Арифметика права: все бывало в мире

[egovoru]

Некоторое представление о философии математики я уже получила из книги Ойстена Линнебо, которую мы обсуждали здесь и тут. Но он пишет для студентов, собирающихся специализироваться в этой области, а вот Рубен Херш задался целью сделать философию математики понятной для всех. Если вы чего-то не поняли, обещает он своим читателям, значит, это было не важно :) В отличие от Линнебо, просто перечисляющего разные «измы» и остающегося «над схваткой», Херш настойчиво проводит собственную линию, пропагандируя представление о математике как о коллективной человеческой деятельности и помещая ее в один ряд с такими явлениями, как деньги, война и религия. Русского перевода его книжки я, увы, не нашла – дайте, пожалуйста, знать, если он существует. Зато мне попалось неплохое изложение философии математики вот в этом русскоязычном учебнике (глава 20).

Херш признает, что большинство математиков прежних веков, да немало и нынешних, придерживались позиции платонизма, то есть, представления, что математические объекты существуют независимо от человеческого сознания. И правда, пишет Херш, если вы зададите какую-нибудь математическую задачу целому классу учеников, все они получат один и тот же ответ (конечно, за исключением тех, кто с задачей вообще не справится). То есть, математика действительно в каком-то смысле объективна.

Для религиозных математиков-платонистов математические утверждения – это мысли Бога, как это было для самого Платона с его Богом-геометром, а равно для Лейбница и иже с ним. По мнению Херша, главная проблема математического платонизма в том, что он несовместим с современной естественно-научной картиной мира, а такая совместимость – необходимое требование к философии математики. Действительно, не очень понятно, как же люди из плоти и крови взаимодействуют с этим трансцендентным объективным миром математических объектов? Подозреваю, нерелигиозные математики-платонисты об этом просто не задумываются, а для религиозных это не баг, а фича.

А вот как Херш возражает против утверждаемой платонистами неизменности математических объектов. «Со времен Пифагора математика считалась чем-то вечным и неизменным. 2 + 2 всегда было и всегда должно быть 4. Эвклид знал это, и (будем надеяться) это будут знать наши потомки миллионы лет спустя. Как же я смею утверждать, что «2 + 2 = 4» не вечно? Сначала по мелочи. Эвклид никогда не видел формулы «2 + 2 = 4». Символы «2», «4», «+» и «=», а также обычай выписывать символы в строчку для образования формул были неизвестны в его время. Но Бог с ней, с формулой, давайте рассмотрим существо дела. <…>

Сегодня 2 – не просто натуральное (порядковое) число. Сначала у него появился антипод, -2 (то есть, оно стало целым числом). 2 больше не страдает от одиночества. Теперь оно – рациональное число, элемент плотного упорядоченного множества. Более того, 2 теперь – точка на непрерывной числовой прямой и даже точка на комплексной плоскости, участвующая в аналитических функциях и конформных отображениях. 2 превратилось в сложное существо, со множеством резонансов, возможностей и связей немыслимой глубины. А главное, оно обрело пару квадратных корней – не существовавших во времена Пифагора и Эвклида! По мере того, как мы создаем новые структуры, мы включаем в них и старые. <…> По мере того, как растет и меняется математика, растут и меняются и числа»

. (Дальше Херш разбирает еще несколько примеров радикальной смены смысла математических понятий в ходе истории).

А еще Херш считает, что платонизм плохо сказывается на преподавании математики, потому что якобы подразумевает, что этот мистический доступ к миру математических объектов открыт не для всех. Но вот это, по-моему, явная натяжка: в платонизме ничего такого нет. Кроме того, отбить охоту заниматься математикой очень легко и без всякого платонизма: достаточно просто сообщить ученику, что у него нет к ней способностей (как это нередко внушают девочкам :(

В «мейнстримной» философии математики платонизму противостоит – и это показалось мне самым интересным в книжке Херша – кантианство, но, уподобляясь Шехерезаде, рассказ об этом я оставляю до следующего года :)

Рубен Херш рассказывает о другой своей книжке, где он излагает те же идеи (интервью American Mathematical Society 30 апреля 2014)

Как вы уже поняли, книжка Херша мне чрезвычайно понравилась. А узнала я о ней из заметки Иэна Стюарта, перечисляющего 10 лучших популярных книг по математике, за что ему и спасибо.

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категории: Философия (https://www.livejournal.com/category/filosofiya/?utm_source=frank_comment).
Если вы считаете, что система ошиблась — напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

[greygreengo.livejournal.com]

Если следовать простой аналогии между возникновением мыслей/сигналов в нейросети и теоремой Эйлера о связи количества вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) многоугольника В-Р+Г=2, то наличие в замкнутой связанной сети своих внутренних инвариантов есть практически доказанная вещь. Элементы, возникающие из таких инвариантов, такие как идея числа, идея абсолюта или бога или идея справедливости, равенства или чего то там еще — они имеют внутренние отсылки сознания или даже не сознания, а просто опирающего на аксиому существования замкнутого подмножество внутри нейросети, процесса передачи тока, дают возможности строить множества таких моделей, часть из которых выльется в виде математики, часть — в виде религии и т.д.

ЗЫ Подводить глубокую философию платонизма под вполне себе материалистический базис, к тому же опирающийся на математические выкладки — Оккама с бритвой на вас нет.

[buddha239.livejournal.com]

Похоже, фигня. Очередной философ хочет научить папу, как правильно маму любить.:)

[xgrbml.livejournal.com]

Философ Х не слышал, что бывают, в том числе и в естественных науках, нерешенные проблемы? Если не очень понятно (не только ему), как это люди из плоти и крови взаимодействуют с миром математических объектов, то это не значит, что этого мира не существует.

[xgrbml.livejournal.com]

Именно.

[buddha239.livejournal.com]

А сам Херш какое отношение к математике имеет?

[Алексей Орлов (from livejournal.com)]

>> Кроме того, отбить охоту заниматься математикой очень легко и без всякого платонизма: достаточно просто сообщить ученику, что у него нет к ней способностей

Кто бы мне сообщил вовремя, что у меня нет к ней способностей... Не было у меня такой роскоши. Нет лучшего способа воспитать ненависть к скрипке, чем не оставить другого выбора. А если, при этом, слуха нет, так вообще.

[marigranula.livejournal.com]

Мне кажется, то что можно назвать "математическим объектом" — это все таки символы, а не объекты в материальном смысле этого слова. То что 2*2=4 — это все таки соглашение, которое делает математику "пригодной к использованию". Человек пошел в магазин, купил два кг яблок по 2 доллара и заплатил за них 4 доллара, и оба, продавец и покупатель с этим согласны.

Или возьмем другой пример, стандартное уравнение Шредингера для плоской стоячей волны (выбран ради простоты)
ψ(x, t) = (1/√(2π ℏ)) e^(i (p x − E t)/ ℏ)
i — это -1, математический объект, не имеющий прямого соответствия в материальном мире. Но мы можем, чтобы не использовать i, преобразовать это уравнение в два,
u(x, t) = (1/√(2π ℏ)) ⋅ cos( (p x − E t)/ ℏ )
v(x, t) = (1/√(2π ℏ)) ⋅ sin( (p x − E t)/ ℏ )
и сказать что плотность вероятности равна u(x, t)^2 + v(x, t)^2.
Эта запись сложнее чем с использованием мнимой единицы, но зато мы видим, что i нам нужна для краткости и удобства, но она не является самостоятельным объектом так же как и слова не являются какими-то объектами сами по себе.

[blacksquare0.livejournal.com]

Послушайте, но то, что написано в двух абзацах про 2+2=4, это просто развесистое словоблудие, напрочь отбивающее желание искать зёрна истины в остальном тексте. И про взаимодействие людей из плоти и крови с миром математики -- странный вопрос. Люди из плоти и крови успешно "взаимодействуют" с миром абстрактных идей всех сортов, и это никого не удивляет, чем математика хуже? Если что, я антирелигиозный математик-платонист :)

[sonte.livejournal.com]

Защитился в 35, постдок в Стэнфорде, затем работал в университете Нью-Мексико вплоть до статуса Professor Emeritus. Публиковался по уравнениям в частных производных, случайным процессам и теории операторов (помимо популяризации и такого прочего).

В резюме у него так написано:
Research Interests: polyhedra, polynomials, philosophy, pedagogy
Mentors: Peter Lax, Einar Hille, Gian-Carlo Rota, Hao Wang, Mark Kac

[alex-new-york.livejournal.com]

Арифметическое утверждение 2х2=4 упирается одним концом в свойства реального мира, а другим — в свойства нашего ума

Арифметика с 2х2=4 существует во-первых, потому, что в окружающей реальности множество самых разных вещей адекватно такой арифметикой описывается. В мире, состоящем из облаков, постоянно меняющих очертания, распадающихся, сливающихся и не имеющих ясных границ, такая арифметика ничего реального бы не описывала, и было бы трудно даже объяснить, что под 2х2=4 имеется в виду

А во-вторых, она существует потому, что вписывается в то, как мы постигаем мир. В свойства нашего ума. Людям, которые ориентируются в окружающей реальности не с помощью понятий и концепций, а с помощью развитого воображения и предвидения, и вместо умножения двух порций супа на две щепотки соли, просто чувствуют, когда в суп надо добавить еще щепотку соли, а когда пора остановиться, — нам было бы трудно объяснить таким людям, что значит 2х2=4

[mercibo.livejournal.com]

Что-то я не понял, как появление "-2" и квадратных корней повлияло на "2+2=4"?

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Выше уже сказали, что аргументы крайне странные. Это из того случая, когда из одной крайности переходят в другую. В данном случае было бы более полезно обсуждение, что значит существовать.

А также нельзя забывать про связь математики с физикой. Без использования математики невозможно сказать, что такое физическая величина. Причем из этого утверждения не следует платонизм, это просто констатация факта.

В этом смысле споры про математический платонизм кажутся мне достаточно бессмысленными, поскольку разговор переходит сразу же в область спекулятивной философии.

[jackclubs2.livejournal.com]

мистический доступ к миру Херша открыт не для всех

[blacksquare0.livejournal.com]

Это точно.

[xgrbml.livejournal.com]

Все research interests на одну букву! Не иначе, ради этого philosophy и pedagogy возникли:)

[xgrbml.livejournal.com]

О!

[ald1976.livejournal.com]

То, что господа философы не знают матчасти, когда берутся рассуждать о математике - уже сказали.

Добавлю конкретики, про 2*2=4.

1. 4= ((1+1)+1)+1, по определению;
2. скобки можно спокойно убрать из-за ассоциативности, (a+b)+c=a+(b+c), поэтому любая расстановка скобок результат не поменяет;
3. 2 = 1+1, по определению; кстати, офф-топик, 2+2=(1+1)+(1+1)=4, так как иная расстановка скобок ничего не меняет, см.пп. 1 и 2 - получили еще одно "волшебное свойство" 2+2=4.
4. 2*2=(1+1)*(1+1) = 1+1+1+1 = 4, скобки раскрыты из-за дистрибутивности и коммутативности: a(b+c)=ab+ac, ab=ba. Ну и из-за того, что 1*a=a.
5. Ассоциативность, дистрибутивность и коммутативность да, изначально взяты из реального мира, если перекладывать камешки - нетрудно убедиться в справедливости этих свойств для натуральных чисел.

Никакой связи с реальным миром тут нет, ну кроме задач бытового счета предметов. То, что элементарную арифметику используют в реальном мире происходит от ее практического удобства. В этом же реальном мире прекрасно используют и конечные поля и кольца - потому, что они актуальны для многих видов деятельности, начиная с отсчета времени на круговом циферблате с 12-ю числами.

А то, что древние не знали современных обозначений - это вообще детский сад. Разумеется не знали, у них были свои способы рассуждения и записи. Но от изменения нотации суть не меняется, нотация - про удобство, а не про суть.

Если бы тут гуляли дети - я бы тоже рассказал другими словами, в терминах, более доступных детям. Причем в таких терминах это уже десятки тысяч лет рассказывают, оставляя суть дела неизменной.

Если до господина философа эти разговоры не дошли - вероятно ему стоит подумать о смене профессии, сараи сами себя не почистят.

[hyperboreus.livejournal.com]

как же люди из плоти и крови взаимодействуют с этим трансцендентным объективным миром математических объектов//

Отсюда может быть два вывода:

1. Никак, то есть математических объектов не существует.

2. Люди — не только "из плоти и крови", а еще некоторым образом из той же "символической пены", из которой и математические объекты ))

[serge no (from livejournal.com)]

Зря не был процитирован параграф, поясняющий, какого рода изменения имеются в виду.

"To appease any fussy formalists who join our conversation, we might try more explicit notations: 2_N for the natural number 2, 2₁ for the integer 2, 2_Q for the rational number 2, 2_R for the real number 2, 2_C for the complex number 2. But no one working with 2 would bother with this. It would just slow you down. What’s the Platonist’s alternative? Are there uncountably many undiscovered twos still waiting to be discovered? Or is there and was there, already in Pythagoras’s time, one majestic, unique, eternal 2, already an integer, already a rational number, already a real number, already a complex number, and who knows what else? These are fables you can believe if you want to."

И "Со времен Пифагора математика считалась чем-то вечным и неизменным. <...> Как же я смею утверждать, что «2 + 2 = 4» не вечно?" — не слишком удачный перевод. В оригинале было "Since Pythagoras mathematics has been regarded as unchanging and eternal. <...> How can I claim that 2 + 2 = 4 isn’t timeless?" Не вне времени оно потому, что со временем обрастает новыми смыслами — сначала это только про натуральные числа, потом и про многие другие, у которых может быть своя, расширенная аксиоматика и т.д.

[verum-corpus.livejournal.com]

Дело в том, что выражение «из плоти и крови» восходит к Библии и значит там что-то вроде «телом и душой» (кровь в Библии - синоним души).

деньги, война и религия

[verum-corpus.livejournal.com]

### помещая ее в один ряд с такими явлениями, как деньги, война и религия. ###

На меня тут намедни обиделся один собеседник, из-за того, что я простодушно написал (как я на самом деле и думаю), что религия - то, что отличает человека от животного; он пробурчала [в ЖЖ], мол, раз я для вас скот, то и общаться не вижу смысла.

Так вот, интересный вопрос с математикой, по-моему, в том, что она делает с человеком.
Вроде бы с одной стороны она его приобщает к некой вечности, где моль и ржа не истребляют, и где воры не подкапывают и не крадут.
Но с другой стороны, это явно какая-то вечность дефектная, мёртвая, и, по-видимому, человека вверх не поднимающая, а может быть и наоборот опускающая.
Вот этот-то вопрос, по-моему, и заслуживает осмысления.
Словно бы подобно спорту, дающему иллюзию одухотворения телесного (и в этом, по-видимому, его секрет, почему он вообще так действует на людей, что они готовы глазеть на соревнования и т.п.), и математическая «вечность» есть некое подобие вечности полноценной, настоящей.

[egovoru.livejournal.com]

Угадал, Фрэнк!

[egovoru.livejournal.com]

"Подводить глубокую философию платонизма под вполне себе материалистический базис, к тому же опирающийся на математические выкладки — Оккама с бритвой на вас нет"

Погодите, ведь автор книжки, наоборот, выступает против платонизма, по крайней мере в математике?

[egovoru.livejournal.com]

Боюсь, тут Вы попали пальцем в небо: у Херша нет никакого философского образования, а вот математическое - есть (PhD), и есть профессиональный опыт математика. Вот список (https://drive.google.com/drive/folders/1nrTN9oDbHtrJoMU826CgvGNi-1XGTTOA) его работ в категории "research mathematics", а вот статья о нем (https://en.wikipedia.org/wiki/Reuben_Hersh) в Вики.