Разобрали тут ребята весь как есть автомат

[egovoru]

Если свободу воли понимать как возможность поступить по-другому в тех же самых обстоятельствах, то проверить ее наличие у нас принципиально невозможно, потому что нельзя прокрутить ту же киноленту еще раз. Но Роберт Сапольски в своей новой книжке ставит вопрос несколько иначе: покажите мне нейрон в нашем мозгу, сработавший совершенно беспричинно, и я соглашусь с существованием свободы воли. То есть, он приравнивает свободу воли к отсутствию детерминизма, потому что именно так поступают многие ее сторонники, напирая на пригожинский хаос, эмерджентную сложность или квантовую неопределенность. На мой взгляд, все перечисленное тут заведомо ни при чем, потому что свобода воли предполагает намеренное изменение хода событий, а вовсе не русскую рулетку. Тем не менее, разбор этих аргументов Сапольским показался мне очень интересным.

Хаотические явления Сапольски иллюстрирует клеточными автоматами. Самый простой из них – ряд черных и белых клеток, к которому Сапольски применяет правило 22 (не путать с уловкой 22!): цвет каждой клетки нового ряда определяется тремя соседними клетками предыдущего, и он черный только тогда, когда одна и только одна клетка из этих трех черная, а во всех остальных случаях он белый.

Иллюстрация правила 22 с сайта Cloudinary

Сапольски называет такой автомат «непредсказуемым», потому что, дескать, нет такой формулы, которая позволила бы вычислить, каков будет его N-й ряд, если мы знаем первый – для этого нужно в явном виде проделать все промежуточные преобразования. Но позвольте, если мы уже проделали их один раз, то нам ведь уже известно, что будет, если мы начнем с той же конфигурации первого ряда еще раз? Она ведь однозначно задает все последующие – разве не так? А если так, то где же здесь «непредсказуемость»?

Непредсказуемость поведения природных систем, вроде атмосферы, связана ведь только с тем, что мы никогда не можем с абсолютной точностью воспроизвести те же самые начальные условия (или даже полностью определить их – в конечном счете, из-за гейзенберговского принципа неопределенности, а на практике – из-за ограниченной точности наших измерительных приборов и знаний о том, какие факторы влияют на интересующий нас процесс).

Но у клеточного автомата, который мы можем снова и снова запускать из одной и той же начальной конфигурации, никакой непредсказуемости нет – во всяком случае, при использовании таких правил, которые однозначно задают каждый следующий ряд из предыдущего. (Комментаторы подсказали, что свойство клеточного автомата, которое имеет в виду Сапольски, называется сomputational irreducibility. Сам он этого термина не употребляет).

Другое дело, что из-за вырожденности правила 22 мы не можем однозначно восстановить предыдущие ряды, зная последующие: иными словами, разные начальные условия могут приводить к одной и той же последующей конфигурации. Если физические системы устроены подобным же образом, то все наши попытки реконструкции истории прошлых событий заведомо обречены на провал.

Кстати сказать, Сапольски солидарен со мной, что термин «хаотические системы» – очень неудачный, потому что слово «хаос» обозначает и высокоэнтропийное состояние. Мне кажется, название «нелинейные системы» лучше отражает существо дела.

Занятные картинки, которые дает правило 22 при некоторых начальных условиях (иллюстрация из статьи Jack J. Mcdowell и Andrei Popa)

Спасибо уважаемой latifaschwalbe за информацию о книжке Сапольски! Русского перевода, как я понимаю, еще нет – но поправьте меня, пожалуйста, если я ошибаюсь.

Comments

[chyyr.livejournal.com]

>Мне кажется, название «нелинейные системы» лучше отражает существо дела.

В математике термин "линейные системы" и "нелинейные системы" уже зарезервирован для систем, где работает принцип суперпозиции (т.е. сумма решений является решением ), и где не работает.
При этом вовсе не каждая нелинейная система является хаотической.

(А если говорить об обратимости, то даже линейная система может быть необратимой.
В качестве примера можно взять уравнение теплопроводности: во-первых, не для любой гладкой функции распределения температур есть предыдущее состояние; во-вторых, приблизительно зная температуру тела с заданной точностью, мы не можем оценить температуру ни в какой момент в прошлом — ошибки будут сколь угодно большими
(При этом вперёд по времени задача решается, и даже есть симпатичная формула для решения)


>слово «хаос» обозначает и высокоэнтропийное состояние

А может от этого толкования отказаться?:)

А то оно не всегда совпадает с интуитивным пониманием хаоса.

Например, то же уравнение теплопроводности. В замкнутой системе, при источников тепла и теплообмена с внешней средой, энтропия решения возрастает со временем.
Со временем решение стремится к состоянию с максимальной энтропией. Решением этим будет постоянная функция распределения температур — что с бытовой точки зрения выглядит не очень хаотично.

Ну или первозданный хаос греков, как его представляли тамошние философы, выглядит как состояние с энтропией, близкой к минус бесконечности:) Огромное количество объектов в совершенно невероятных состояниях. (Невероятных в смысле, что в одном состоянии густо, в другом, с ним "соседнем" — пусто)

[chyyr.livejournal.com]

>слово «хаос» обозначает и высокоэнтропийное состояние

Диффузия сюда же. Наибольшая энтропия подразумевает равномерное распределение компонентов смеси. Хаос в бытовом понимании — непредсказуемое распределение, "здесь пусто — там густо".

(Что забавно, на микроуровне для равномерного распределения как раз полная непредсказуемость — ничего лучше чем "вероятность, что выбранная наугад молекула смеси окажется азотом равна 2/3" мы предложить не можем. Но на макроуровне — замечательная среда с одинаковыми свойствами по всему объему. Изучил часть — можешь экстраполировать на целое.)

[egovoru.livejournal.com]

Да, поскольку величина энтропии зависит от уровня рассмотрения, тут возникает много занятных парадоксов :)

[egovoru.livejournal.com]

"В математике термин "линейные системы" и "нелинейные системы" уже зарезервирован для систем, где работает принцип суперпозиции (т.е. сумма решений является решением ), и где не работает"

А, вон оно что! А вот есть еще похожее понятие "динамические системы" - или тут тоже есть разница с хаотическими?

"А то оно не всегда совпадает с интуитивным пониманием хаоса"

Мне кажется, что наше бытовое понимание хаоса - это противоположность порядка, то есть, отсутствие вычленяемых закономерностей, так? Иными словами, случайность. А в хаотических системах ведь никакой случайности нет?

[chyyr.livejournal.com]

Динамическая система — наиболее общее понятие. Это любая система (обычно задаваемая конечным числом параметров*), состояние которой меняется со временем**, причем по текущему состоянию однозначно определяется состояние в будущий момент времени.

Динамические системы бывают линейные и нелинейные, смотря по какому именно закону меняется состояние системы.

Среди нелинейных динамических систем встречаются хаотические системы. Одно из главных их свойств*** — практическая непредсказуемость: зная начальные данные лишь приблизительно, пусть даже со сколь угодно хорошей точностью, мы не можем однозначно предсказать будущую траекторию системы. То есть детерминированность есть, но на практике воспользоваться ею нельзя: ни один демон Лапласа не предоставит нам абсолютно полных данных о состоянии системы, а малейшая ошибка через какое-то время приводит к сколь угодно большим погрешностям.

____________________

*В принципе, можно рассматривать и системы с бесконечным числом параметров. Например, упомянутое выше уравнение теплопроводности дает линейную динамическую систему с бесконечным числом параметров.

** Там есть еще некоторые требования насчет непрерывности, а иногда и гладкости — но я для простоты их опускаю.

*** Это так называемая "неустойчивость". Если брать формальное определение, то любая хаотическая система неустойчива, но не всякая неустойчивая система является хаотической.

[chyyr.livejournal.com]

>Наше бытовое понимание хаоса - это противоположность порядка, то есть, отсутствие вычленяемых закономерностей. А в хаотических системах ведь никакой случайности нет

Формально, случайности нет.

Но есть отсутствие вычленяемых закономерностей.
Одно из требований к хаотической системе — чтобы из любой окрестности любого состояния можно было попасть в любую окрестность любого другого состояния.
То есть, приблизительно зная текущее состояние (точность не имеет значения, лишь бы она не была абсолютной), мы вообще не можем сказать, куда нашу систему в конечном счёте занесет. Причем даже наблюдения за системой на протяжении конечного времени не дадут нам информации, чтобы предсказать достаточно далёкое будущее.
"Это она пока топчется на месте, а потом ка-а-ак прыгнет!"

[egovoru.livejournal.com]

Да, это я понимаю: малое различие в начальных условиях приводит к непредсказуемо большому различию в результатах. Видимо, и Сапольски имеет в виду именно это, называя непредсказуемым клеточный автомат, работающий по правилу 22.

[chyyr.livejournal.com]

Я его понял немного по-другому.

Непредсказуемость автомата с правилом 22 — это невозможность узнать состояние автомата на 1001 шаге иначе, чем последовательно посчитав всю предыдущую тысячу состояний.

В начальном состоянии зашифрована вся будущая история, но расшифровка этой будущей истории эквивалента по сложности запуску автомата.
(Тут вспоминается анекдот про предсказательную машину, которую экспериментатор спросил "Что я буду делать через десять минут?". Машина пыхтела три часа и наконец сообщила: "Ждать, пока я отвечу")

А неустойчивость в хаотических системах работает иначе. Например, в знаменитой подкове Смейла, если начальное состояние известно абсолютно точно (и желательно записано в удобной системе счисления, например, в пятеричной), предсказать состояние системы в любой момент времени достаточно просто.
Проблема в том, что это предсказание, хотя и абсолютно верное, лишено практического смысла из-за невозможности на практике абсолютно точно описать начальное состояние.

[egovoru.livejournal.com]

"это невозможность узнать состояние автомата на 1001 шаге иначе, чем последовательно посчитав всю предыдущую тысячу состояний"

Да, Сапольски так именно и пишет. Меня, однако, смущает такая терминология, ибо, на мой взгляд, если можно предсказать, последовательно посчитав всю предыдущую тысячу состояний, то это уже делает систему предсказуемой.

"Проблема в том, что это предсказание, хотя и абсолютно верное, лишено практического смысла из-за невозможности на практике абсолютно точно описать начальное состояние".

Ну да, и то же самое относится к любым хаотическим физическим процессам. Про подкову эту я никогда не слышала, но она-то, как я поняла - математическая модель? Статья в Вики называет ее "динамической системой", а Вы, наверное, знаете ответ на мой вопрос: динамические системы (в том смысле, как подкова Смейла) и хаотические (в пригожинском смысле) - это одно и то же или нет? А если нет, то в чем же различие? Мне трудно в этом разобраться.

[chyyr.livejournal.com]

>если можно предсказать, последовательно посчитав всю предыдущую тысячу состояний, то это уже делает систему предсказуемой

Это смотря что мы называем предсказуемостью. Та предсказуемость, о которой говорите вы в этом комментарии, — синоним детерминизма.
В некотором смысле это конечно предсказуемость, но очень слабая.

Если единственный способ спрогнозировать, где будет такая-то звезда через сто лет, это построить точную модель вселенной и подождать 100 лет, такой предсказуемостью очень трудно эффективно воспользоваться. Мы даже не можем пронаблюдать один раз, а потом пользоваться проделанными наблюдениями — состояние-то вселенной изменилось, нужен новый эксперимент.

С познавательной точки зрения предсказание полезно, если событие можно предсказать до того, как оно произойдет. А вот как раз это не для любой детерминированной системы возможно.

[egovoru.livejournal.com]

Та предсказуемость, о которой рассуждает Сапольски, говоря о клеточном автомате - это computational irreducibility, термин, который кажется мне гораздо более адекватным и интуитивно понятным (но Сапольски его почему-то не употребляет - боится испугать читателей? :) То есть, невозможность прийти к состоянию N-й строки никаким более коротким путем, чем проделав то же путь, которым приходит к ней сам клеточный автомат.

У Сапольски этого нет, но в другой книжке на подобную тему, которую я читаю сейчас, автор отмечает, что и Вселенная как таковая отличается этим свойством. Даже если события в ней полностью детерминированы, мы никогда не сможем предсказать ее поведение со 100% точностью, потому что для этого надо быть самой этой Вселенной и претерпеть ее собственную эволюцию. Любые же наши модели Вселенной, которые мы захотим использовать для такого предсказания, по определению будут содержать меньше информации, чем сама Вселенная, а значит, не будут 100% точны. Вроде бы тривиальные соображения, но тем не менее интересные.

[chyyr.livejournal.com]

Что до второго вопроса, то да, подкова Смейла — это математическая модель, показывающая, что система, описываемая относительно простым законом, может обладать весьма сложным поведением.

Что до динамических систем — то в математике так называют любую систему, которая меняется со временем по некоторому заданному закону
(закон определяет как, зная состояние системы в какой-то момент времени, определить ее состояние в следующий момент)

Хаотической динамическая система быть не обязана.
Система частиц, летящих с одной скоростью равномерно и прямолинейно — тоже динамическая система, просто очень скучная и предсказуемая.

[egovoru.livejournal.com]

А, вон оно что! То есть, практически все рассматриваемые в физике системы - и есть динамические?

[chyyr.livejournal.com]

Грубо говоря, да.
(По крайней мере когда законы единообразны для любого момента времени.
Ну и квантовая механика в известной мере касается не детерминированных, а вероятностных динамических систем)

[109.livejournal.com]

во-первых, не для любой гладкой функции распределения температур есть предыдущее состояние

Хм, а где-нибудь про это написано подробнее? А то непонятно, что мешает заменить t на -t в уравнениях.

[chyyr.livejournal.com]

Уравнение теплопроводности не инвариантно относительно замены t на -t.

Более подробное пояснение, почему уравнение теплопроводности не решается в обратную сторону, есть, например, у Бицадзе в "Уравнениях математической физики", Гл.4, § 1.
Если коротко — решение, если оно существует, можно задать бесконечным рядом, зависящим от времени t. Например, в простейшем случае, таким:

Σ a_k sin kx exp(-k²t),

где сумма берется по всем положительным целым k; a_k — постоянные коэффициенты, определяемые из начальных условий.

В типичном случае этот ряд сходится при положительных t и расходится при отрицательных.

[109.livejournal.com]

Ну и пусть расходится. Нам же не нужно искать решение при t = -inf, а только предыдущее состояние, то есть t = t⁰ — dt. Непонятно, как его может не быть, если функция гладкая.

[chyyr.livejournal.com]

Так ряд же в типичном случае расходится при любом отрицательном t, а не только при минус бесконечности.

Смотрите: пусть есть стержень длины π, и пусть его температура в момент времени t⁰ задаётся рядом

Σ exp(-k) sin kx .

Это отличный ряд, он равномерно сходится к бесконечно гладкой функции.

Если для таких данных есть решение на каком-то отрезке [t⁰-δ, t⁰], то при каждом t из этого отрезка решение должно задаваться рядом

Σ exp(-k) sin kx exp(-k²(t- t⁰)),

причем этот ряд должен сходиться (опять же, при каждом t из отрезка).

Однако, сколь бы малым ни было δ>0, при
t= t⁰-δ наш ряд расходится. Действительно, в этом случае он имеет вид

Σ sin kx exp(-k+k²δ);
необходимое условие сходимости ряда — чтобы члены ряда стремились к нулю при k→∞.
Однако здесь они к нулю не стремятся (даже наоборот, коэффициенты при синусах стремятся к бесконечности).

Вывод: при указанных начальных данных предыдущее состояние найти невозможно ни для какого момента времени t< t⁰.

PS Для бесконечного стержня тоже можно привести подобные примеры. Например, если стержень имеет в момент времени t⁰ распределение температур

1/(1+x²),
то ни для какого предшествующего момента времени температуру определить невозможно.
(Правда, здесь для доказательства потребуются уже не ряды, а так называемое преобразование Фурье).

[109.livejournal.com]

Спасибо!