’ effect".

Ссылки 23 и 24 - это "Новый ум императора" и "Тени". Нашла в сети русский перевод "Теней" (оригинал, увы, даже Амазон не продает - т.е., нет электронной версии), попробую разобраться. Эта фраза вгоняет меня в совершенный ступор, потому что теорема Геделя не имеет никакого отношения к свойствам ума; она касается свойств формальных символических систем. А Вы понимаете, что здесь имеется в виду?

Date: 2018-07-21 06:57 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
Рада, что вам тоже не надоело :)
Попробую ответить на все подробно, но несколько позже. Сейчас хочу только сказать, что у меня есть все эти работы в электронном виде на языке оригинала (весьма старые файлы), если хотите - пошлю их (адрес ваш у меня есть, так как вы мне уже кое-что посылали не так давно).

Date: 2018-07-21 07:35 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
Да, если у Вас вдруг есть "Shadows of the mind" в электронном виде - пришлите, пожалуйста. Я пока начала читать русский перевод - интересно, но я еще на 30-й странице, и ничего, вызывающего возражения, еще не обнаружила, но и никаких доказательств неалгоритмируемости мышления пока тоже нет :)

Date: 2018-07-21 08:20 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
Послала, подвердите, пожалуйста, когда получите.

//но и никаких доказательств неалгоритмируемости мышления пока тоже нет :)//
- А доказательств и не будет (он говорит, почему это нельзя сделать), будут только многочисленные и разносторонние доводы в пользу его мнения.

Date: 2018-07-21 09:41 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
Ох, боюсь, в конце концов все окажется еще хуже, чем я опасаюсь: я забыла, что Пенроуз, к тому же, еще и платонист!

"If, as I believe, the Godel argument is consequently forcing us into an acceptance of some form of viewpoint C, then we shall also have to come to terms with some of its other implications. We shall find ourselves driven towards a Platonic viewpoint of things."

На веру в существование теоремы Пифагора (да хоть и Геделя), независимое от человеческого сознания, мне уж точно не хватает фантазии :)

Вот к чему в конце концов сводится его "строгое доказательство" неалгоритмируемости разума:

"It is this potential for the 'awareness' of mathematical concepts involved in this Platonic access that gives the mind a power beyond what can ever be achieved by a device dependent solely upon computation for its action".

Иными словами, у человека есть доступ к платоническому миру идей, а у компьютера - нет :)
Edited Date: 2018-07-21 09:47 pm (UTC)

Date: 2018-07-21 11:03 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
Ну да, он не раз заявляет о своей склонности к платонизму. Не помню, было ли это в первой книге.

//Вот к чему в конце концов сводится его "строгое доказательство" неалгоритмируемости разума//
- Не утрируйте. Он нигде не пишет, что оно "строгое" или "доказательство".

//у человека есть доступ к платоническому миру идей//
- И он осуществляется через оркестрированную объективную редукцию :)
Сожалею, если втянула вас в то, что вы не принимаете. Хотя на самом деле платонизм не очень важен в книге. Сейчас актуально понять, что нам сулит ИИ, может ли он нас превзойти во всем или только в алгоритмизируемых задачах. И на эти вопросы как раз и дает свой ответ Пенроуз.

Date: 2018-07-22 02:14 am (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"Сейчас актуально понять, что нам сулит ИИ, может ли он нас превзойти во всем или только в алгоритмизируемых задачах"

Да, я понимаю, что весь этот круг вопросов порожден попытками создать ИИ. Но мне, опять же, кажется пустым занятием гадание, сможем ли мы создать "настоящий" разум или сознание. Я не думаю, что математика, квантовая механика или что бы то ни было могло дать нам ответ на этот вопрос, просто потому, что мы не знаем, что же такое есть этот настоящий разум - т.е., наш собственный.

Date: 2018-07-22 03:35 am (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
ИИ - не настоящий разум или сознание. И пока его разработчики не претендуют на это. Тут опять проблема в словах и технической терминологии. Пока нет цели создать "настоящий разум или сознание". Есть цель создавать новые алгоритмы, хорошо решающие те задачи, которые раньше очень плохо решались компьютерами. Простейшие примеры - переводы с естественных языков и распознавание образов (например, отличить кошку от собаки). Я помню время, когда это считалось очень сложным запрограммировать. Сейчас научились, успехи впечатляют. И это уже называется ИИ (англ. AI).
Я слежу за развитием в области AI и знаю, что сейчас называют этими словами. AI без уточнения - термин объединяющий три разновидности: ANI, AGI, ASI (Narrow, General и Super). Я сейчас имею в виду ANI, который уже во многих местах присутствует. Тут ни о каком сознании даже и речи нет, и никто не утверждает этого. Считается, что сознание может возникнуть, причем само, не раньше, чем появится AGI. Но некоторые считают (и Пенроуз) что и тогда не будет сознания.
ANI уже во многих местах присутствует. Например, меня поразили его способности в фотоальбомах в Гугле. Он удивительно хорошо распознает лица людей. Даже если они на дальнем плане в толпе, в разных ракурсах и в разных возрастах (40 лет разницы!!!), он их правильно приписывает одному человеку. Становится жутковато. О распознавании предметов и пейзажей я вообще молчу. В фейсбуке такое тоже есть, но я им не пользуюсь, потому о его способностях распознавания мало мугу сказать. Но знаю, что и он умеет по фото определять людей и автоматом приписывает к фото, кто там присутствует. Видела и ошибки в этом, путает похожих людей.

Date: 2018-07-22 03:13 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"ИИ - не настоящий разум или сознание. И пока его разработчики не претендуют на это"

Да, Пенроуз в своей книжке оговаривает это. Обсуждению этих тем сильно мешает, конечно, разнообразие смыслов, в которых разные люди употребляют термины "интеллект", "мышление" и "сознание". Пенроуз, надо отдать ему должное, хорошо понимает это, и старается по мере сил объяснить хотя бы свое собственное словоупотребление. Так, он считает, что "интеллектом" может обладать только сознательный объект, и при таком раскладе поименование разных там Deep Blue "искусственным интеллектом" просто неверно.

Но, насколько я могу судить, более распространено представление, что интеллект (мышление) может осуществляться и в отсутствие сознания (чем и была порождена концепция "философского зомби"). На самом же деле мы просто не знаем, может ли такое быть, или по достижении определенного уровня сложности мышление (способность решать задачи) порождает сознание (т.е., появление субъективных ощущений, внутреннего мира) просто автоматически.

Насколько я понимаю, и это соответствует и тому, что и Вы написали, основные усилия по созданию ИИ направлены просто на то, чтобы воспроизвести в силиконе те или иные способности человеческого ума, как его способность производить арифметические операции уже была успешно воспроизведена машиной Тьюринга. При этом никого не заботит (как не заботило и Тьюринга), делает ли машина это тем же способом, что и человеческим ум, или нет - важен результат. В этом смысле усилия по созданию ИИ вряд ли сильно помогают в понимании того, как работает наш собственный мозг - у них просто нет этой цели.

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-22 09:44 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-22 10:27 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-23 04:29 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-23 12:39 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-23 03:48 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-24 12:26 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-24 02:01 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-24 12:14 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-24 02:01 pm (UTC) - Expand

Date: 2018-07-21 08:50 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
//по роду занятий Вы принадлежите ... //
- Да. Но со школьных лет мечтала быть физиком, занимающимся фундаментальными проблемами (строения материи, устройством Вселенной и т.п.). Любила естественные науки и даже технику. В последнем классе школы вдруг увлеклась биологией (интересный был учебник для 10-го класса) и даже хотела поступать на биофак, чтобы заниматься биофизикой. Но меня отговорили, так как сразу на биофизику тогда нельзя было поступить, брали туда после нескольких семестров, при этом, как правило, девушек не брали. Мне сказали, что надо проявить выдающиеся способности, чтобы сделали исключение. С физикой, кстати, аналогично: девушек не брали на специальности, которые меня интересовали, ни в Физтехе, ни в МИФИ. В этих вузах нам была открыта дорога на специальности, связанные с вычислительной техникой. А ради этого ездить в такую даль не было смысла, поэтому я поступила в другое место и училась прикладной математике со специализацией по уравнениям математической физики. И даже кое-какие инженерные дисциплины были у нас. Так что я ни в коем случае не отрешенный от реальности математик. А работать "по распределению" сразу стала в области вычислительной техники и программирования. (У нас тогда всего лишь один человек из выпуска попал в физику - в ИТЭФ, кажется).
Так что у меня значительная доля интересов лежит в естественных науках и технике. Хотя вся работа, дополнительное образование и диссертация - в области программного обеспечения.
(Этот комментарий, возможно, сотру, поэтому на остальное отвечу отдельно).

Date: 2018-07-21 09:25 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"Но меня отговорили, так как сразу на биофизику тогда нельзя было поступить"

В мое время (1980 год) биофизики отделялись от общего потока, кажется, уже после 1-го семестра (т.е., раньше всех остальных, хотя я уже не помню, когда было основное-то распределение по кафедрам - после 1-го или 2-го курса?). И никаких глупостей насчет того, чтобы девушек не брать, я тоже не помню - на нашем курсе на этой кафедре было полно девушек!

Другое дело, что сама эта кафедра была не слишком популярна среди студентов - в моде были молекулярно-биологические подходы, и сама я даже не рассматривала биофизику как вариант. Тем не менее, в конце концов я поступила в аспирантуру именно к выпускнику кафедры биофизики и до сих пор занимаюсь примерно тем же, чем начала тогда, о чем вовсе не жалею. Думаю, для дела было бы полезнее, если бы я окончила биофизическую кафедру, но заранее никогда не знаешь :)

Date: 2018-07-21 10:49 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
Наверное, в ваше время уже были послабки. А в мое время считалось, что физика опасна для девушек, потому что можно облучиться со всеми вытекающими для роста народонаселения последствиями :)
Но я тоже не жалею о том, что не стала тем, кем хотела. Как теперь оказывается, мы, возможно, живем в симуляции :) Так что моя профессия как раз может оказаться связанной с теми сами фундаментальными основами Вселенной, которымы я и хотела с детства заниматься (и которые тогда искали только в физике).

Date: 2018-07-22 02:27 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"моя профессия как раз может оказаться связанной с теми сами фундаментальными основами Вселенной"

И в любом случае она дает Вам универсально применимые методы. Недавно я имела случай чуть-чуть познакомиться с тем, как анализируют результаты секвенирования полинуклеотидов, и это произвело на меня сильное впечатление. ДНК (или, как было в нашем случае, РНК) сначала режут на короткие фрагменты, которые технически легче секвенировать, а потом, используя статистические алгоритмы, уже чисто компьютерно "собирают" в длинные цепочки. То, что таким образом удается довольно точно "подогнать" их друг к другу, кажется совершенным чудом, принимая во внимание степень их перекрывания: по одному изолированному кусочку невозможно сказать, какой из длинных последовательностей он принадлежит.

Date: 2018-07-22 03:33 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
//чисто компьютерно "собирают" в длинные цепочки. //
Не уверена, что достаточно хорошо поняла проблему сборки, но если речь идет о всякого рода комбинаторных манипуляциях, то здесь компьютеры на высоте :)

Date: 2018-07-22 04:02 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
Исходная молекула, даже РНК, кодирующая только один белок (не говоря уже о ДНК целой хромосомы), длиннее тех коротких цепочек, на которые ее режут для секвенирования. Соответственно, на выходе секвенирования у нас есть информация о последовательностях нуклеотидов, составляющие эти короткие фрагменты. Но как узнать, какой фрагмент принадлежит какой исходной молекуле, как правильно их состыковать? Режут молекулы случайно, так что некоторые из фрагментов частично перекрываются, и анализ частоты этих перекрываний и позволяет правильно объединять фрагменты. Задача это, конечно, чисто комбинаторная и решают ее обычные компьютеры, но технически она очень нетривиальная. Разработка программного обеспечения для этого и позволила вывести процедуру секвенирования на совершенно новый уровень.
Edited Date: 2018-07-22 04:03 pm (UTC)

Date: 2018-07-22 09:48 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
Спасибо за объяснения.
//Режут молекулы случайно, так что некоторые из фрагментов частично перекрываются, и анализ частоты этих перекрываний и позволяет правильно объединять фрагменты.//
- Похоже, что это даже чревато ошибками без достаточно большой статистики.

Date: 2018-07-22 09:58 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
Конечно, эти же алгоритмы анализа определяют, какая именно нужна статистика, чтобы осуществить сборку с заданной степенью надежности.

Date: 2018-07-21 10:31 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
//"сначала нужно обосновать неалгоритмизируемость мышления"
Да, и я не понимаю, как это можно сделать, не выяснив его механизм.//
- Я уже приводила пример с логикой, но он вас не убедил. Попробую зайти немного с другой стороны.
Вы знаете, наверное, что по законам логики из истинного высказывания нельзя вывести ложное. Если кто-то написал кучу страниц, где он "доказывает" теорему, у которой верная исходная посылка, но неверное конечное утверждение, вам нет нужды разбираться в его "доказательстве", вы сразу уверенно можете сказать, что где-то в рассуждениях было по крайней мере одно отступление от правил логики.
Так и здесь с алгоритмами: если получено решение неалгоритмизируемой проблемы, значит, где-то в решении было хотя бы одно отступление от алгоритмов. Вникать в подробности решения нет нужды, чтобы сделать такой вывод. Т.е. для этого вывода не нужно знать "механизм мышления", достаточно знать результат.

//Разве уже тот факт, что Пенроузу мало кого удается убедить в том, что мышление неалгоритмизируемо, не свидетельствует, что мы этого просто пока не знаем?//
- Да, мы действительно этого не знаем. Но то, что Пенроуз не всех может убедить, свидетельствует о том, что он не может привести настоящих доказательств отступлений от алгоритмичности хотя бы по результату мышления (как я написала выше в примере). Этого нельзя сделать, потому что нужно бесконечное число проверок. Он это сознает и делает множество оговорок на этот счет. Он приводит доводы, а на каждый довод можно найти возражение. Доводы - не доказательство. С каждым доводом убежденность может расти, но всегда есть место и для другого мнения. (Он в книге все это очень подробно разбирает).

//Мне кажется, куда продуктивнее было бы просто изучать работу мозга//
- Изучение мозга на классическом химическом и электрическом уровнях позволит найти только алгоритмы, там ничего другого нет (по убеждению современных физиков). Если же в работе мозга есть отступление от алгоритмов, то оно не будет на этом уровне обнаружено. Механизмы отступления от алгоритмов надо искать на более тонком уровне (например, та самая редукция). Но прежде, чем бросаться их искать, сначала надо все-таки посмотреть на результаты работы мозга и получить достаточные основания для того, чтобы поверить в какой-то степени, что есть отступления от алгоритмов.

//Я подозреваю, что слова "задача" и "решение" тут используются в некоем специальном смысле, и именно поэтому мне так трудно Вас понять.//
- Возможно и это вносит свой вклад. Но мне кажется, что главное препятствие в том, что вы постоянно заходите с противоположной стороны. Вот и опять: //Круг решенных нами задач поступательно расширяется, и кто знает, что мы еще научимся делать в будущем//. А дело не в том, что *мы* можем научиться, а в том, что *алгоритмы* не могут и не смогут никогда научиться некоторым вещам (доказано). Если только не расширить определение алгоритма, но это уже будет просто игра словами. То понятие алгоритма, которое принято давно и используется сейчас, имеет хорошо известные ограничения, свойственные формальным системам. Есть сильные подозрения, что человеку эти ограничения не свойственны. Об этом и пишет Пенроуз. То, чему мы научимся в будущем, не важно, так как (по мнению Пенроуза и его сторонников) мы уже умеем достаточно много из того, что невозможно сделать алгоритмами. Проблема лишь в том, что про каждое такое наше умение можно усомниться, а действительно ли мы это умеем. Помните, что алгоритмически неразрешимые проблемы состоят из счетного числа частных случаев. Как их все проверить на человеке, чтобы убедиться, что он справится с любым из них? Это один из важных аргументов противников Пенроуза.

Про свободу воли: Пенроуз в книге пишет, почему он оставляет это в стороне и концентрируется на математическом мышлении и понимании.

Date: 2018-07-21 11:14 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"Если кто-то написал кучу страниц, где он "доказывает" теорему, у которой верная исходная посылка, но неверное конечное утверждение, вам нет нужды разбираться"

Как же нет нужды? Логика - это заранее выбранный набор процедур, которые мы договорились считать не меняющими значение истинности/ложности высказывания; проще говоря, набор разрешенных действий над высказываниями. Не проверив всю цепочку вывода теоремы на соответствие правилам логики, как я могу знать, является ли конечный итог истинным или ложным? Каким другом способом я могу определить его истинность? Если бы это было возможно, зачем бы мы вообще доказывали какие-то теоремы?

Кстати сказать, это близко к тому, что мне непонятно и у Пенроуза. Вот он пишет о теореме Геделя:

"For what he appears to have shown is that no such system of rules can ever be sufficient to prove even those propositions of arithmetic whose truth is accessible, in principle, to human intuition and insight-whence human intuition and insight cannot be reduced to any set of rules."

Что значит "истина, доступная человеческой интуиции и прозрению"? Существует математическая (логическая) истина - утверждения, выведенные путем заранее оговоренных преобразований из высказываний, приятыми за истинные условно, по договоренности. И существует "истина" естествознания: гипотеза, еще не опровергнутая экспериментом. Наконец, есть еще истина Божественного откровения, но ее Пенроуз вроде отвергает. Так о какой такой истине он ведет речь? Об истине из платонического мира?

Date: 2018-07-22 12:56 am (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
//Не проверив всю цепочку вывода теоремы на соответствие правилам логики, как я могу знать, является ли конечный итог истинным или ложным? Каким другом способом я могу определить его истинность? //
- Например, вы знаете, что есть надежная и проверенная теорема, доказывающая противоположное (простейший случай). Или,в более общем случае, могли знать, что есть какие-то иные строго доказанные утверждения и/или аксиомы, которым противоречит новая якобы доказанная якобы теорема. Например, вам принесли длинное "доказательство", что 2x2=5. Нужно ли в нем разбираться? Разве что в педагогических целях.

//Что значит "истина, доступная человеческой интуиции и прозрению"? //
- Например, 2х2=4. Можете смеяться, но подобные вещи долго и нудно доказываются в рамках формальной арифметики. А мы откуда знаем этот факт и подобные? Из той модели арифметики, которой люди пользуются на практике с незапамятных времен. В рамках модели можно проводить и экспериментальные проверки. А в самой формальной системе никаких экспериментов нет, там только строгие формальные доказательства. Есть большие разделы в математике, посвященные моделям и интерпретациям формальных систем. Например:
https://en.wikipedia.org/wiki/Model_theory
Конкретно про арифметику:
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms#Models

Date: 2018-07-22 02:55 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"Из той модели арифметики, которой люди пользуются на практике с незапамятных времен"

То, что люди пользуются арифметикой с незапамятных времен, означает только, что утверждения типа 2х2=4 были приняты как аксиомы без официального обозначения их таковыми. Потому что, как я уже написала выше, никаких "самоочевидных" истин в математике быть не может: есть только аксиомы (утверждения, приятые истинными чисто условно) и выведенные из них теоремы.

Другое дело, что не все аксиомы сразу были осознаны как аксиомы; оперирование числами долго казалось настолько "естественным", что попытки приведения арфиметики в систему начались только через много веков после Эвклида, создавшего первую аксиоматическую систему, но не для арфиметики. И да, результат этих попыток оказался в высшей степени неожиданным - в этом смысле значение достижений Геделя действительно трудно переоценить.

Если, вопреки Пенроузу, мы будем считать, что арифметика - это плод нашего ума, а не независимая от нашего сознания структура в платоническом мире, то, вероятно, тот факт, что любая содержащая арифметику формальная система либо противоречива, либо неполна, можно считать неким свидетельством того, как работает наш ум. Может, Пенроуз именно это и имеет в виду в конце концов? Продолжаю читать.

Date: 2018-07-22 09:30 pm (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
//утверждения типа 2х2=4 были приняты как аксиомы без официального обозначения их таковыми.//
- Не думаю, что "аксиомы" здесь подходящее слово. Скорее, экспериментальные наблюдения и индуктивные выводы. Ведь до того, как появилась аксиоматика для арифметики, была ее модель (интерпретация). Арифметические действия совершались на этой модели и проверялись (палочки, камешки и т.п. всегда были под рукой).

//оперирование числами долго казалось настолько "естественным",//
- Именно благодаря наличию модели. И аксиоматика создавалась намеренно так, чтобы соответствовать этой испокон веков используемой модели.

// значение достижений Геделя действительно трудно переоценить. //
- Первая аксиоматика для арифметики появилась в 19 веке, до Геделя:
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Потом после Геделя были другие аксиоматики арифметики, в том числе и не подпадающие под теорему Геделя (потому что одна из посылок этой теоремы не выполнялась для той аксиоматики).

//тот факт, что любая содержащая арифметику формальная система либо противоречива, либо неполна, можно считать неким свидетельством того, как работает наш ум.//
- Тут есть тонкость: теорема Геделя предъявляет дополнительные требования к формальной системе, и им не каждая формальная система удовлетворяет. Вы не упомянули одно из них: должен существовать алгоритм, генерирующий все ее теоремы. Если система не обладает этим свойством, то она не обязана подчиняться теореме Геделя. Заметьте, что все опять упирается в алгоритм.
То, что вы не упомянули это свойство, возможно, связано с тем что иногда его подразумевают или даже включают в само определение формальной системы. Но в любом случае полезно знать, что теорема Геделя требует наличие этого свойства.

Date: 2018-07-22 10:14 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
"Не думаю, что "аксиомы" здесь подходящее слово. Скорее, экспериментальные наблюдения и индуктивные выводы"

Конечно, условность выбора аксиом не означает их произвольности. Поскольку мы хотим, чтобы математика служила нам полезным инструментом для ориентации в реальном мире, мы выбираем аксиомы таким образом, чтобы они отражали этот мир таким, как мы его видим.

"Первая аксиоматика для арифметики появилась в 19 веке"

Да, я слышала об этом. Насколько я понимаю, эти усилия вдохновлялись желанием построить полную непротиворечивую аксиоматику арифметики, "навести в ней порядок". Результат Геделя был неожиданным именно потому, что выяснилось, что этого в принципе нельзя сделать.

"должен существовать алгоритм, генерирующий все ее теоремы"

Формулировки этой теоремы в популярной литературе обычно называют в качестве необходимого условия, что система должна "содержать арифметику". Существование же алгоритма, генерирующего все теоремы, действительно кажется мне само собой разумеющимся, потому ведь что такое формальная система, как не совокупность высказываний, произведенных из аксиом по определенным заранее оговоренным правилам? Или это последнее определение еще не означает заведомое существование такого алгоритма?

Date: 2018-07-23 04:26 am (UTC)
From: [identity profile] yoginka.livejournal.com
//Или это последнее определение еще не означает заведомое существование такого алгоритма? //
- Алгоритма может не существовать. Сошлюсь на википедию:
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems#Effective_axiomatization
Из чего следует, что это требование не является обязательным для формальной системы. Там есть и пример.

Date: 2018-07-23 12:24 pm (UTC)
From: [identity profile] egovoru.livejournal.com
Иными словами, требование "включать арфиметику" слабее, чем требование перечислимости теорем? Несколько смущает, правда, то, что эта самая "истинная арифметика", которую приводит в пример Вики по Вашей ссылке как полную и непротиворечивую, потому что неперечислимую, содержит только "sufficient amount of arithmetic". Достаточное для чего?

И еще я не поняла, что такое "рекурсивно" перечислимое множество? Можно ли определить эту рекурсивность без употребления слова "алгоритм", которое меня все-таки смущает, потому что я не уверена, что я действительно понимаю, что оно значит. (Я знаю, чт алгоритм - это машина Тьюринга; во всяком случае, такого определения придерживается Пенроуз в своей книжке. И я вроде бы знаю, что такое машина Тьюринга; но мне все равно сложно рассуждать в таких терминах).

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-23 03:28 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-24 12:34 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-24 03:15 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-24 12:23 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-24 02:18 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-24 11:11 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-25 03:25 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-25 12:42 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-25 03:18 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-26 12:18 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-26 03:30 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-26 11:47 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-26 04:21 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-26 04:23 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-26 11:58 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-27 12:22 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-27 12:42 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-27 03:48 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-26 11:53 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-27 12:14 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-27 12:40 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-27 02:53 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-27 10:44 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-28 02:11 am (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-28 12:24 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-28 02:22 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] egovoru.livejournal.com - Date: 2018-07-28 02:33 pm (UTC) - Expand

(no subject)

From: [identity profile] yoginka.livejournal.com - Date: 2018-07-28 03:39 pm (UTC) - Expand

Profile

egovoru: (Default)
egovoru

January 2026

S M T W T F S
    123
456 78910
111213 14151617
18192021222324
25262728293031

Style Credit

Expand Cut Tags

No cut tags
Page generated Jan. 15th, 2026 02:42 am
Powered by Dreamwidth Studios