Я с детства не любил овал

[egovoru]

У Николая Кузанского была выразительная геометрическая метафора для иллюстрации отношения человеческого к божественному. Бог – это круг, идеальная фигура, а процесс познания подобен вписыванию в него серии многоугольников. По мере роста числа углов периметр многоугольника приближается к длине окружности, но никогда ее не достигает. Заменив слово «Бог» на слово «реальность», мы получим картинку, пригодную и как символ прогресса естествознания.

Но что, если мы будем приближаться к окружности не изнутри, а снаружи, и использовать не выпуклые многоугольники, а фигуры, ограниченные только прямыми углами? Зрительно наша фигура тоже будет все более походить на круг, но вот ее периметр будет всегда оставаться прежним – равным периметру исходного квадрата.

Этот парадокс привлек мое внимание еще в школе и вызывает восхищение по сей день: в забавном, однако, мире мы живем! А те, кто не считает науку адекватным способом познания, наверное, представляют себе ее как последовательность этих вырезных фигур с одинаковым периметром :)

Картинка содержит материалы вот этого и этого сайтов.

Comments

[a-gorb.livejournal.com]

”Ведь вырезная фигура действительно становится все более похожей на круг - иными словами, площадь "избыточной" ее части таки стремится к нулю, а вот периметр при этом не меняется. Мне это кажется удивительным, а?”
Такие построения возможны и в других случаях. Все-таки площадь и периметр штуки разные. Есть фигуры, у которых периметр бесконечен, а площадь конечна.
Кстати, эти оба построения удобно использовать совместно для вычисления числа Пи. Левое построение используется для установления связи периметра и площади круга, а правое построение гораздо удобнее для вычисления площади. Т.е., если бы мне потребовалось найти число Пи путем построения, то я бы воспользовался левой картинкой, да просто бы начертил окружность на бумажке в клетку. Построить левый рисунок гораздо сложнее. Левое построение вообще нужно если определять Пи через длину окружности, а вот если Пи определить через площадь, то достаточно только правого.:)

[egovoru.livejournal.com]

"Есть фигуры, у которых периметр бесконечен, а площадь конечна"

О, а что же это за фигуры - как такое может быть?

[vls-smolich.livejournal.com]

Фракталы?

[egovoru.livejournal.com]

Они. И у них удивительные вещи творятся с размерностью - см. наше обсуждение ниже.

[a-gorb.livejournal.com]

Это фракталы, среди которых наиболее известно множество Мандельброта.

[egovoru.livejournal.com]

А откуда следует, что у них конечная площадь, как это доказывается? Признаться, от меня и вообще ускользает, почему с фракталами так носятся - что в них такого уж поразительного?

[a-gorb.livejournal.com]

”А откуда следует, что у них конечная площадь, как это доказывается?”
Конечность площади – легко, т.к. можно найти фигуру с конечной площадью, но большей, чем площадь фрактала, грубо говоря, описать прямоугольник вокруг множества Мандельброта. А вот бесконечность периметра доказать сложнее, я даже не знаю как:)

”почему с фракталами так носятся - что в них такого уж поразительного?”
Несколько причин.
– сравнительно недавнее открытие.
– они могут имеют дробную размерность, т.е. и не одномерное, и не двухмерное (и не линия, и не поверхность), что довольно необычно и забавно.
– некоторые природные объекты хорошо моделируются фракталами, например, горы, береговая линия.
– с открытием динамического хаоса (хаотическое поведение строго детерминированных систем), геометрическим образом которого являются фракталы.
– это красиво.

[egovoru.livejournal.com]

"они могут имеют дробную размерность, т.е. и не одномерное, и не двухмерное (и не линия, и не поверхность), что довольно необычно и забавно"

Похоже, я очень плохо понимаю, что такое фракталы. Посмотрела на снежинку Коха (которую представлять себе проще, чем множество Мандельброта) и, наверное, поняла, как фигура может иметь бесконечную длину периметра и конечную плошадь: как бесконечная последовательность 1, 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. имеет предел.

А про дробную размерность все равно не поняла :( Наверное, тут нужно пользоваться неким строгим определением размерности и доказывать, что каждый конкретный фрактал имеет дробную размерность, интуитивно это не проходит. Tем более, что некоторые фракталы - например, ковер Серпинского - вроде бы не дробно-размерные (и такая же штука есть и трехмерная)?

[a-gorb.livejournal.com]

”поняла, как фигура может иметь бесконечную длину периметра и конечную плошадь: как бесконечная последовательность 1, 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. имеет предел.”
Да, примерно так.

”А про дробную размерность все равно не поняла :( Наверное, тут нужно пользоваться неким строгим определением размерности и доказывать, что каждый конкретный фрактал имеет дробную размерность, интуитивно это не проходит. Tем более, что некоторые фракталы - например, ковер Серпинского - вроде бы не дробно-размерные (и такая же штука есть и трехмерная)?”
Про ковер Серпинского не скажу, это фигура. А вот со снежинкой Коха проще. Уточню, что речь идет о ее границе (как и для множества Мандельброта). Граница – это линия. Для обычной линии положение какой либо точки можно задать, указав расстояние вдоль линии от некой точки, принимаемой за начальную. На плоскости надо указать два числа. Но у фрактала одного числа мало, т.к. между точками вдоль линии бесконечное расстояние, а двух чисел как бы много получается, т.к. очевидно, что эта линия не покрывает всю плоскость.
Строгое определение размерности – с этим проблема. Применительно к фракталам речь часто идет о размерности Хаусдорфа. Я сам это не слишком хорошо понимаю:(

[egovoru.livejournal.com]

"Про ковер Серпинского не скажу, это фигура"

Пишут, что у него размерность Хаусдорфа - вовсе не 2, а log₃8, т.е., <2. Этого я уж совсем не понимаю: что ли, какие-то места внутри остаются заведомо пустыми?

[a-gorb.livejournal.com]

”что ли, какие-то места внутри остаются заведомо пустыми?”
Похоже что так и есть. Ведь он, скажем так, сильно прорежен. Т.е. для плоскости его мало, а для линии – много.

[egovoru.livejournal.com]

По-видимому, точками ковра считаются только белые, а черные - это точки пустого пространства. А то, если бы они тоже принадлежали самому фракталу, как я первоначально восприняла эту картинку, то его размерность была бы 2, потому что каждая точка внутри внешнего квадрата - с неизбежностью либо черная, либо белая. Дробная же размерность просто означает, что некоторые места остаются черными даже при бесконечном "размножении". Но как приходят именно к такому логарифму для этого остатка, я не могу сообразить :(

[a-gorb.livejournal.com]

”Но как приходят именно к такому логарифму для этого остатка, я не могу сообразить :(”
Я тоже:) Нет, если понадобится, за несколько дней разберусь. Но вот просто так на это жалко времени.

[egovoru.livejournal.com]

"с открытием динамического хаоса (хаотическое поведение строго детерминированных систем)"

Об этих вещах у меня тоже самое смутное понятие. Но общее ощущение - много шума из ничего :( Ошибочное?

[a-gorb.livejournal.com]

”Но общее ощущение - много шума из ничего :( Ошибочное?”
Про шум – не скажу, да, в свое время (70-90-ые годы) это была модная тема. Сейчас – обычный инструмент.
Штука очень интересная сама по себе, действительно, выяснилось, что в очень простых строго детерминированных системах возможно хаотическое поведение. А хаос по существу означает, что с какой бы вы конечной точностью не задавали начальные условия, начиная с какого то момента будет невозможно предсказать поведение системы.
Это к вопросу о том, что «И даже не потому, что это принципиально невозможно, а потому, что это потребовало бы таких вычислительных мощностей, которые с гораздо большей пользой можно было бы употребить на что-нибудь другое, более содержательное ;)» Таким образом, если в системе имеет место быть динамический хаос, то при любых вычислительных возможностях рано или поздно теряется возможность предсказания ее поведения.
Таким образом, для описания поведения таких систем пришлось разрабатывать новые методы.
Тут и тут у меня небольшая заметка про динамический хаос.

[egovoru.livejournal.com]

"Таким образом, если в системе имеет место быть динамический хаос, то при любых вычислительных возможностях рано или поздно теряется возможность предсказания ее поведения"

Я имела в виду даже не столько динамический хаос, сколько то, что для описания поведения систем разного структурного уровня мы используем разные понятия - типа того, что индивидуальная молекула не обладает температурой, а газ - да.