И твой, бесконечность, учебник

[egovoru]

Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.

Давид Гильберт считал бесконечность иллюзией – даже, например, бесконечность, представленую множеством действительных чисел. По Гильберту, содержательной можно считать только «конечную» математику, занимающуюся «конкретными символами, структура которых немедленно ясна и узнаваема». Как, например, черточки, представляющие натуральные числа (как в первых трех римских цифрах).

Но позвольте, ведь и число натуральных чисел – бесконечно? Не страшно – до той поры, пока мы не делаем никаких утверждений обо всей их совокупности (то есть, обращаемся с ними только как с потенциальной бесконечностью). Более того, по Гильберту, и сами натуральные числа существуют только потенциально – в отличие от физических объектов.

Ну, а как же быть с другими областями математики, где встречаются бесконечности? Гильберт считал, что математика заслуживает право на существование, даже если она бессодержательна – и именно такова вся «бесконечная» математика. «Мы представляем себе математику состоящей из двух типов формул: первый, соответствующий содержательному сообщению конечных утверждений, и второй, представленный идеальными структурами нашей теории, которые ничего не обозначают».

Мне не удалось понять, какой смысл тут вкладывается в слово «содержательный» (contentful)? Да и принцип выделения натуральных чисел в какую-то отдельную категорию кажется мне сомнительным: идеи половины яблока или диагонали квадрата кажутся мне не менее содержательными, чем идея зарубок на палке.

Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях. Гаусс, первым предложивший представление чисел как точек декартовой плоскости, писал, что ни у кого не возникло бы ни малейших затруднений, если бы единицу, минус единицу и корень из минус единицы назвали не положительной, отрицательной и мнимой, а измеряли бы ими расстояния при движении вперед, назад и в сторону.

Портрет Давида Гильберта (2018) работы Anna Gorban

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Образование (https://www.livejournal.com/category/obrazovanie?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[alex-new-york.livejournal.com]

«число натуральных чисел – бесконечно?»

Число в традиционном его понимании не может быть бесконечным. Аккуратнее будет сказать, что процесс генерации натуральных чисел не имеет логического завершения, и что для всякого натурального числа можно сгенерировать большее, прибавив к первому единицу.

Бесконечное число — это новая абстракция, не соответствующая ничему материальному. И требующая осторожного обращения

[xgrbml.livejournal.com]

Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня они остаются серьезной проблемой в математике.

Не являются на самом деле. Давным-давно.

[vida-louca.livejournal.com]

Мне тоже, как и Гильберту, не нравится бесконечность в математике, и я бы предпочёл иметь дело с конечными объектами.

Стремление к бесконечности - это одно, а достигнув её, мы получим совсем другое. Не хотелось бы эти вещи смешивать и, как Кантор, чтобы получать равную мощность для совершенно разных бесконечных множеств.

В природе нет бесконечностей, а конечных объектов - сколько угодно.

[skogar.livejournal.com]

У Гильберта был амбициозный план относительно роли математики в познаваемости мира, который по-видимому можно считать провалившимся. Вероятно поэтому бесконечность для него лишь абстрактна, так как в природе её "не бывает".

Что до комплексных чисел, Вы вроде всё и объяснили - сначала их обнаружили как нечто непонятное по сути, с чем однако удобно работать, и только потом появились их наглядные интерпретации; а теперь уже без них и вообще никак.

[timur0.livejournal.com]

...а есть еще теорема Левенгейма-Сколема, утверждающая, что любая аксиоматическая теория, в том числе и канторова теория множеств, имеет счетную модель. Т.е. достаточно потенциальной бесконечности натуральных чисел для моделирования любых бесконечностей.

[ntsil.livejournal.com]

По существу тут уже всё сказали: что Гильберт -- это "давно и неправда", а в современной математике обсуждаемой проблемы нет. Так что выскажу только занудные редакторские поправки: по-русски говорят не "картезианская плоскость", а "декартова", а геометрическое представление комплексных чисел придумал, как считается, не Гаусс, а Арган, если я не ошибаюсь.

[woodenfriend.livejournal.com]

мне нравится история про сугубо практическую и содержательную длину береговой линии великобритании. привет, бесконечность!

[greygreengo.livejournal.com]

Все знают анекдот, про то, как заходит в бар бесконечное количество математиков и первый говорит:
- налейте мне стакан виски.
второй говорит:
- и мне полстакана виски
третий говорит
- и мне четверть стакана виски.
А бармен им в ответ:
- хорошо, вот ваши два стакана виски для всех.

Но мало кто знает, что у этого анекдота есть аналоги:

Заходит в бар бесконечное количество математиков и первый говорит бармену:
- Дайте мне стакан виски.
Второй говорит:
- И мне два стакана виски.
Третий говорит:
- И мне три стакана виски.
А бармен отвечает:
- Если брать по Чезаро, то весь ваш виски, в размере одной двенадцатой стакана я еще вчера выплеснул.

ЗЫ Про сумму ряда всех натуральных чисел читать тут. Ну, или тут.

[skogar.livejournal.com]

По Чезаро не получится 1/12, только через аналитическое продолжение.

[greygreengo.livejournal.com]

Про то и анекдот. :))))

[skogar.livejournal.com]

Боюсь, что бармен подзабыл программу первого курса: про -1/12 помнит верно, но с обоснованием перепутал. По Чезаро не надо выходить в комплексную область, а без неё не обойтись, математики точно заметят подвох!

[greygreengo.livejournal.com]

Да, без аналитического продолжения дзета-функции не разберешься.

[egovoru.livejournal.com]

Скорее все-таки "Математика"!

[egovoru.livejournal.com]

А разве алеф-ноль и его родственников не называют "трансфинитными числами" (https://en.wikipedia.org/wiki/Transfinite_number)?

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Надо подумать

[egovoru.livejournal.com]

Ну, Линнебо, конечно, не пишет прямо так: "бесконечности представляют собой проблему", но какая-то напряженность по этому поводу у него чувствуется. В частности, он пишет, что многих математиков не устраивает текущая ситуация с гипотезой континуума.

[alex-new-york.livejournal.com]

Ну, называть можно что угодно и как угодно, но числами в изначальном традиционном смысле эти математические объекты, конечно, не являются

[egovoru.livejournal.com]

Линнебо, конечно, не пишет прямо так: "бесконечности представляют собой проблему", но какая-то напряженность по этому поводу у него чувствуется. В частности, он пишет, что многих математиков не устраивает текущая ситуация с гипотезой континуума.

"по-русски говорят не "картезианская плоскость", а "декартова"

Спасибо, сейчас исправлю.

"геометрическое представление комплексных чисел придумал, как считается, не Гаусс, а Арган"

Об этом пишет не Линнебо, а Моррис Клайн, "Утрату определенности" которого я сейчас читаю. Английский оригинал у меня бумажный, так что его скопировать сложно, поэтому привожу соответствующую цитату из русского перевода, который есть в сети:

"Гаусс рассматривает многочлены с вещественными коэффициентами и, кроме того, предполагает, хотя нигде не определяет его явно, взаимно-однозначное соответствие между точками декартовой (координатной) плоскости и комплексными числами.<...>

Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, –1 и √–1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с эти-ми числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комп-лексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначе-ния √–1 символ i."

Русский переводчик перевел "lateral" Клайна как "побочная", но мой перевод кажется мне удачнее :)

[egovoru.livejournal.com]

Ну, так ведь и иррациональные числа сначала не хотели признавать за числа, и отрицательные не хотели, и комплексные :)

[egovoru.livejournal.com]

Но ведь Кантор как раз показал, что бесконечные множества бывают разной мощности?

[egovoru.livejournal.com]

У меня сложилось впечатление, что комплексные числа сначала появились как решения некоторых уравнений, и долгое время математики не знали, что с ними делать, считать их за числа или нет.

Что же касается философских взглядов Гильберта, то в них разобраться нелегко. Он активно пользуется понятием "априорности", а оно кажется мне крайне мутным. Я так понимаю, тогда они все, особенно немцы, еще находились под сильным влиянием Канта.

[egovoru.livejournal.com]

Признаться, я очень плохо понимаю, что именно математики называют "моделью". Может быть, Вы бы попробовали объяснить мне это "на пальцах"?

[egovoru.livejournal.com]

О, о фракталах у меня тут есть отдельный пост! (https://egovoru.livejournal.com/85672.html)

[alex-new-york.livejournal.com]

Комплексные числа безусловно не являются числами в традиционном понимании. И с отрицательными числами тоже приходится разбираться, чтобы понять, что они такое. Иррациональные же числа вполне интуитивны и имеют прямые соответствия в материальном мире