И твой, бесконечность, учебник

[egovoru]

Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.

Давид Гильберт считал бесконечность иллюзией – даже, например, бесконечность, представленую множеством действительных чисел. По Гильберту, содержательной можно считать только «конечную» математику, занимающуюся «конкретными символами, структура которых немедленно ясна и узнаваема». Как, например, черточки, представляющие натуральные числа (как в первых трех римских цифрах).

Но позвольте, ведь и число натуральных чисел – бесконечно? Не страшно – до той поры, пока мы не делаем никаких утверждений обо всей их совокупности (то есть, обращаемся с ними только как с потенциальной бесконечностью). Более того, по Гильберту, и сами натуральные числа существуют только потенциально – в отличие от физических объектов.

Ну, а как же быть с другими областями математики, где встречаются бесконечности? Гильберт считал, что математика заслуживает право на существование, даже если она бессодержательна – и именно такова вся «бесконечная» математика. «Мы представляем себе математику состоящей из двух типов формул: первый, соответствующий содержательному сообщению конечных утверждений, и второй, представленный идеальными структурами нашей теории, которые ничего не обозначают».

Мне не удалось понять, какой смысл тут вкладывается в слово «содержательный» (contentful)? Да и принцип выделения натуральных чисел в какую-то отдельную категорию кажется мне сомнительным: идеи половины яблока или диагонали квадрата кажутся мне не менее содержательными, чем идея зарубок на палке.

Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях. Гаусс, первым предложивший представление чисел как точек декартовой плоскости, писал, что ни у кого не возникло бы ни малейших затруднений, если бы единицу, минус единицу и корень из минус единицы назвали не положительной, отрицательной и мнимой, а измеряли бы ими расстояния при движении вперед, назад и в сторону.

Портрет Давида Гильберта (2018) работы Anna Gorban

Comments

[egovoru.livejournal.com]

Это я тоже прочла, но это не дает ответа на мой вопрос: куда же впихнуть "ауру", если все и так уже заполнено действительными?

[skogar.livejournal.com]

Она как бы вокруг каждого числа. Представить себе можно как дополнительную размерность, точнее, как "перпендикулярный" кружок бесконечно малого радиуса.

[egovoru.livejournal.com]

Тогда уж как "свернутые" измерения струнных теорий, потому что ведь перпендикуляр уже занят комплексными :) Интересно, струнные теоретики используют гипердействительные числа в своих вычислениях?

[skogar.livejournal.com]

Перпендикуляров много :) Но да, что-то в духе струнщины. (Я ей не интересуюсь, так что подробнее не могу ничего сказать.)

[egovoru.livejournal.com]

Для описания любого перпендикуляра в трехмерном пространстве достаточно трех координат. Более того, можно расширить пространство до n-мерного и описывать точки в нем набором из n координат. Гипердействительные же, как я поняла, все равно лежат вне всего этого.

[skogar.livejournal.com]

Не вне, а просто их очень много - перпендикуляр должен быть очень жирным. В любом случае это лишь образ - для ответа на Ваш вопрос, куда их впихнуть, если уже всё занято.