И твой, бесконечность, учебник

[egovoru]

Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.

Давид Гильберт считал бесконечность иллюзией – даже, например, бесконечность, представленую множеством действительных чисел. По Гильберту, содержательной можно считать только «конечную» математику, занимающуюся «конкретными символами, структура которых немедленно ясна и узнаваема». Как, например, черточки, представляющие натуральные числа (как в первых трех римских цифрах).

Но позвольте, ведь и число натуральных чисел – бесконечно? Не страшно – до той поры, пока мы не делаем никаких утверждений обо всей их совокупности (то есть, обращаемся с ними только как с потенциальной бесконечностью). Более того, по Гильберту, и сами натуральные числа существуют только потенциально – в отличие от физических объектов.

Ну, а как же быть с другими областями математики, где встречаются бесконечности? Гильберт считал, что математика заслуживает право на существование, даже если она бессодержательна – и именно такова вся «бесконечная» математика. «Мы представляем себе математику состоящей из двух типов формул: первый, соответствующий содержательному сообщению конечных утверждений, и второй, представленный идеальными структурами нашей теории, которые ничего не обозначают».

Мне не удалось понять, какой смысл тут вкладывается в слово «содержательный» (contentful)? Да и принцип выделения натуральных чисел в какую-то отдельную категорию кажется мне сомнительным: идеи половины яблока или диагонали квадрата кажутся мне не менее содержательными, чем идея зарубок на палке.

Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях. Гаусс, первым предложивший представление чисел как точек декартовой плоскости, писал, что ни у кого не возникло бы ни малейших затруднений, если бы единицу, минус единицу и корень из минус единицы назвали не положительной, отрицательной и мнимой, а измеряли бы ими расстояния при движении вперед, назад и в сторону.

Портрет Давида Гильберта (2018) работы Anna Gorban

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Образование (https://www.livejournal.com/category/obrazovanie?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Скорее все-таки "Математика"!

[alex-new-york.livejournal.com]

«число натуральных чисел – бесконечно?»

Число в традиционном его понимании не может быть бесконечным. Аккуратнее будет сказать, что процесс генерации натуральных чисел не имеет логического завершения, и что для всякого натурального числа можно сгенерировать большее, прибавив к первому единицу.

Бесконечное число — это новая абстракция, не соответствующая ничему материальному. И требующая осторожного обращения

[egovoru.livejournal.com]

А разве алеф-ноль и его родственников не называют "трансфинитными числами" (https://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_number)?

[xgrbml.livejournal.com]

Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня они остаются серьезной проблемой в математике.

Не являются на самом деле. Давным-давно.

[egovoru.livejournal.com]

Ну, Линнебо, конечно, не пишет прямо так: "бесконечности представляют собой проблему", но какая-то напряженность по этому поводу у него чувствуется. В частности, он пишет, что многих математиков не устраивает текущая ситуация с гипотезой континуума.

[egovoru.livejournal.com]

А что же все-таки Гильберт тут понимает под "содержательностью"?

[vida-louca.livejournal.com]

Мне тоже, как и Гильберту, не нравится бесконечность в математике, и я бы предпочёл иметь дело с конечными объектами.

Стремление к бесконечности - это одно, а достигнув её, мы получим совсем другое. Не хотелось бы эти вещи смешивать и, как Кантор, чтобы получать равную мощность для совершенно разных бесконечных множеств.

В природе нет бесконечностей, а конечных объектов - сколько угодно.

[egovoru.livejournal.com]

Но ведь Кантор как раз показал, что бесконечные множества бывают разной мощности?

[skogar.livejournal.com]

У Гильберта был амбициозный план относительно роли математики в познаваемости мира, который по-видимому можно считать провалившимся. Вероятно поэтому бесконечность для него лишь абстрактна, так как в природе её "не бывает".

Что до комплексных чисел, Вы вроде всё и объяснили - сначала их обнаружили как нечто непонятное по сути, с чем однако удобно работать, и только потом появились их наглядные интерпретации; а теперь уже без них и вообще никак.

[egovoru.livejournal.com]

У меня сложилось впечатление, что комплексные числа сначала появились как решения некоторых уравнений, и долгое время математики не знали, что с ними делать, считать их за числа или нет.

Что же касается философских взглядов Гильберта, то в них разобраться нелегко. Он активно пользуется понятием "априорности", а оно кажется мне крайне мутным. Я так понимаю, тогда они все, особенно немцы, еще находились под сильным влиянием Канта.

[timur0.livejournal.com]

...а есть еще теорема Левенгейма-Сколема, утверждающая, что любая аксиоматическая теория, в том числе и канторова теория множеств, имеет счетную модель. Т.е. достаточно потенциальной бесконечности натуральных чисел для моделирования любых бесконечностей.

[egovoru.livejournal.com]

Признаться, я очень плохо понимаю, что именно математики называют "моделью". Может быть, Вы бы попробовали объяснить мне это "на пальцах"?

[ntsil.livejournal.com]

По существу тут уже всё сказали: что Гильберт -- это "давно и неправда", а в современной математике обсуждаемой проблемы нет. Так что выскажу только занудные редакторские поправки: по-русски говорят не "картезианская плоскость", а "декартова", а геометрическое представление комплексных чисел придумал, как считается, не Гаусс, а Арган, если я не ошибаюсь.

[egovoru.livejournal.com]

Линнебо, конечно, не пишет прямо так: "бесконечности представляют собой проблему", но какая-то напряженность по этому поводу у него чувствуется. В частности, он пишет, что многих математиков не устраивает текущая ситуация с гипотезой континуума.

"по-русски говорят не "картезианская плоскость", а "декартова"

Спасибо, сейчас исправлю.

"геометрическое представление комплексных чисел придумал, как считается, не Гаусс, а Арган"

Об этом пишет не Линнебо, а Моррис Клайн, "Утрату определенности" которого я сейчас читаю. Английский оригинал у меня бумажный, так что его скопировать сложно, поэтому привожу соответствующую цитату из русского перевода, который есть в сети:

"Гаусс рассматривает многочлены с вещественными коэффициентами и, кроме того, предполагает, хотя нигде не определяет его явно, взаимно-однозначное соответствие между точками декартовой (координатной) плоскости и комплексными числами.<...>

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, –1 и √–1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с эти-ми числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комп-лексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначе-ния √–1 символ i."

Русский переводчик перевел "lateral" Клайна как "побочная", но мой перевод кажется мне удачнее :)

[egovoru.livejournal.com]

А что же все-таки Гильберт тут понимает под "содержательностью"?

[woodenfriend.livejournal.com]

мне нравится история про сугубо практическую и содержательную длину береговой линии великобритании. привет, бесконечность!

[egovoru.livejournal.com]

О, о фракталах у меня тут есть отдельный пост! (https://egovoru.livejournal.com/85672.html)

[greygreengo.livejournal.com]

Все знают анекдот, про то, как заходит в бар бесконечное количество математиков и первый говорит:
- налейте мне стакан виски.
второй говорит:
- и мне полстакана виски
третий говорит
- и мне четверть стакана виски.
А бармен им в ответ:
- хорошо, вот ваши два стакана виски для всех.

Но мало кто знает, что у этого анекдота есть аналоги:

Заходит в бар бесконечное количество математиков и первый говорит бармену:
- Дайте мне стакан виски.
Второй говорит:
- И мне два стакана виски.
Третий говорит:
- И мне три стакана виски.
А бармен отвечает:
- Если брать по Чезаро, то весь ваш виски, в размере одной двенадцатой стакана я еще вчера выплеснул.

ЗЫ Про сумму ряда всех натуральных чисел читать тут. Ну, или тут.

[skogar.livejournal.com]

По Чезаро не получится 1/12, только через аналитическое продолжение.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо, про -1/12 интересная штука, я этого не знала! Но, конечно, процедуру, дающую это значение, трудно назвать "суммированием" :)

[serge no (from livejournal.com)]

Экий бред, построенный на том, что значениями неких мутных символов, свойства которых никому не известны, манипулируют с помощью алгебраических соотношений.

[a-gorb.livejournal.com]

i>”Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка.”
Начните с более простого, если оно более простое:) – страх перед непрерывностью. На мой взгляд, атомы Демокрита это как раз капитуляция перед непрерывностью. Очень простое решение – если есть нечто уже далее неделимое, то и вопрос о непрерывности снимается.

”Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях.”
Число – это очень нетривиально. Мы, благодаря современному образованию (внушению, привычки еще со школы) привыкли вольно обращаться с числами. Но вот древние хорошо понимали разницу между числом и величиной, о чем сейчас частенько забывают. Вот у вас есть отрезок, он имеет некую длину, т.е. есть величина длины этого отрезка. Мы можем оперировать с этим типом величин, т.е. длинами отрезков – доказывать различные теоремы, типа что в таком-то треугольнике величины длин сторон равны. Или, что большая величина относится к меньшей, так же, как сумма величин к большей. Это последнее отношение есть золотое сечение. Всеми этими отношениями пользовались. Но есть ли тут числа – нет. Это величины, а не числа. И все эти отношения сформулированы именно как отношениями величин. Еще такой пример. Тригонометрия. Возьмем к примеру косинус. Мы привыкли, что под руками есть калькулятор, вбиваем в него угол и получаем число – значение косинуса этого угла. Поэтому мы считаем, косинус числом. Но на самом деле, это отношение величин: длины прилежащего катета к гипотенузе.

А вот отдельно есть числа, т.е. то, что можно исчислить, а попросту посчитать. Это прежде всего натуральные числа. Но между числами можно взять отношения, которые будут числами рациональными. Теория отношений – есть по существу венец античной математики. Античность продолжается еще несколько столетий, но в математике поразительный застой наступает после блестящего расцвета [Н.Бурбаки].
Между отношениями величин и отношениями чисел усмотрели глубокую аналогию – отношения величин иногда можно выразить как отношение чисел. Но потом обнаружили, что отнюдь не всегда. Это было удивительно, легенда гласит, что открыватель за это поплатился жизнью. Да же если это только легенда, то тут важно, что она существовала.
Казалось бы, чего же проще – обобщить понятие числа с рациональных чисел на числа, которые могут выражать любые отношения величин. Но это потребовало больших интеллектуальных усилий. А вот попробуйте сами кому-нибудь объяснить, что такое действительное число. Именно как число! А не как всякие ”представление чисел как точек”, которые есть именно представления, образы, аналогии и т.п.

И вот у вас в посте как раз есть пример: ”Да и принцип выделения натуральных чисел в какую-то отдельную категорию кажется мне сомнительным: идеи половины яблока или диагонали квадрата кажутся мне не менее содержательными, чем идея зарубок на палке.”
Число зарубок на палке, число яблок – это числа. Половина яблока – это уже отношение чисел – одно яблоко поделить на двух человек. Длина диагонали квадрата, длина стороны квадрата – это величины, объекты совершенно другой природы. Отношение длины диагонали к длине стороны – это отношение величин, а не чисел. Это отношение существует и с ним можно оперировать, даже если его никаким числом не выражать. Т.е. идея зарубок содержательна, идея величины длины диагонали тоже содержательна, но это идеи из разной области. Для сравнения этих идей нужно иметь весьма серьезные основания.

Так что с отрицательными и комплексными числами торопиться не надо. Даже с обычными действительными числами не все просто.

[egovoru.livejournal.com]

"Начните с более простого, если оно более простое:) – страх перед непрерывностью"

Ох, непрерывность-то как раз вещь очень и очень непростая! Открытие Кантора, что бесконечности бывают разного "размера" (мощности) и что, конкретно, множество действительных чисел (дающее нам непрерывность) "больше" множества натуральных - на мой взгляд, едва ли не самый замечательный результат во всей математике (во всяком случае, результат, замечательность которого легко оценить и непрофессионалу).

"Так что с отрицательными и комплексными числами торопиться не надо. Даже с обычными действительными числами не все просто"

На мой взгляд, концепция действительного числа гораздо сложнее, чем концепция отрицательного: в конце концов, последнюю легко продемонстрировать даже на примере только целых чисел; то же касается и комплексных.

Согласна, о величинах можно рассуждать, даже не измеряя их - точнее, не сопоставляя с эталоном для выражения величины конкретным числом. Собственно, греки ведь так и поступали? Это уже потом геометрия утратила свою роль основания всей математики - когда Декарт догадался, что кривые суть совокупности пар чисел на координатной плоскости. У нас в мозгу вроде бы есть два разных модуля - один вырастает из способности отличать большее от меньшего, а другой - из способности к счету как таковому.

[a-gorb.livejournal.com]

Бесконечность

”Ну, а как же быть с другими областями математики, где встречаются бесконечности?”
А много ли они где встречаются? Возьмем КМ, в ней основным математическим инструментом являются вектора в бесконечномерном евклидовом пространстве (пространстве Гильберта). наше обычное пространство трехмерное и в нем можно задать вектор, который есть направленный отрезок, имеющий длину и направление. А теперь вообразите пространство бесконечного числа измерений и направленный отрезок в этом пространстве. Вот такая математика. И ничего, вполне с ней можно работать.

Во многих областях бесконечность фигурирует не сама по себе, а как некий предел, как стремление к бесконечности. Возьмем анекдот, приведенный в комментариях:
” заходит в бар бесконечное количество математиков и первый говорит:
- налейте мне стакан виски.
второй говорит:
- и мне полстакана виски
третий говорит
- и мне четверть стакана виски.
А бармен им в ответ:
- хорошо, вот ваши два стакана виски для всех. ”
Тут встречается бесконечность? Нет. Здесь как раз всего лишь предел при стремлении к бесконечности. Конечно, был период с бесконечно малыми и бесконечно большими, понимаемыми интуитивно, но Огюстен Коши понятием предела изгнал эти бесконечности. Все прекрасно формулируется через вполне конечные величины.

Другое дело, когда бесконечность выступает сама по себе, в актуальном виде. А это почти только теория бесконечных множеств.

” Мне не удалось понять, какой смысл тут вкладывается в слово содержательный»”
«В рамках классической математики, очевидно, правомочно говорить, что точка принадлежит прямой линии, но делать отсюда вывод о том, что прямая «составлена из точек», нельзя без нарушения табу на актуальную бесконечность, и Аристотель пускается в длинные рассуждения, чтобы оправдать этот запрет. В XIX в., очевидно, для того чтобы пресечь все возражения этого рода, многие математики избегают говорить о множестве и систематично рассуждают «по содержанию». Так, например, Галуа говорит не о числовых полях, но только о свойствах, общих всем элементам этого поля. Даже Паш и Гильберт в своих аксиоматических изложениях евклидовой геометрии воздерживаются от утверждения, что прямые линии и плоскости суть множества точек. Пеано — единственный математик, который свободно употребляет язык теории множеств в элементарной геометрии.» [Н.Бурбаки]

[skogar.livejournal.com]

-- заходит в бар бесконечное количество математиков
-- Тут встречается бесконечность? Нет.

:)