И твой, бесконечность, учебник

[egovoru]

Страх древних перед «актуальной» бесконечностью, которая пугала их больше, чем «потенциальная», для меня загадка. А уж Кантор, мне казалось, окончательно демистифицировал бесконечности, научившись с ними обращаться? Но книжка Ойстена Линнебо свидетельствует, что и сегодня математические бесконечности остаются проблемой для философов.

Давид Гильберт считал бесконечность иллюзией – даже, например, бесконечность, представленую множеством действительных чисел. По Гильберту, содержательной можно считать только «конечную» математику, занимающуюся «конкретными символами, структура которых немедленно ясна и узнаваема». Как, например, черточки, представляющие натуральные числа (как в первых трех римских цифрах).

Но позвольте, ведь и число натуральных чисел – бесконечно? Не страшно – до той поры, пока мы не делаем никаких утверждений обо всей их совокупности (то есть, обращаемся с ними только как с потенциальной бесконечностью). Более того, по Гильберту, и сами натуральные числа существуют только потенциально – в отличие от физических объектов.

Ну, а как же быть с другими областями математики, где встречаются бесконечности? Гильберт считал, что математика заслуживает право на существование, даже если она бессодержательна – и именно такова вся «бесконечная» математика. «Мы представляем себе математику состоящей из двух типов формул: первый, соответствующий содержательному сообщению конечных утверждений, и второй, представленный идеальными структурами нашей теории, которые ничего не обозначают».

Мне не удалось понять, какой смысл тут вкладывается в слово «содержательный» (contentful)? Да и принцип выделения натуральных чисел в какую-то отдельную категорию кажется мне сомнительным: идеи половины яблока или диагонали квадрата кажутся мне не менее содержательными, чем идея зарубок на палке.

Поразительно, что отрицательные и мнимые числа даже в середине 19-го века все еще вызывали резкое отторжение математиков, вынужденных пользоваться ими в вычислениях. Гаусс, первым предложивший представление чисел как точек декартовой плоскости, писал, что ни у кого не возникло бы ни малейших затруднений, если бы единицу, минус единицу и корень из минус единицы назвали не положительной, отрицательной и мнимой, а измеряли бы ими расстояния при движении вперед, назад и в сторону.

Портрет Давида Гильберта (2018) работы Anna Gorban

Comments

[a-gorb.livejournal.com]

”у меня сложилось впечатление, что они какие-то альтернативные: то есть, все те же самые задачи анализа, для решения которых они используются, можно прекрасно решить и без них.”
Я с вами согласен. Этот нестандартный анализ хоть и является красивой задумкой, на практике не прижился.

”справедливо ли говорить о целом множестве гипердействительных чисел, ведь по сути есть только одно такое - бесконечно малая? Кстати, то же касается и комплексных (одна только мнимая единица) и даже отрицательных (одна только минус единица). Все остальные числа этих групп конструируются при помощи этих особых чисел в комбинации с разными действительными.”
Очень интересное наблюдение. Оно помогает понять суть чисел. По своей сути есть только одно число 1 (единица) (первая аксиома Пеано). Все остальные натуральные числа конструируются из нее. Отрицательные числа получаются как обратные к натуральным по отношению к операции сложения этих чисел, ноль – как нейтральное число. Получаем целые числа. Рациональные числа конструируются как отношения целых. Таким образом, все получилось из одной только единицы. И все это довольно наглядно. На этом математика древних и остановилась. У меня твердая уверенность, что они от наглядности (понимаемой достаточно широко) никак уйти не могли.

Другое дело число действительное, которым могут быть выражено отношение любых величин. Оно уже не конструируется из числа 1. И свойства действительных чисел кардинально (невольный каламбур) отличаются от свойств рациональных, как выяснил Кантор. Вот только тут и произошло действительное (опять каламбур получился) объединение величин и чисел.

Несмотря на то, что комплексные числа конструируются из действительных с помощью всего одного дополнительного числа (что, как вы правильно отметили, очень похоже на гипердействительные), они оказались очень продуктивны. Очень трудно стало бы в физике и технике без их использования. На их примере можно продемонстрировать, как в математике возникают открытия (пример известный, но все же:)). Казалось бы, что общего между тремя известными числами: отношение площади круга к квадрату, построенному на его радиусе (число Пи), увеличению капитала при сложном проценте (основание натуральных логарифмов, число е), корню квадратному из (–1) (число i, мнимая единица). Эти числа совершенно из разных областей! Но Эйлер вдруг установил, что эти числа в определенной комбинации дают ровно (–1) (тождество Эйлера). Математиков охватил восторг.

[egovoru.livejournal.com]

Да, я читала, что тождество Эйлера многие считают чуть ли не самым красивым во всей математике, и есть за что. Более того, эта субъективная оценка подтверждается результатами объективного сканирования мозга (https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fnhum.2014.00068/full) :)

Что же касается комплексных, тут Гаусс прав: из-за своей очень наглядной геометрической интерпретации они вовсе не кажутся таинственными, и их использование, скажем, в электромагнетизме выглядит очень естественно. Я подумала, что гипердействительные, может быть, можно приспособить для описания "свернутых" дополнительных измерений струнных теорий? Интересно, делались ли на самом деле подобные попытки?

[a-gorb.livejournal.com]

” из-за своей очень наглядной геометрической интерпретации они вовсе не кажутся таинственными, и их использование, скажем, в электромагнетизме выглядит очень естественно”
Да ну! В электродинамики комплексным аргументом является время. Вы находите комплексное время естественным?:) Хотя, конечно, геометрическая интерпретация наглядна. Впрочем, это все формула Эйлера, которая для электродинамики мне кажется даже более наглядной, чем ее геометрическое представление.
А еще интереснее с комплексными числами в КМ. В ней амплитуда вероятности является комплексным числом. Замечу, не вероятность, а амплитуда вероятности.

”Я подумала, что гипердействительные, может быть, можно приспособить для описания "свернутых" дополнительных измерений струнных теорий? Интересно, делались ли на самом деле подобные попытки?”
Я в этом не разбираюсь, но насколько понимаю, там все намного сложнее. В основном опирается на дифференциальную геометрию, т.е. на тот аппарат, который используется в ОТО.

[egovoru.livejournal.com]

Подозреваю, комплексные числа кажутся мне хорошо понятными просто потому, что мне никогда не приходилось их использвовать - не помню уже, но, кажется, в биофаковской физике их и не было. Но в любом случае самые интересные с философской точки зрения числа - конечно, действительные.

[skogar.livejournal.com]

-- Я подумала, что гипердействительные, может быть, можно приспособить для описания "свернутых" дополнительных измерений струнных теорий? Интересно, делались ли на самом деле подобные попытки?

Задавая такие вопросы, желательно понимать, чего хочется ждать от ответа. Поскольку струнные теории непроверяемые, то и любое творчество, связанное с их математическим содержанием, будет лишь абстрактным. Насколько я понимаю, уже существует немало разнообразных конструкций, каждая со своими достоинствами и недостатками; вероятно, расширив класс используемых математических объектов, можно напридумывать ещё и ещё. Будет много-много теорий - хороших и разных.

[egovoru.livejournal.com]

Как я поняла из очень пунктирного объяснения у Клайна, гипердействительные числа - это просто альтернативный способ построения анализа, не требующий привлечения понятия предела. То есть, они в любом случае применяются для решения тех задач, которые уже были решены другим способом, а не то что они позволяют решать задачи какого-то нового класса, ранее нерешаемые.

[skogar.livejournal.com]

Думаю, что всё несколько сложнее, хотя и примерно так, как Вы сказали. Чтобы решать задачи, надо их поставить в рамках уже готовой аксиоматики, то есть когда говорится о задаче, аксиоматика уже должна быть задана. Ищется не столько способ решать какие-то задачи, сколько (аксиоматическая) конструкция, которая даст более богатый набор содержательных результатов. Просто переводить результаты из одного формата в другой действительно не слишком интересно, важнее найти какие-то качественно новые возможности, которых не было до сих пор.

Я совсем мало знаком с нестандартным анализом, чтобы рассуждать о его особенностях и возможных преимуществах; навскидку кажется, что может быть их и нет. Однако в этом русле занимаются серьезные люди, и может быть когда-то прояснится, что они там накопали.

Мой предыдущий комментарий был о струнах, а там можно городить всё, что угодно :)

[egovoru.livejournal.com]

Думаю, Ваш довод, "занимаются серьезные люди", с тем же успехом применим и к струнным теориям?

[skogar.livejournal.com]

Отчасти. Если смотреть на результат, то успехов-то...