Пусть Лобачевского кривые украсят города

[egovoru]

В первой книжке Шона Кэрролла из серии «Величайшие идеи» я нашла ответ на давно занимавший меня вопрос: почему человечеству потребовалось так много времени, чтобы додуматься до неэвклидовых геометрий, хотя пример неэвклидовой поверхности – сфера – болталась у него перед глазами еще с древнейших времен? Да потому, объясняет Кэрролл, что все, что нам нужно от сферы, легко подсчитать в эвклидовом трехмерном пространстве, и заморачиваться с какой-то особой геометрией не было никакой нужды.

Сбитая с толку изображениями седел в описаниях геометрии Лобачевского, я не знала, что поверхность с постоянной отрицательной кривизной невозможно вместить в эвклидово трехмерное пространство (отрицательная кривизна поверхности седла разная в разных точках). Так что геометрия Лобачевского – это геометрия полностью воображаемых объектов, а не идеальных версий объектов реально существующих, как геометрия Эвклида. A посему гиперболическую геометрию действительно можно считать «концептуальным скачком» в истории математики, как называет ее Кэрролл.

А вот как представляют себе Лобачевского и его геометрию композитор Ильдар Камалов и хореограф Наиль Ибрагимов (фрагмент балета «Моя Казань» в исполнении артистов камерной труппы «Пантера»)

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категории: Наука (https://www.livejournal.com/category/nauka?utm_source=frank_comment).
Если вы считаете, что система ошиблась — напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

[egovoru.livejournal.com]

Нет, Фрэнк - это математика!

[greygreengo.livejournal.com]

Экспонента и логарифмические функции, как и всякие шинусы-кошинусы, появились в классифицированном виде только в бытность изобретения логарифмов Непером и эпохи открытий Эйлера. Поэтому можно утверждать, что Лобачевский стоял на плечах старого слепого и седого гиганта.

[egovoru.livejournal.com]

"Лобачевский стоял на плечах старого слепого и седого гиганта"

Это кого же Вы имеете в виду?

[egovoru.livejournal.com]

Кэрролл, кстати, пишет, что гиперболическую геометрию изобрел Гаусс - точнее, что тот утверждал, что ее изобрел:

"Gauss, who was famously slow to write up his results, also claimed to have invented hyperbolic geometry before Lobachevsky and Bolyai. But he never published anything about it, and you don’t get credit for good ideas you keep to yourself."

[xgrbml.livejournal.com]

Очень странные утверждения Вы цитируете.

Неевклидовы геометрии, до которых додумались в 20е годы XIX века, были ответом вовсе не на предложение "придумать какую-нибудь геометрию, отличающуюся от геометрии Евклида", но на вопрос "возможна ли геометрия, отличающаяся от геометрии Евклида только тем, что в ней не выполняется пятый постулат?". От сферы для ответа на этот вопрос толку, как от козла молока.

Ну и о моделях неевклидовой геометрии у Лобачевского и его современников речи не было.

[jak40.livejournal.com]

"...что в ней не выполняется очень уж странный пятый постулат".

[egovoru.livejournal.com]

"От сферы для ответа на этот вопрос толку, как от козла молока"

Да, в сферической геометрии не выполняются и другие эвклидовы постулаты: даже если мы заменим "прямую" на "геодезическую", все равно ее нельзя будет "бесконечно продолжать. Но мне и у других авторов приходилось читать, что постепенный поворот от представления о математике как инструмента для количественного описания физического мира к представлению о математике как об исследовании своего собственного мира математических объектов, не обязательно имеющего какое-то отношение к миру физическому, начался именно с неэвклидовых геометрий. Разве это не так?

[e2pii1.livejournal.com]

Есть же модели геометрии Лобачевского с кругами, и вроде с полу-плоскостью. Надо лишь объявить "прямыми из аксиом" некие другие линии (полу-окружности, хорды и.т.д.).

Сейчас этот ход тривиальным кажется, но удивительно, что 200 лет назад тут видимо был высокий психологический барьер.

Так же как удобную современную алгебраическую нотацию с "x" придумал математик работавший шифровальщиком в армии, для него было естественно одну букву другой заменять. А другие математики до него столетиями не могли додуматься.

[wkapustin.livejournal.com]

-- я не знала, что поверхность с постоянной отрицательной кривизной невозможно вместить в эвклидово трехмерное пространство

Говорят, что можно.

[blacksquare0.livejournal.com]

Когда говорят, что поверхность с постоянной отрицательной кривизной невозможно вместить в трехмерное евклидово пространство, имеется в виду вместить так, чтобы расстояния между точками сохранялись. Это утверждение теоремы Гильберта. А реализовывать без сохранения расстояний неинтересно: это ничего не даёт, так как при этом нельзя использовать ни нашу евклидову интуицию, ни результаты евклидовой геометрии. С поверхностью постоянной положительной кривизны -- другое дело: сфера вкладывается в трехмерное пространство с сохранением расстояний.

[egovoru.livejournal.com]

К счастью, Вам уже ответил профессиональный математик, а то для меня статья по Вашей ссылке слишком сложна :(

[alex-new-york.livejournal.com]

Город с лабиринтом улиц — хороший пример геометрии с отрицательной кривизной: если попытаться обойти окружность заданного радиуса R, то выяснится, что ее длина будет ощутимо больше 2*Pi*R из-за вынужденных зигзагов

A на поверхности мячика, наоборот, длина окружности меньше 2*Pi*R. Кривизна положительная

[egovoru.livejournal.com]

На поверхности мячика - понятное дело (для больших расстояний на поверхности Земли тоже используют сферическую геометрию). Но вот зигзаги прямых улиц - это все же только приближение к окружности :)

[xxxxx.livejournal.com]

нет, плохой пример. Даже совсем не пример

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Как пишут Ровелли и Вейль, неевклидова геометрия была уже у Данте. Надо было только присмотреться:

http://blog.rudnyi.ru/ru/2018/07/neevklidova-geometriya-dante.html

[egovoru.livejournal.com]

Очень интересно, спасибо! Но ведь трехмерная сфера - это нечто ограниченное (как и обычная двумерная сфера), а, насколько я понимаю, современные астрофизики не берутся отвечать на вопрос, ограничен ли физический мир? Во всяком случае, Ли Смолин не берется - в каком-то интервью ему задали такой вопрос. А кто конкретно считает, что физический мир - это трехмерная сфера?

[jak40.livejournal.com]

"Так что геометрия Лобачевского – это геометрия полностью воображаемых объектов, а не идеальных версий объектов реально существующих, как геометрия Эвклида"
- стало известно об "эвклидовости" реально существующих объектов?
Прошу прощения за иронию, очень надеюсь, что она относится к Кэрроллу.

[egovoru.livejournal.com]

Эвклидова геометрия имеет дело с идеалами (платоническими формами?) реально существующих объектов, разве нет? Она ведь и возникла для облегчения землемерных работ.

[amin-abu-kitab.livejournal.com]

Ну блин вы даёте... Вы Лобачевского вообще читали или так, по наслышке?

[egovoru.livejournal.com]

В чем именно я ошиблась?

[xxxxx.livejournal.com]

учитывая полную бессмысленность сочетания «кривая Лобачевского», единственная возможная интерпретация заголовка: «какие-то кривые города вдруг украсят Лобачевского», ну пусть — одобряю!

[egovoru.livejournal.com]

Ну, Хлебников вообще-то был ведь математиком по образованию, к тому же учился не где-нибудь, а в Казанском университете - том самом, где работал Лобачевский (оказывается, он даже ректором там был - Лобачевский, не Хлебников!).

А у Хлебникова в той же поэме есть еще и пространство Лобачевского:

Высокой раною болея,
Снимая с зарева засов,
Хватай за ус созвездье Водолея,
Бей по плечу созвездье Псов!
И пусть пространство Лобачевского
Летит с знамен ночного Невского.
Это шествуют творяне,
Заменивши Д на Т,
Ладомира соборяне
С Трудомиром на шесте.
Это Разина мятеж,
Долетев до неба Невского,
Увлекает и чертеж,
И пространство Лобачевского.

:)

[a-konst.livejournal.com]

Странно, что еще никто не написал, и неужели меня глючит, но я точно помню, что нам говорили, что кусочек плоскости Л. точно можно вложить в трехмерное евклидово пространство, так чтобы локальная кривизна была отрицательна и постоянна.

Да, поверхность получается не бесконечной, но локально у нее постоянная кривизна.

[wkapustin.livejournal.com]

Здешнее обсуждение воскрешает в памяти давно забытое...

[nil-0.livejournal.com]

Геометрия Лобачевского — это геометрия пространства скоростей в теории относительности.

Получается из геометрии Минковского как геометрия на псевдосфере с времениподобным радиусом.

[egovoru.livejournal.com]

Да, Кэрролл потому и упоминает ее. Его книжка называется "Величайшие идеи во Вселенной: пространство, время и движение", и в ней он, в том числе, рассказывает о теории относительности.

[ald1976.livejournal.com]

Трехмерное пространство - такой же воображаемый объект. Его "реальность" только в том, что оно хорошо напоминает геометрию реального мира.

А многомерное пространство вполне себе реально, кошелек с 4-мя валютами - уже вполне себе элемент реального 4-х мерного пространства, где тут надуманность и вымышленность?

Так что реальность/не реальность - просто дело привычки. Чем меньше людей чем-то занимается - тем более нереальным это кажется. А с трехмерным пространством всех еще в начальной школе ознакомили.

[egovoru.livejournal.com]

"Трехмерное пространство - такой же воображаемый объект"

Конечно. Любая теоретическая конструкция, математическая или нет - воображаемый (абстрактный) объект.