Арифметика права: все бывало в мире

[egovoru]

Некоторое представление о философии математики я уже получила из книги Ойстена Линнебо, которую мы обсуждали здесь и тут. Но он пишет для студентов, собирающихся специализироваться в этой области, а вот Рубен Херш задался целью сделать философию математики понятной для всех. Если вы чего-то не поняли, обещает он своим читателям, значит, это было не важно :) В отличие от Линнебо, просто перечисляющего разные «измы» и остающегося «над схваткой», Херш настойчиво проводит собственную линию, пропагандируя представление о математике как о коллективной человеческой деятельности и помещая ее в один ряд с такими явлениями, как деньги, война и религия. Русского перевода его книжки я, увы, не нашла – дайте, пожалуйста, знать, если он существует. Зато мне попалось неплохое изложение философии математики вот в этом русскоязычном учебнике (глава 20).

Херш признает, что большинство математиков прежних веков, да немало и нынешних, придерживались позиции платонизма, то есть, представления, что математические объекты существуют независимо от человеческого сознания. И правда, пишет Херш, если вы зададите какую-нибудь математическую задачу целому классу учеников, все они получат один и тот же ответ (конечно, за исключением тех, кто с задачей вообще не справится). То есть, математика действительно в каком-то смысле объективна.

Для религиозных математиков-платонистов математические утверждения – это мысли Бога, как это было для самого Платона с его Богом-геометром, а равно для Лейбница и иже с ним. По мнению Херша, главная проблема математического платонизма в том, что он несовместим с современной естественно-научной картиной мира, а такая совместимость – необходимое требование к философии математики. Действительно, не очень понятно, как же люди из плоти и крови взаимодействуют с этим трансцендентным объективным миром математических объектов? Подозреваю, нерелигиозные математики-платонисты об этом просто не задумываются, а для религиозных это не баг, а фича.

А вот как Херш возражает против утверждаемой платонистами неизменности математических объектов. «Со времен Пифагора математика считалась чем-то вечным и неизменным. 2 + 2 всегда было и всегда должно быть 4. Эвклид знал это, и (будем надеяться) это будут знать наши потомки миллионы лет спустя. Как же я смею утверждать, что «2 + 2 = 4» не вечно? Сначала по мелочи. Эвклид никогда не видел формулы «2 + 2 = 4». Символы «2», «4», «+» и «=», а также обычай выписывать символы в строчку для образования формул были неизвестны в его время. Но Бог с ней, с формулой, давайте рассмотрим существо дела. <…>

Сегодня 2 – не просто натуральное (порядковое) число. Сначала у него появился антипод, -2 (то есть, оно стало целым числом). 2 больше не страдает от одиночества. Теперь оно – рациональное число, элемент плотного упорядоченного множества. Более того, 2 теперь – точка на непрерывной числовой прямой и даже точка на комплексной плоскости, участвующая в аналитических функциях и конформных отображениях. 2 превратилось в сложное существо, со множеством резонансов, возможностей и связей немыслимой глубины. А главное, оно обрело пару квадратных корней – не существовавших во времена Пифагора и Эвклида! По мере того, как мы создаем новые структуры, мы включаем в них и старые. <…> По мере того, как растет и меняется математика, растут и меняются и числа»

. (Дальше Херш разбирает еще несколько примеров радикальной смены смысла математических понятий в ходе истории).

А еще Херш считает, что платонизм плохо сказывается на преподавании математики, потому что якобы подразумевает, что этот мистический доступ к миру математических объектов открыт не для всех. Но вот это, по-моему, явная натяжка: в платонизме ничего такого нет. Кроме того, отбить охоту заниматься математикой очень легко и без всякого платонизма: достаточно просто сообщить ученику, что у него нет к ней способностей (как это нередко внушают девочкам :(

В «мейнстримной» философии математики платонизму противостоит – и это показалось мне самым интересным в книжке Херша – кантианство, но, уподобляясь Шехерезаде, рассказ об этом я оставляю до следующего года :)

Рубен Херш рассказывает о другой своей книжке, где он излагает те же идеи (интервью American Mathematical Society 30 апреля 2014)

Как вы уже поняли, книжка Херша мне чрезвычайно понравилась. А узнала я о ней из заметки Иэна Стюарта, перечисляющего 10 лучших популярных книг по математике, за что ему и спасибо.

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категории: Философия (https://www.livejournal.com/category/filosofiya/?utm_source=frank_comment).
Если вы считаете, что система ошиблась — напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

[egovoru.livejournal.com]

Угадал, Фрэнк!

[greygreengo.livejournal.com]

Если следовать простой аналогии между возникновением мыслей/сигналов в нейросети и теоремой Эйлера о связи количества вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) многоугольника В-Р+Г=2, то наличие в замкнутой связанной сети своих внутренних инвариантов есть практически доказанная вещь. Элементы, возникающие из таких инвариантов, такие как идея числа, идея абсолюта или бога или идея справедливости, равенства или чего то там еще — они имеют внутренние отсылки сознания или даже не сознания, а просто опирающего на аксиому существования замкнутого подмножество внутри нейросети, процесса передачи тока, дают возможности строить множества таких моделей, часть из которых выльется в виде математики, часть — в виде религии и т.д.

ЗЫ Подводить глубокую философию платонизма под вполне себе материалистический базис, к тому же опирающийся на математические выкладки — Оккама с бритвой на вас нет.

[egovoru.livejournal.com]

"Подводить глубокую философию платонизма под вполне себе материалистический базис, к тому же опирающийся на математические выкладки — Оккама с бритвой на вас нет"

Погодите, ведь автор книжки, наоборот, выступает против платонизма, по крайней мере в математике?

[buddha239.livejournal.com]

Похоже, фигня. Очередной философ хочет научить папу, как правильно маму любить.:)

[xgrbml.livejournal.com]

Именно.

[xgrbml.livejournal.com]

Философ Х не слышал, что бывают, в том числе и в естественных науках, нерешенные проблемы? Если не очень понятно (не только ему), как это люди из плоти и крови взаимодействуют с миром математических объектов, то это не значит, что этого мира не существует.

[egovoru.livejournal.com]

У Херша нет никакого философского образования, он математик с PhD в этой области и опытом профессионалпной работы. Разумеется, он знает о существовании нерешенных проблем, но непонятно, причем здесь они? Мир математических объектов, несомненно, существует - вопрос в том, что он собой представляет? Платонизм предполагает, что идеальные объекты (в том числе математические) являются не плодами человеческого разума, а существуют сами по себе, независимо от людей. Поскольку люди есть физические тела, то возникает вопрос, как физические тела могут взаимодействовать с идеальными объектами?

[buddha239.livejournal.com]

А сам Херш какое отношение к математике имеет?

[sonte.livejournal.com]

Защитился в 35, постдок в Стэнфорде, затем работал в университете Нью-Мексико вплоть до статуса Professor Emeritus. Публиковался по уравнениям в частных производных, случайным процессам и теории операторов (помимо популяризации и такого прочего).

В резюме у него так написано:
Research Interests: polyhedra, polynomials, philosophy, pedagogy
Mentors: Peter Lax, Einar Hille, Gian-Carlo Rota, Hao Wang, Mark Kac

[Алексей Орлов (from livejournal.com)]

>> Кроме того, отбить охоту заниматься математикой очень легко и без всякого платонизма: достаточно просто сообщить ученику, что у него нет к ней способностей

Кто бы мне сообщил вовремя, что у меня нет к ней способностей... Не было у меня такой роскоши. Нет лучшего способа воспитать ненависть к скрипке, чем не оставить другого выбора. А если, при этом, слуха нет, так вообще.

[egovoru.livejournal.com]

"Нет лучшего способа воспитать ненависть к скрипке, чем не оставить другого выбора"

Как это - не оставить выбора? Вас что, силой заставляли заниматься математикой? Кто именно - родители?

[marigranula.livejournal.com]

Мне кажется, то что можно назвать "математическим объектом" — это все таки символы, а не объекты в материальном смысле этого слова. То что 2*2=4 — это все таки соглашение, которое делает математику "пригодной к использованию". Человек пошел в магазин, купил два кг яблок по 2 доллара и заплатил за них 4 доллара, и оба, продавец и покупатель с этим согласны.

Или возьмем другой пример, стандартное уравнение Шредингера для плоской стоячей волны (выбран ради простоты)
ψ(x, t) = (1/√(2π ℏ)) e^(i (p x − E t)/ ℏ)
i — это -1, математический объект, не имеющий прямого соответствия в материальном мире. Но мы можем, чтобы не использовать i, преобразовать это уравнение в два,
u(x, t) = (1/√(2π ℏ)) ⋅ cos( (p x − E t)/ ℏ )
v(x, t) = (1/√(2π ℏ)) ⋅ sin( (p x − E t)/ ℏ )
и сказать что плотность вероятности равна u(x, t)^2 + v(x, t)^2.
Эта запись сложнее чем с использованием мнимой единицы, но зато мы видим, что i нам нужна для краткости и удобства, но она не является самостоятельным объектом так же как и слова не являются какими-то объектами сами по себе.

[egovoru.livejournal.com]

Символы - это просто знаки, но за ними ведь стоят определенные понятия, правда? Вот эти понятия и есть математические объекты: числа, фигуры, векторы, поля, кольца и т.д.

[blacksquare0.livejournal.com]

Послушайте, но то, что написано в двух абзацах про 2+2=4, это просто развесистое словоблудие, напрочь отбивающее желание искать зёрна истины в остальном тексте. И про взаимодействие людей из плоти и крови с миром математики -- странный вопрос. Люди из плоти и крови успешно "взаимодействуют" с миром абстрактных идей всех сортов, и это никого не удивляет, чем математика хуже? Если что, я антирелигиозный математик-платонист :)

[jackclubs2.livejournal.com]

мистический доступ к миру Херша открыт не для всех

[alex-new-york.livejournal.com]

Арифметическое утверждение 2х2=4 упирается одним концом в свойства реального мира, а другим — в свойства нашего ума

Арифметика с 2х2=4 существует во-первых, потому, что в окружающей реальности множество самых разных вещей адекватно такой арифметикой описывается. В мире, состоящем из облаков, постоянно меняющих очертания, распадающихся, сливающихся и не имеющих ясных границ, такая арифметика ничего реального бы не описывала, и было бы трудно даже объяснить, что под 2х2=4 имеется в виду

А во-вторых, она существует потому, что вписывается в то, как мы постигаем мир. В свойства нашего ума. Людям, которые ориентируются в окружающей реальности не с помощью понятий и концепций, а с помощью развитого воображения и предвидения, и вместо умножения двух порций супа на две щепотки соли, просто чувствуют, когда в суп надо добавить еще щепотку соли, а когда пора остановиться, — нам было бы трудно объяснить таким людям, что значит 2х2=4

[egovoru.livejournal.com]

Да, Херш примерно это и хочет сказать :)

[mercibo.livejournal.com]

Что-то я не понял, как появление "-2" и квадратных корней повлияло на "2+2=4"?

[egovoru.livejournal.com]

Равенство осталось равенством, но само число два приобрело другой, более широкий смысл.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Выше уже сказали, что аргументы крайне странные. Это из того случая, когда из одной крайности переходят в другую. В данном случае было бы более полезно обсуждение, что значит существовать.

А также нельзя забывать про связь математики с физикой. Без использования математики невозможно сказать, что такое физическая величина. Причем из этого утверждения не следует платонизм, это просто констатация факта.

В этом смысле споры про математический платонизм кажутся мне достаточно бессмысленными, поскольку разговор переходит сразу же в область спекулятивной философии.

[egovoru.livejournal.com]

"было бы более полезно обсуждение, что значит существовать"

Ох, обсуждение того, что значит существовать - это точно дохлый номер, в том смысле, что пока еще никому не удалось дать этому внятное определение.

"А также нельзя забывать про связь математики с физикой"

Связь математики с физикой как раз совершенно понятна: физика использует математические модели наблюдаемых явлений и процессов. Но непонятно, почему физика должно волновать, что представляют собой математические объекты в онтологическом смысле? (Ну, если только он интересуется философией).

"разговор переходит сразу же в область спекулятивной философии"

Конечно, это чисто философский вопрос - разве я не упомянула это в первых строчках поста?

[ald1976.livejournal.com]

То, что господа философы не знают матчасти, когда берутся рассуждать о математике - уже сказали.

Добавлю конкретики, про 2*2=4.

1. 4= ((1+1)+1)+1, по определению;
2. скобки можно спокойно убрать из-за ассоциативности, (a+b)+c=a+(b+c), поэтому любая расстановка скобок результат не поменяет;
3. 2 = 1+1, по определению; кстати, офф-топик, 2+2=(1+1)+(1+1)=4, так как иная расстановка скобок ничего не меняет, см.пп. 1 и 2 - получили еще одно "волшебное свойство" 2+2=4.
4. 2*2=(1+1)*(1+1) = 1+1+1+1 = 4, скобки раскрыты из-за дистрибутивности и коммутативности: a(b+c)=ab+ac, ab=ba. Ну и из-за того, что 1*a=a.
5. Ассоциативность, дистрибутивность и коммутативность да, изначально взяты из реального мира, если перекладывать камешки - нетрудно убедиться в справедливости этих свойств для натуральных чисел.

Никакой связи с реальным миром тут нет, ну кроме задач бытового счета предметов. То, что элементарную арифметику используют в реальном мире происходит от ее практического удобства. В этом же реальном мире прекрасно используют и конечные поля и кольца - потому, что они актуальны для многих видов деятельности, начиная с отсчета времени на круговом циферблате с 12-ю числами.

А то, что древние не знали современных обозначений - это вообще детский сад. Разумеется не знали, у них были свои способы рассуждения и записи. Но от изменения нотации суть не меняется, нотация - про удобство, а не про суть.

Если бы тут гуляли дети - я бы тоже рассказал другими словами, в терминах, более доступных детям. Причем в таких терминах это уже десятки тысяч лет рассказывают, оставляя суть дела неизменной.

Если до господина философа эти разговоры не дошли - вероятно ему стоит подумать о смене профессии, сараи сами себя не почистят.

[egovoru.livejournal.com]

"То, что господа философы не знают матчасти, когда берутся рассуждать о математике - уже сказали"

Автор был (он умер в 2020) не философом, а работающим математиком с PhD в этой области. По параллельным веткам есть ссылки на его биографические данные, список работ и т.д.

[hyperboreus.livejournal.com]

как же люди из плоти и крови взаимодействуют с этим трансцендентным объективным миром математических объектов//

Отсюда может быть два вывода:

1. Никак, то есть математических объектов не существует.

2. Люди — не только "из плоти и крови", а еще некоторым образом из той же "символической пены", из которой и математические объекты ))

[verum-corpus.livejournal.com]

Дело в том, что выражение «из плоти и крови» восходит к Библии и значит там что-то вроде «телом и душой» (кровь в Библии - синоним души).

[serge no (from livejournal.com)]

Зря не был процитирован параграф, поясняющий, какого рода изменения имеются в виду.

"To appease any fussy formalists who join our conversation, we might try more explicit notations: 2_N for the natural number 2, 2₁ for the integer 2, 2_Q for the rational number 2, 2_R for the real number 2, 2_C for the complex number 2. But no one working with 2 would bother with this. It would just slow you down. What’s the Platonist’s alternative? Are there uncountably many undiscovered twos still waiting to be discovered? Or is there and was there, already in Pythagoras’s time, one majestic, unique, eternal 2, already an integer, already a rational number, already a real number, already a complex number, and who knows what else? These are fables you can believe if you want to."

И "Со времен Пифагора математика считалась чем-то вечным и неизменным. <...> Как же я смею утверждать, что «2 + 2 = 4» не вечно?" — не слишком удачный перевод. В оригинале было "Since Pythagoras mathematics has been regarded as unchanging and eternal. <...> How can I claim that 2 + 2 = 4 isn’t timeless?" Не вне времени оно потому, что со временем обрастает новыми смыслами — сначала это только про натуральные числа, потом и про многие другие, у которых может быть своя, расширенная аксиоматика и т.д.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо за дополнительную цитату. Там у него пара страниц этого объяснения, надо было что-то выбрать. Похоже, однако, что я выбрала неудачно, поскольку эта простая мысль - что математические понятия меняются со временем - вызвала несогласие у нескольких комментаторов.

деньги, война и религия

[verum-corpus.livejournal.com]

### помещая ее в один ряд с такими явлениями, как деньги, война и религия. ###

На меня тут намедни обиделся один собеседник, из-за того, что я простодушно написал (как я на самом деле и думаю), что религия - то, что отличает человека от животного; он пробурчала [в ЖЖ], мол, раз я для вас скот, то и общаться не вижу смысла.

Так вот, интересный вопрос с математикой, по-моему, в том, что она делает с человеком.
Вроде бы с одной стороны она его приобщает к некой вечности, где моль и ржа не истребляют, и где воры не подкапывают и не крадут.
Но с другой стороны, это явно какая-то вечность дефектная, мёртвая, и, по-видимому, человека вверх не поднимающая, а может быть и наоборот опускающая.
Вот этот-то вопрос, по-моему, и заслуживает осмысления.
Словно бы подобно спорту, дающему иллюзию одухотворения телесного (и в этом, по-видимому, его секрет, почему он вообще так действует на людей, что они готовы глазеть на соревнования и т.п.), и математическая «вечность» есть некое подобие вечности полноценной, настоящей.

Re: деньги, война и религия

[egovoru.livejournal.com]

Как бы то ни было, онтологическая природа математических объектов занимает философов уже третье тысячелетие :)

[fat-humster.livejournal.com]

Пример с учениками не очень, ученики естественно получают одно и тоже, они копируют решение показанное преподавателем раз и пытаются всеми силами дать ответ который от них ждут два.

Взрослые которые профессионально не занимаются математикой остались в плане математики на том же уровне, вот и одно и тоже, а завтра появится условно новая геометрия например в которой параллельные прямые будут пересекаться.

Для меня всегда было непонятно, почему представляется например что у других цивилизаций будет такая же математика. Ну вот арифметика будет у них? Порядковый номер? Иначе же они не смогут нечего сделать? Ну если это племя туземцев то да, а если нет, то мне не очевидно

[egovoru.livejournal.com]

"Для меня всегда было непонятно, почему представляется например что у других цивилизаций будет такая же математика"

Вы имеете в виду другие земные цивилизации или гипотетические инопланетные? Если земные, то ведь независимых цивилизаций, самостоятельно достигших стадии сколько-нибудь развитой математики, на Земле раз-два и обчелся. Как только цивилизация становилась сколько-нибудь продвинутой, она начинала контактировать с другими, так что любые идеи становились общими. Вот письменность вроде бы успели изобрести несколько раз независимо, до такого контакта, это да.

Что же касается инопланетных цивилизаций, то существа, сильно отличающиеся от нас физически, воспринимающие мир другими способами, скорее всего изобрели бы и другую математику: вспомните притчу о слепцах и слоне.

[xgrbml.livejournal.com]

Занлянув, кстати, по ссылке в русскоязычный учебник философии науки, увидел из предисловия, что автор верит в паранормальные явления.

[egovoru.livejournal.com]

Если Вы имеете в виду автора учебника, то их там много - разные главы писали разные люди. Я прочла не все главы, но из того, что я прочла, глава о философии математики выглядит наиболее разумно :)

[zlata-gl.livejournal.com]

Пример с учениками не очень, ученики естественно получают одно и тоже, они копируют решение показанное преподавателем раз и пытаются всеми силами дать ответ который от них ждут два.
Как скучно жили в школе большинство комментирующих здесь...
Как ненавидели математику, школу и учебу !
Более того — даже не видели рядом людей, пытавшихся решить другим способом, а может и получить другой результат.
Людей, которым интересно !

Мама велела пойти учиться на инженера, чтоб в армию не забрали.
А по математике невозможно больше тройки получить...

Могу только посочувствовать.
Какая философия ?
Вы о чем вообще ?

Уважаемая хозяйка !
Вы с ними не поймете друг друга.

[egovoru.livejournal.com]

Я подозреваю, что основной источник несогласия с, в общем-то, очень простой мыслью Херша - то, что я оказалась неспособна внятно ее изложить. Может быть, я зря привела столь длинную цитату из его текста - было бы лучше просто написать, что математики меняют содержание математических понятий по ходу истории; возможно, с этим бы никто и не стал спорить :)

[benni72.livejournal.com]

Я не считаю себя платоником, но аргумент Херша, насколько я понял его из Вашего изложения и цитат, не кажется мне убедительным. Ведь представления о физических, биологических и т. д. объектах тоже изменяются по мере развития науки, иногда весьма существенно. Следует ли отсюда, что все эти объекты существуют только в нашем уме?

[egovoru.livejournal.com]

"представления о физических, биологических и т. д. объектах тоже изменяются по мере развития науки, иногда весьма существенно"

Более того, физические, в том числе и биологические, объекты и сами ведь меняются со временем: звезды гаснут, моря пересыхают, организмы эволюционируют и т.д.

"Следует ли отсюда, что все эти объекты существуют только в нашем уме?"

В нашем уме существуют теоретические (в том числе и математические) модели физических объектов и процессов. Сами же эти объекты и процессы большинство из нас считает существующими независимо от нашего ума: вот это дерево не исчезнет, если я повернусь к нему спиной; деревья существовали и до моего рождения; более того, деревья существовали на Земле и до появления вида Homo sapiens.

Я подготовила еще два поста по книжке Херша; будем надеяться, что в них мне удалось лучше сформулировать, что же именно он хочет сказать. Собственно, о его позиции будет последний пост из трех.

[blacksquare0.livejournal.com]

У меня дошли руки по диагонали просмотреть комменты, и я хочу ответить на ещё один тезис, что "математики меняют содержание математических понятий по ходу истории". Это, простите, абсолютная чушь. Пример с "числами" неудачен, потому что Вы удивитесь, но в современной математике нет понятия "числа". Ну вот нет его. Есть понятие числа натурального, целого, рационального, алгебраического, вещественного, комплексного, p-адического и так далее. И, во-первых, это всего лишь названия, т.е. математики могли бы, например, оставить термин "число" для натуральных чисел, а для каждого следующего типа чисел придумывать новые слова -- шорьки, зелюки, мюмзики и так далее. Это было бы неудобно, но по существу в математике ничего не поменялось бы. Все эти споры про "принятие" тех или иных чисел -- это далёкое прошлое (XVI век), когда у людей представления о мире были крайне далеки от современных; в физике же никому не придёт в голову апеллировать к "научным спорам" XVI века как к доказательству чего-либо. В современной же математике таких проблем не может быть в принципе. А во-вторых, объекты, у которых есть строгие определения (повторяю, что у понятия "числа" его нет), никогда не меняют свое содержание, и доказанные теоремы никогда не перестают быть верными.

Я прошу прощения за следующий вопрос, который, честное слово, является не "наездом", а попыткой понять мотивацию. А зачем спорить о математике с математиками? :) (Тут же не я одна, а несколько математиков хором говорят, что Херш пишет чушь.) Аргумент, что Херш тоже математик, не принимается, по нескольким причинам, которые могу изложить по требованию.

[egovoru.livejournal.com]

"Пример с "числами" неудачен, потому что Вы удивитесь, но в современной математике нет понятия "числа""

Так это же как раз и иллюстрирует тезис Херша о том, что математика меняется: когда-то понятие в ней числа было, а сегодня его нет.

"Все эти споры про "принятие" тех или иных чисел -- это далёкое прошлое (XVI век), когда у людей представления о мире были крайне далеки от современных"

Ну, не такое уж далекое: споры вокруг трансфинитных чисел Кантора - это самый конец века 19-го. Но, опять же, тезис Херша состоит просто в том, что математика меняется со временем - Вы с этим не согласны?

"А зачем спорить о математике с математиками?"

А разве мы спорим? И разве это математика? Предмет книжки Херша и ее обсуждения здесь - философия математики. Независимое от человеческого ума существование математических понятий невозможно ни доказать, ни опровергнуть - как невозможно ни доказать, ни опровергнуть существование Бога или любой другой философский тезис. Люди выбирают ту или другую философскую позицию просто по своему вкусу (сложившемуся под влиянием личного и профессионального опыта, а может, и психологических склонностей). Спорить тут бесполезно: кому нравится арбуз, а кому свиной хрящик :)

"Аргумент, что Херш тоже математик, не принимается, по нескольким причинам, которые могу изложить по требованию"

Да, пожалуйста, напишите, что Вы имеете в виду, но обратите внимание, что это утверждение работает ведь в обе стороны: если профессия Херша не придает веса его мнению, то и Ваша - не придает Вашему :)

Херш отлично знает, что многие математики придерживаются платонизма; именно поэтому он и посвятил ему первые главы своей книжки. Комментарии к этому посту тоже подтверждают это, и мне это кажется очень примечательным с социологической точки зрения. Я думаю, среди людей других профессий пропорция платoнистов много меньше, только, похоже, такого рода статистики никто пока не собрал. Гугло-ИИ нашел данные о платонизме среди философов (https://survey2020.philpeople.org/), и вот его заключение:

"Overall: Approximately 38.38% of professional philosophers accept or lean toward Platonism regarding abstract objects, while 41.85% reject or lean against it (leaning toward nominalism).

Specialization (Philosophy of Mathematics): The numbers shift considerably among those who specialize in the philosophy of mathematics. In this specific group, 53.06% accept or lean toward Platonism, and only 24.49% lean toward nominalism".

To есть, даже занятия философией математики склоняют к платонизму (ну, или наоборот - платонисты тяготеют к тому, чтобы заниматься философией математики).

К обсуждению математического платонизма

[livejournal.livejournal.com]

User evgeniirudnyi referenced to your post from К обсуждению математического платонизма (https://evgeniirudnyi.livejournal.com/428685.html) saying: [...] Мой комментарий из обсуждения математического платонизма с egovoru [...]

[wkapustin.livejournal.com]

Под математическим платонизмом обычно сначала понимается лишь факт первичного опыта — что математические результаты не придумываются, а открываются, или что мир математических объектов можно исследовать в таком же ключе, как и мир физический.

То, что приходит прямо из опыта, имеет значительный познавательные вес. Это не означает, что спорить с этим вообще нельзя — в принципе можно, но нужны очень веские аргументы, чтобы убеждать имеющих такой опыт не верить своим "глазам". Спорят же с этим обычно те, кого такой взгляд не устраивает по идеологическим соображениям. Думаю, что самый подходящий вариант в такой ситуации — засунуть попробовать пересмотреть их.

Последствия принятия такой позиции действительно могут быть весьма серьёзными. Но начать можно и с малого — отказаться от стремления запихнуть в рамки физикализма всё, включая и то, что туда упорно не впихивается.

[egovoru.livejournal.com]

"Под математическим платонизмом обычно сначала понимается лишь факт первичного опыта"

Математический платонизм - это признание того, что математические объекты, или, лучше сказать, понятия (чтобы не путать их с физическими объектами) существуют независимо от человеческого ума. Типа, людей еще не было, а математические понятия уже были.

[alevlakam.livejournal.com]

Перевёл для себя (для лучшего понимания) довольно длинное предисловие к к сборнику статей "Philosophy of mathematics today", 1997, под редакцией Э.Агацци. Две части: Ч.1 - общий обзор темы, Ч.2 - краткое содержание каждой из статей. Там, в частности, говорится и о затронутых Вами здесь вопросах. Возможно, Вам будет интересно.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо - действительно, очень интересно! Природа математического знания - неисчерпаемая тема для философии :)

Я пока что прочла только Вашу Ч. 1, но, возможно, имеет смысл почитать и весь сборник. Правда, он, как я понимаю, не относится к популярному жанру, а представляет собой вполне академическую публикацию, но, может быть там все же можно будет что-то понять. В благодарность за наводку добавила Вас во френды :)

[wkapustin.livejournal.com]

— В «мейнстримной» философии математики платонизму противостоит ... кантианство

В смысле, что математика из мира идей перемещается в вещи, что ли? И куда тогда деть ту математику, которая не связана ни с какими вещами?

[egovoru.livejournal.com]

"В смысле, что математика из мира идей перемещается в вещи, что ли?"

Не, автор имеет в виду совсем другое :) Потерпите до следующего года, я расскажу об этом более подробно!