Я с детства не любил овал

[egovoru]

У Николая Кузанского была выразительная геометрическая метафора для иллюстрации отношения человеческого к божественному. Бог – это круг, идеальная фигура, а процесс познания подобен вписыванию в него серии многоугольников. По мере роста числа углов периметр многоугольника приближается к длине окружности, но никогда ее не достигает. Заменив слово «Бог» на слово «реальность», мы получим картинку, пригодную и как символ прогресса естествознания.

Но что, если мы будем приближаться к окружности не изнутри, а снаружи, и использовать не выпуклые многоугольники, а фигуры, ограниченные только прямыми углами? Зрительно наша фигура тоже будет все более походить на круг, но вот ее периметр будет всегда оставаться прежним – равным периметру исходного квадрата.

Этот парадокс привлек мое внимание еще в школе и вызывает восхищение по сей день: в забавном, однако, мире мы живем! А те, кто не считает науку адекватным способом познания, наверное, представляют себе ее как последовательность этих вырезных фигур с одинаковым периметром :)

Картинка содержит материалы вот этого и этого сайтов.

Comments

[alek-morse.livejournal.com]

Квадратура круга и круговерть квадрата.

[egovoru.livejournal.com]

Если вписан круг в квадрат,
Он квадрату - младший брат.
Если круг вокруг квадрата,
Младший брат тогда - квадрат ;)

Углы твердят, что Круг неточен,
Углы твердят, что он порочен,
Что постоянно замкнут Круг,
Что недовольны все вокруг,
Что закругляться и дела
Ему сдавать пора пришла.

Многоугольник - это круг... (В пределе).
Уже когда он круг почти,
Число сторон его сочти -
Неделю будешь ты, мой друг, при деле.

(Александр Фрейфельд)

[alek-morse.livejournal.com]

Проверить гармонией алгебру? точнее, геометрию?

[barson.livejournal.com]

Интересно. Только, по-моему, оба способа можно использовать как "изнутри", так и "снаружи".

[egovoru.livejournal.com]

С описанными выпуклыми многоугольниками, конечно, происходит то же самое, что и со вписанными: а именно, их периметр постоянно уменьшается и стремится к длине окружности.

Но вот что касается вписывания прямоугольных фигур, иными словами - мощения круга квадратными плитками, то тут ситуация, кажется, сложнее. Может, Вы еще не настолько забыли геометрию, насколько я, и сможете решить задачу о том, что делается с периметром совокупности таких плиток внутри круга?

Вот здесь (http://gamedev.stackexchange.com/questions/72708/how-can-i-calculate-all-squares-within-r-in-a-natural-looking-manner) пытаются решить подобную задачу, но фигуры там не вписанные. Мне представляется, что периметр такой совокупности плиток внутри круга все же тоже растет и приближается к окружности, но математически-строго доказать это я не умею :(

[barson.livejournal.com]

Да, растёт, конечно. Если мы начинаем с квадрата, то, усложняя его, мы будем в числе прочего "прилеплять" к его сторонам прямоугольники. И периметр будет увеличиваться за счёт высоты этих прямоугольников.

[egovoru.livejournal.com]

Да, именно. Так что в этой ситуации не будет никакого парадокса: и площадь будет стремиться к плошади круга, и периметр - к длине окружности. А вот в случае, изображенном справа на моей картинке, площадь и периметр ведут себя принципиально по-разному.

Надо сказать, что исходно я обнаружила этот парадокс не на окружности, а на отрезке - а именно, гипотенузе прямоугольного треугольника - и там он еще нагляднее. Понятно, что гипитенуза - короче суммы длин двух катетов. Если же мы, пройдя немного по одному катету, повернем под прямым углом в сторону гипотенузы, а дойдя до нее, снова повернем под прямым углом и т.д., то кажется, что, чем меньше будут наши ступеньки, тем короче будет наш путь (потому что тем ближе эта зубчатая траектория будет проходить от гипотенузы) - когда на самом деле он все время будет оставаться равным сумме длин двух катетов!

[gg59.livejournal.com]

Отличный образ: если предположить, что наши познания превысят божеские - в своем объеме они завершены.

[egovoru.livejournal.com]

Кузанский, будучи не только богословом, но и математиком, избрал этот образ именно потому, что хорошо знал, что, каково бы ни было число сторон многоугольника, его периметр никогда не превысит длины описанной окружности ;)

Но при пиближении к этому пределу возникают другие проблемы:

Многоугольник - это круг... (В пределе).
Уже когда он круг почти,
Число сторон его сочти -
Неделю будешь ты, мой друг, при деле.

(Александр Фрейфельд)

[a-gorb.livejournal.com]

Суровые сибирские лесники обнаружили, что отношение обхвата дерева к его толщине примерно равно трем. (Анекдот)

Вы привели хороший пример об особенностях науки. Действительно, наука опирается на логику, а не на произвольные рассуждения или простые данные органов чувств.
Эти примеры демонстрируют то, что каждый раз надо доказывать, рассуждая логически. Тут мало простых интуитивных представлений. «Существенным достижением Коши является то, что он ясно осознал, что, поскольку дело касается математических понятий, всякая ссылка на интуитивное представление о непрерывном движении должна быть отброшена.» [Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика?] (речь идет как раз об определении предела)

[egovoru.livejournal.com]

"Действительно, наука опирается на логику, а не на произвольные рассуждения или простые данные органов чувств"

Только, заметьте, здесь ведь мы имеем дело не с наукой, а с математикой, т.е. с по определению дедуктивной системой ;) Разумеется, математика опирается на логику - ведь именно с помощью логики эта самая математическая дедукция и производится. Что же касается естествознания, то, увы, в нем и логика - не помощник. Скажем, по логике один и тот же объект никак не может быть и волной, и частицей - а вот поди ж ты ;)

Логика сама по себе - тоже ведь не откровение, а просто обобщеннный результат наших самых базовых наблюдений за миром. Поэтому в принципе возможны разные логические системы. Помните, Вы мне рассказывали про очень интересную такую систему, которая исходит не из двух, а из трех принципиальных состояний: есть, нет и неизвестно?

[a-gorb.livejournal.com]

”Только, заметьте, здесь ведь мы имеем дело не с наукой, а с математикой,”
Я рассматривал ваш пример как некую метафору, относящуюся ко всей науке.

”Что же касается естествознания, то, увы, в нем и логика - не помощник. Скажем, по логике один и тот же объект никак не может быть и волной, и частицей - а вот поди ж ты ;)”
Помощник, да еще какой. Многие вещи в естествознании были открыты сначала чисто теоретически, т.е. с помощью логики. Кстати многие из этих открытий были сделаны как раз в силу того, что надо было разрешить возникшие противоречия, типа волна-частица. (Если надо, то могу привести примеры.)

”Логика сама по себе - тоже ведь не откровение, а просто обобщеннный результат наших самых базовых наблюдений за миром.”
Разумеется. Поэтому (я повторяюсь) наука строится на основе уже имеющегося знания, которое используется для новых экспериментов (опытов, наблюдений), и все это вместе дает нам новое знание. В том-то и особенность науки, что ее построения не произвольны (как на правом рисунке), а основываются на имеющемся знании (как на левом).

[egovoru.livejournal.com]

"Я рассматривал ваш пример как некую метафору, относящуюся ко всей науке"

Мне кажется, что между естествознанием (в новоевропейском понимании) и математикой (а равно философией) - столь принципиальное методологическое различие, что называть все эти виды деятельности одним словом "наука" - сильно запутывает :(

"Многие вещи в естествознании были открыты сначала чисто теоретически, т.е. с помощью логики"

Конечно. Я же не говорю, что логика вообще не нужна ;) Я только говорю, что, если на клетке со львом написано "буйвол", не верь глазам своим. Иными словами, если по логике должно быть одно, а в реальности (эксперименте) получается другое - и мы по мере возможности исключили артефакты - то надо менять саму логику ;) Спаведливости ради, замечу, что, конечно, чаще всего оказывается, что кажущееся нарушение логики вызывал хитрый артефакт.

"В том-то и особенность науки, что ее построения не произвольны (как на правом рисунке), а основываются на имеющемся знании (как на левом)."

Не споря с тем, что научные построения не произвольны, все же замечу, что моя картинка иллюстрирует нечто другое: что интуиция - не всегда хороший помощник в геометрии!

[a-gorb.livejournal.com]

”Мне кажется, что между естествознанием (в новоевропейском понимании) и математикой (а равно философией) - столь принципиальное методологическое различие, что называть все эти виды деятельности одним словом "наука" - сильно запутывает :(”
Про философию не скажу. А вот с математикой особых проблем не вижу. Математика, конечно, отличается от естествознания. Но математика дает естествознанию готовый язык, готовые дедуктивные системы. Т.е. математика это язык науки, поэтому часть науки. Безусловно, у математики есть свои особенности, но у какой науки их нет:).

”Иными словами, если по логике должно быть одно, а в реальности (эксперименте) получается другое - и мы по мере возможности исключили артефакты - то надо менять саму логику ;)”
Обычно меняют не логику, а создают новую дедуктивную систему. Вообще говоря, этот путь не столь прямолинеен. Как правило бывает так. Создается некая логическая система, теория. Эта теория оказывается внутренне противоречивой, логически не обоснованной, противоречащей другим признанным теориям. Либо все это вместе, но уж что-то одно наверняка. Эти противоречия иногда сразу очевидны, иногда становятся понятны через некоторое время. Однако теория очень хорошо работает и на время эти противоречия игнорируются, заметаются под ковер. Кстати, школьное, да и вузовское образование очень поднаторело в такой подаче материала, когда противоречия делаются невидимыми. Я еще раз подчеркну, это не противоречия с новыми экспериментами, с соответствием экспериментам как раз все хорошо. Разумеется, если теория начинает вступать в противоречие еще и с экспериментом, то тут уж деваться совсем некуда, надо эти противоеречия устранять. И вот появляется некто, кто устраняет существующие противоречия, продвигая теорию вперед.

”что интуиция - не всегда хороший помощник в геометрии!”
Интуиция – не всегда хороший помощник в математике, нужны доказательства, которые нередко как раз интуитивно непонятны. Характерный пример: Кантор, когда доказал, что у отрезка столько же точек, сколько и у квадрата, написал «Я вижу это, но не верю этому»!

[a-gorb.livejournal.com]

”Мне кажется, что между естествознанием (в новоевропейском понимании) и математикой (а равно философией) - столь принципиальное методологическое различие, что называть все эти виды деятельности одним словом "наука" - сильно запутывает :(”
Про философию не скажу. А вот с математикой особых проблем не вижу. Математика, конечно, отличается от естествознания. Но математика дает естествознанию готовый язык, готовые дедуктивные системы. Т.е. математика это язык науки, поэтому часть науки. Безусловно, у математики есть свои особенности, но у какой науки их нет:).

”Иными словами, если по логике должно быть одно, а в реальности (эксперименте) получается другое - и мы по мере возможности исключили артефакты - то надо менять саму логику ;)”
Обычно меняют не логику, а создают новую дедуктивную систему. Вообще говоря, этот путь не столь прямолинеен. Как правило бывает так. Создается некая логическая система, теория. Эта теория оказывается внутренне противоречивой, логически не обоснованной, противоречащей другим признанным теориям. Либо все это вместе, но уж что-то одно наверняка. Эти противоречия иногда сразу очевидны, иногда становятся понятны через некоторое время. Однако теория очень хорошо работает и на время эти противоречия игнорируются, заметаются под ковер. Кстати, школьное, да и вузовское образование очень поднаторело в такой подаче материала, когда противоречия делаются невидимыми. Я еще раз подчеркну, это не противоречия с новыми экспериментами, с соответствием экспериментам как раз все хорошо. Разумеется, если теория начинает вступать в противоречие еще и с экспериментом, то тут уж деваться совсем некуда, надо эти противоеречия устранять. И вот появляется некто, кто устраняет существующие противоречия, продвигая теорию вперед.

”что интуиция - не всегда хороший помощник в геометрии!”
Интуиция – не всегда хороший помощник в математике, нужны доказательства, которые нередко как раз интуитивно непонятны. Характерный пример: Кантор, когда доказал, что у отрезка столько же точек, сколько и у квадрата, написал «Я вижу это, но не верю этому»!

[egovoru.livejournal.com]

"Т.е. математика это язык науки, поэтому часть науки"

Конечно, мы вольны дать науке любое определение, в том числе и такое, что в науку попадет и математика, и философия ;) Но, на мой взгляд, лучшего этого не делать; более подходящий универсальный термин здесь - "область знания". Наукой же, на мой взгляд, лучше называть только естествознание с его экспериментальным критерием истины (который неприменим ни в математике, ни в философии). Что, по-моему, нисколько не умаляет роль математики в науке :)

"Эти противоречия иногда сразу очевидны, иногда становятся понятны через некоторое время"

Да, так, конечно, тоже бывает. И мы стараемся по мере сил избавляться от теорий, в которых выявляется внутренняя противоречивость.

[egovoru.livejournal.com]

Но главное в этой правой картинке - не предупреждение об опасности полагаться на интуицию, а выявляемая ею парадоксальность самого мира математических объектов (а может, и реального мира?). Ведь вырезная фигура действительно становится все более похожей на круг - иными словами, площадь "избыточной" ее части таки стремится к нулю, а вот периметр при этом не меняется. Мне это кажется удивительным, а?

[a-gorb.livejournal.com]

”Ведь вырезная фигура действительно становится все более похожей на круг - иными словами, площадь "избыточной" ее части таки стремится к нулю, а вот периметр при этом не меняется. Мне это кажется удивительным, а?”
Такие построения возможны и в других случаях. Все-таки площадь и периметр штуки разные. Есть фигуры, у которых периметр бесконечен, а площадь конечна.
Кстати, эти оба построения удобно использовать совместно для вычисления числа Пи. Левое построение используется для установления связи периметра и площади круга, а правое построение гораздо удобнее для вычисления площади. Т.е., если бы мне потребовалось найти число Пи путем построения, то я бы воспользовался левой картинкой, да просто бы начертил окружность на бумажке в клетку. Построить левый рисунок гораздо сложнее. Левое построение вообще нужно если определять Пи через длину окружности, а вот если Пи определить через площадь, то достаточно только правого.:)

[vls-smolich.livejournal.com]

"А те, кто не считает науку адекватным способом познания, наверное, представляют себе ее как последовательность этих вырезных фигур с одинаковым периметром".

А может, они мыслят в метафорах совершенно другой геометрии?
Не тех, которые можно изобразить на плоскости. Кто его знает, сколько в мире существует измерений.

[egovoru.livejournal.com]

"Кто его знает, сколько в мире существует измерений"

Струнная теория говорит - одиннадцать ;)

[vls-smolich.livejournal.com]

Это пока она говорит, что одиннадцать.
А вот что она запоёт, когда мы на этих струнах заиграем... :)

[almakedonskij.livejournal.com]

в конце рабочей 6-ти дневки, как-то совсем сконцентрироваться не совсем могу. Видимо гуманитарное образование дает тоже о себе знать. Но со спокойной головой и свежей надо еще раз прочесть )

[egovoru.livejournal.com]

Специального математического образования тут, к счастью, не требуется - гуманитарного вполне хватит ;) Меня этот парадокс занимает с детства, но сама я его обнаружила не на окружности, а на отрезке - конкретно, гипотенузе.

Ясно, что путь по гипотенузе - короче пути по двум катетам. Но что, если мы, не дойдя до конца одного катета, а только, скажем, до его середины, свернем, под прямым же углом, в сторону гипотенузы, а потом продолжим путь паралельно другому катету?

То есть, будем идти зигзагообразным путем, который, за счет увеличения числа поворотов, можно сделать сколь угодно близким к гипотенузе (площадь, ограниченная этим новым путем и ею, будет стремиться к нулю)? Парадокс заключается в том, что, хотя эта площадь и будет бесконечно уменьшаться по мере роста числа звеньев пути, его длина будет всегда оставаться равной сумме длин катетов. По-моему, это страшно забавно, а?

[almakedonskij.livejournal.com]

забавно. но если все же следовать слову "реальность", то процесс познания все равно не будет приближаться к кругу. Закон Мура в действии тут и относительно знаний )) и уж точно за пределы не выйдет )

[egovoru.livejournal.com]

"то процесс познания все равно не будет приближаться к кругу"

Наверное, тут важно заранее определить, что мы согласны называть "знанием" и как его измерять. Для меня знание - это способность предсказывать поведение мира; и в этом деле мы вроде бы достигли неплохих успехов по сравнению с теми временами, когда мы жили в пещерах? А что Вы понимаете под "знанием" ("познанием")?

И что такое "закон Мура"?