Арифметика права: все бывало в мире

[egovoru]

Некоторое представление о философии математики я уже получила из книги Ойстена Линнебо, которую мы обсуждали здесь и тут. Но он пишет для студентов, собирающихся специализироваться в этой области, а вот Рубен Херш задался целью сделать философию математики понятной для всех. Если вы чего-то не поняли, обещает он своим читателям, значит, это было не важно :) В отличие от Линнебо, просто перечисляющего разные «измы» и остающегося «над схваткой», Херш настойчиво проводит собственную линию, пропагандируя представление о математике как о коллективной человеческой деятельности и помещая ее в один ряд с такими явлениями, как деньги, война и религия. Русского перевода его книжки я, увы, не нашла – дайте, пожалуйста, знать, если он существует. Зато мне попалось неплохое изложение философии математики вот в этом русскоязычном учебнике (глава 20).

Херш признает, что большинство математиков прежних веков, да немало и нынешних, придерживались позиции платонизма, то есть, представления, что математические объекты существуют независимо от человеческого сознания. И правда, пишет Херш, если вы зададите какую-нибудь математическую задачу целому классу учеников, все они получат один и тот же ответ (конечно, за исключением тех, кто с задачей вообще не справится). То есть, математика действительно в каком-то смысле объективна.

Для религиозных математиков-платонистов математические утверждения – это мысли Бога, как это было для самого Платона с его Богом-геометром, а равно для Лейбница и иже с ним. По мнению Херша, главная проблема математического платонизма в том, что он несовместим с современной естественно-научной картиной мира, а такая совместимость – необходимое требование к философии математики. Действительно, не очень понятно, как же люди из плоти и крови взаимодействуют с этим трансцендентным объективным миром математических объектов? Подозреваю, нерелигиозные математики-платонисты об этом просто не задумываются, а для религиозных это не баг, а фича.

А вот как Херш возражает против утверждаемой платонистами неизменности математических объектов. «Со времен Пифагора математика считалась чем-то вечным и неизменным. 2 + 2 всегда было и всегда должно быть 4. Эвклид знал это, и (будем надеяться) это будут знать наши потомки миллионы лет спустя. Как же я смею утверждать, что «2 + 2 = 4» не вечно? Сначала по мелочи. Эвклид никогда не видел формулы «2 + 2 = 4». Символы «2», «4», «+» и «=», а также обычай выписывать символы в строчку для образования формул были неизвестны в его время. Но Бог с ней, с формулой, давайте рассмотрим существо дела. <…>

Сегодня 2 – не просто натуральное (порядковое) число. Сначала у него появился антипод, -2 (то есть, оно стало целым числом). 2 больше не страдает от одиночества. Теперь оно – рациональное число, элемент плотного упорядоченного множества. Более того, 2 теперь – точка на непрерывной числовой прямой и даже точка на комплексной плоскости, участвующая в аналитических функциях и конформных отображениях. 2 превратилось в сложное существо, со множеством резонансов, возможностей и связей немыслимой глубины. А главное, оно обрело пару квадратных корней – не существовавших во времена Пифагора и Эвклида! По мере того, как мы создаем новые структуры, мы включаем в них и старые. <…> По мере того, как растет и меняется математика, растут и меняются и числа»

. (Дальше Херш разбирает еще несколько примеров радикальной смены смысла математических понятий в ходе истории).

А еще Херш считает, что платонизм плохо сказывается на преподавании математики, потому что якобы подразумевает, что этот мистический доступ к миру математических объектов открыт не для всех. Но вот это, по-моему, явная натяжка: в платонизме ничего такого нет. Кроме того, отбить охоту заниматься математикой очень легко и без всякого платонизма: достаточно просто сообщить ученику, что у него нет к ней способностей (как это нередко внушают девочкам :(

В «мейнстримной» философии математики платонизму противостоит – и это показалось мне самым интересным в книжке Херша – кантианство, но, уподобляясь Шехерезаде, рассказ об этом я оставляю до следующего года :)

Рубен Херш рассказывает о другой своей книжке, где он излагает те же идеи (интервью American Mathematical Society 30 апреля 2014)

Как вы уже поняли, книжка Херша мне чрезвычайно понравилась. А узнала я о ней из заметки Иэна Стюарта, перечисляющего 10 лучших популярных книг по математике, за что ему и спасибо.

Comments

Продолжение

[ald1976.livejournal.com]

Продолжение

## 5. Философские последствия

Изучение потенциально возможных нечеловеческих математик заставляет нас пересмотреть:

### 5.1. Статус математической истины
Если столь разные пути ведут к разным, но внутренне непротиворечивым системам, то **платонизм** (идея, что математические объекты существуют независимо от разума) становится проблематичным.

### 5.2. Пределы понимания
Мы, возможно, **никогда не поймём** некоторые разделы инопланетной математики — не из-за сложности, а из-за фундаментальной несовместимости когнитивных аппаратов.

### 5.3. Критерий разумности
Способность к сложной абстракции может проявляться в формах, которые мы даже не распознаем как **математику**.

## Заключение

Человеческая математика — лишь одна из возможных. Существа с иной биологией и средой развили бы системы абстракций, отражающие их телесность и экологию. Возможно, величайшее открытие при контакте с внеземным разумом состояло бы в осознании, что наши самые глубокие математические интуиции — всего лишь **частный случай** в безбрежном океане возможных способов мыслить об структуре реальности.

Это не обесценивает нашу математику, но показывает её истинное место: не как **универсальный язык вселенной**, а как **диалект**, на котором говорит один конкретный вид разумных существ на одной маленькой планете.

Re: Продолжение

[egovoru.livejournal.com]

Что ж, Дипсик говорит примерно то же, что и мы с Хершем :)