Арифметика права: все бывало в мире

[egovoru]

Некоторое представление о философии математики я уже получила из книги Ойстена Линнебо, которую мы обсуждали здесь и тут. Но он пишет для студентов, собирающихся специализироваться в этой области, а вот Рубен Херш задался целью сделать философию математики понятной для всех. Если вы чего-то не поняли, обещает он своим читателям, значит, это было не важно :) В отличие от Линнебо, просто перечисляющего разные «измы» и остающегося «над схваткой», Херш настойчиво проводит собственную линию, пропагандируя представление о математике как о коллективной человеческой деятельности и помещая ее в один ряд с такими явлениями, как деньги, война и религия. Русского перевода его книжки я, увы, не нашла – дайте, пожалуйста, знать, если он существует. Зато мне попалось неплохое изложение философии математики вот в этом русскоязычном учебнике (глава 20).

Херш признает, что большинство математиков прежних веков, да немало и нынешних, придерживались позиции платонизма, то есть, представления, что математические объекты существуют независимо от человеческого сознания. И правда, пишет Херш, если вы зададите какую-нибудь математическую задачу целому классу учеников, все они получат один и тот же ответ (конечно, за исключением тех, кто с задачей вообще не справится). То есть, математика действительно в каком-то смысле объективна.

Для религиозных математиков-платонистов математические утверждения – это мысли Бога, как это было для самого Платона с его Богом-геометром, а равно для Лейбница и иже с ним. По мнению Херша, главная проблема математического платонизма в том, что он несовместим с современной естественно-научной картиной мира, а такая совместимость – необходимое требование к философии математики. Действительно, не очень понятно, как же люди из плоти и крови взаимодействуют с этим трансцендентным объективным миром математических объектов? Подозреваю, нерелигиозные математики-платонисты об этом просто не задумываются, а для религиозных это не баг, а фича.

А вот как Херш возражает против утверждаемой платонистами неизменности математических объектов. «Со времен Пифагора математика считалась чем-то вечным и неизменным. 2 + 2 всегда было и всегда должно быть 4. Эвклид знал это, и (будем надеяться) это будут знать наши потомки миллионы лет спустя. Как же я смею утверждать, что «2 + 2 = 4» не вечно? Сначала по мелочи. Эвклид никогда не видел формулы «2 + 2 = 4». Символы «2», «4», «+» и «=», а также обычай выписывать символы в строчку для образования формул были неизвестны в его время. Но Бог с ней, с формулой, давайте рассмотрим существо дела. <…>

Сегодня 2 – не просто натуральное (порядковое) число. Сначала у него появился антипод, -2 (то есть, оно стало целым числом). 2 больше не страдает от одиночества. Теперь оно – рациональное число, элемент плотного упорядоченного множества. Более того, 2 теперь – точка на непрерывной числовой прямой и даже точка на комплексной плоскости, участвующая в аналитических функциях и конформных отображениях. 2 превратилось в сложное существо, со множеством резонансов, возможностей и связей немыслимой глубины. А главное, оно обрело пару квадратных корней – не существовавших во времена Пифагора и Эвклида! По мере того, как мы создаем новые структуры, мы включаем в них и старые. <…> По мере того, как растет и меняется математика, растут и меняются и числа»

. (Дальше Херш разбирает еще несколько примеров радикальной смены смысла математических понятий в ходе истории).

А еще Херш считает, что платонизм плохо сказывается на преподавании математики, потому что якобы подразумевает, что этот мистический доступ к миру математических объектов открыт не для всех. Но вот это, по-моему, явная натяжка: в платонизме ничего такого нет. Кроме того, отбить охоту заниматься математикой очень легко и без всякого платонизма: достаточно просто сообщить ученику, что у него нет к ней способностей (как это нередко внушают девочкам :(

В «мейнстримной» философии математики платонизму противостоит – и это показалось мне самым интересным в книжке Херша – кантианство, но, уподобляясь Шехерезаде, рассказ об этом я оставляю до следующего года :)

Рубен Херш рассказывает о другой своей книжке, где он излагает те же идеи (интервью American Mathematical Society 30 апреля 2014)

Как вы уже поняли, книжка Херша мне чрезвычайно понравилась. А узнала я о ней из заметки Иэна Стюарта, перечисляющего 10 лучших популярных книг по математике, за что ему и спасибо.

Comments

[blacksquare0.livejournal.com]

У меня дошли руки по диагонали просмотреть комменты, и я хочу ответить на ещё один тезис, что "математики меняют содержание математических понятий по ходу истории". Это, простите, абсолютная чушь. Пример с "числами" неудачен, потому что Вы удивитесь, но в современной математике нет понятия "числа". Ну вот нет его. Есть понятие числа натурального, целого, рационального, алгебраического, вещественного, комплексного, p-адического и так далее. И, во-первых, это всего лишь названия, т.е. математики могли бы, например, оставить термин "число" для натуральных чисел, а для каждого следующего типа чисел придумывать новые слова -- шорьки, зелюки, мюмзики и так далее. Это было бы неудобно, но по существу в математике ничего не поменялось бы. Все эти споры про "принятие" тех или иных чисел -- это далёкое прошлое (XVI век), когда у людей представления о мире были крайне далеки от современных; в физике же никому не придёт в голову апеллировать к "научным спорам" XVI века как к доказательству чего-либо. В современной же математике таких проблем не может быть в принципе. А во-вторых, объекты, у которых есть строгие определения (повторяю, что у понятия "числа" его нет), никогда не меняют свое содержание, и доказанные теоремы никогда не перестают быть верными.

Я прошу прощения за следующий вопрос, который, честное слово, является не "наездом", а попыткой понять мотивацию. А зачем спорить о математике с математиками? :) (Тут же не я одна, а несколько математиков хором говорят, что Херш пишет чушь.) Аргумент, что Херш тоже математик, не принимается, по нескольким причинам, которые могу изложить по требованию.

[egovoru.livejournal.com]

"Пример с "числами" неудачен, потому что Вы удивитесь, но в современной математике нет понятия "числа""

Так это же как раз и иллюстрирует тезис Херша о том, что математика меняется: когда-то понятие в ней числа было, а сегодня его нет.

"Все эти споры про "принятие" тех или иных чисел -- это далёкое прошлое (XVI век), когда у людей представления о мире были крайне далеки от современных"

Ну, не такое уж далекое: споры вокруг трансфинитных чисел Кантора - это самый конец века 19-го. Но, опять же, тезис Херша состоит просто в том, что математика меняется со временем - Вы с этим не согласны?

"А зачем спорить о математике с математиками?"

А разве мы спорим? И разве это математика? Предмет книжки Херша и ее обсуждения здесь - философия математики. Независимое от человеческого ума существование математических понятий невозможно ни доказать, ни опровергнуть - как невозможно ни доказать, ни опровергнуть существование Бога или любой другой философский тезис. Люди выбирают ту или другую философскую позицию просто по своему вкусу (сложившемуся под влиянием личного и профессионального опыта, а может, и психологических склонностей). Спорить тут бесполезно: кому нравится арбуз, а кому свиной хрящик :)

"Аргумент, что Херш тоже математик, не принимается, по нескольким причинам, которые могу изложить по требованию"

Да, пожалуйста, напишите, что Вы имеете в виду, но обратите внимание, что это утверждение работает ведь в обе стороны: если профессия Херша не придает веса его мнению, то и Ваша - не придает Вашему :)

Херш отлично знает, что многие математики придерживаются платонизма; именно поэтому он и посвятил ему первые главы своей книжки. Комментарии к этому посту тоже подтверждают это, и мне это кажется очень примечательным с социологической точки зрения. Я думаю, среди людей других профессий пропорция платoнистов много меньше, только, похоже, такого рода статистики никто пока не собрал. Гугло-ИИ нашел данные о платонизме среди философов (https://survey2020.philpeople.org/), и вот его заключение:

"Overall: Approximately 38.38% of professional philosophers accept or lean toward Platonism regarding abstract objects, while 41.85% reject or lean against it (leaning toward nominalism).

Specialization (Philosophy of Mathematics): The numbers shift considerably among those who specialize in the philosophy of mathematics. In this specific group, 53.06% accept or lean toward Platonism, and only 24.49% lean toward nominalism".

To есть, даже занятия философией математики склоняют к платонизму (ну, или наоборот - платонисты тяготеют к тому, чтобы заниматься философией математики).

[blacksquare0.livejournal.com]

Не было в математике понятия числа. Нет такого математического определения: "число -- это то-то и то-то". А все эти разговоры про принятие -- это, как уже кто-то написал, просто эмоции.

Что значит "математика меняется со временем"? Естественно, она развивается, как иначе. Но её определения не меняются, и её единожды доказанные утверждения остаются верными вечно.

Спорить, конечно, может кто угодно о чём угодно, но всё-таки математики лучше знают, как устроена их наука, и если они говорят, что нет, математика не меняется в том смысле, о котором пишет Херш (ну вот честно, то, что он пишет про дважды два, это феерический бред), то можно было бы им и поверить.

Что касается Херша, то (in no particular order) а) и среди математиков бывают флики, б) он занимался областями математики, близкими к прикладным и, соответственно, далёкими от современных, т.е. может плохо представлять себе современное положение дел в математике, в) он поздно начал заниматься математикой -- возможно, настолько поздно, что математический склад мышления у него так до конца и не сформировался, д) человек пишет научно-популярные книги, ему нужно сделать их увлекательными, а чего не скажешь ради красного словца, учитывая, что математики это читать всё равно не будут, а широкой публике можно невозбранно вешать лапшу на уши.

Заниматься философией математики, не будучи профессиональным математиком, -- это абсолютно бессмысленное занятие. Повторяю в тысячный раз, что современная математика не имеет почти ничего общего с тем, чему учат в школе и в университете на любой нематематической специальности, так что остаётся только поражаться хуцпе людей, берущихся рассуждать о философии того, что они себе даже близко не представляют.

[egovoru.livejournal.com]

"всё-таки математики лучше знают, как устроена их наука"

Математика - не наука (в том смысле, в каком наука понимается с Нового времени), а отдельная область интеллектуальной деятельности.

"Заниматься философией математики, не будучи профессиональным математиком"

Херш был профессиональным математиком, но, конечно, это не значит, что Вы должны принимать его философские взгляды.

[blacksquare0.livejournal.com]

Это верно для английского слова science, но по-русски есть науки не только естественные (которые sciences), а также гуманитарные и точные.