Пусть Лобачевского кривые украсят города

[egovoru]

В первой книжке Шона Кэрролла из серии «Величайшие идеи» я нашла ответ на давно занимавший меня вопрос: почему человечеству потребовалось так много времени, чтобы додуматься до неэвклидовых геометрий, хотя пример неэвклидовой поверхности – сфера – болталась у него перед глазами еще с древнейших времен? Да потому, объясняет Кэрролл, что все, что нам нужно от сферы, легко подсчитать в эвклидовом трехмерном пространстве, и заморачиваться с какой-то особой геометрией не было никакой нужды.

Сбитая с толку изображениями седел в описаниях геометрии Лобачевского, я не знала, что поверхность с постоянной отрицательной кривизной невозможно вместить в эвклидово трехмерное пространство (отрицательная кривизна поверхности седла разная в разных точках). Так что геометрия Лобачевского – это геометрия полностью воображаемых объектов, а не идеальных версий объектов реально существующих, как геометрия Эвклида. A посему гиперболическую геометрию действительно можно считать «концептуальным скачком» в истории математики, как называет ее Кэрролл.

А вот как представляют себе Лобачевского и его геометрию композитор Ильдар Камалов и хореограф Наиль Ибрагимов (фрагмент балета «Моя Казань» в исполнении артистов камерной труппы «Пантера»)

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Здравствуйте!
Система категоризации Живого Журнала посчитала, что вашу запись можно отнести к категории: Наука (https://www.livejournal.com/category/nauka?utm_source=frank_comment).
Если вы считаете, что система ошиблась — напишите об этом в ответе на этот комментарий. Ваша обратная связь поможет сделать систему точнее.
Фрэнк,
команда ЖЖ.

[greygreengo.livejournal.com]

Экспонента и логарифмические функции, как и всякие шинусы-кошинусы, появились в классифицированном виде только в бытность изобретения логарифмов Непером и эпохи открытий Эйлера. Поэтому можно утверждать, что Лобачевский стоял на плечах старого слепого и седого гиганта.

[xgrbml.livejournal.com]

Очень странные утверждения Вы цитируете.

Неевклидовы геометрии, до которых додумались в 20е годы XIX века, были ответом вовсе не на предложение "придумать какую-нибудь геометрию, отличающуюся от геометрии Евклида", но на вопрос "возможна ли геометрия, отличающаяся от геометрии Евклида только тем, что в ней не выполняется пятый постулат?". От сферы для ответа на этот вопрос толку, как от козла молока.

Ну и о моделях неевклидовой геометрии у Лобачевского и его современников речи не было.

[wkapustin.livejournal.com]

-- я не знала, что поверхность с постоянной отрицательной кривизной невозможно вместить в эвклидово трехмерное пространство

Говорят, что можно.

[alex-new-york.livejournal.com]

Город с лабиринтом улиц — хороший пример геометрии с отрицательной кривизной: если попытаться обойти окружность заданного радиуса R, то выяснится, что ее длина будет ощутимо больше 2*Pi*R из-за вынужденных зигзагов

A на поверхности мячика, наоборот, длина окружности меньше 2*Pi*R. Кривизна положительная

[blacksquare0.livejournal.com]

Когда говорят, что поверхность с постоянной отрицательной кривизной невозможно вместить в трехмерное евклидово пространство, имеется в виду вместить так, чтобы расстояния между точками сохранялись. Это утверждение теоремы Гильберта. А реализовывать без сохранения расстояний неинтересно: это ничего не даёт, так как при этом нельзя использовать ни нашу евклидову интуицию, ни результаты евклидовой геометрии. С поверхностью постоянной положительной кривизны -- другое дело: сфера вкладывается в трехмерное пространство с сохранением расстояний.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Как пишут Ровелли и Вейль, неевклидова геометрия была уже у Данте. Надо было только присмотреться:

http://blog.rudnyi.ru/ru/2018/07/neevklidova-geometriya-dante.html

[jak40.livejournal.com]

"...что в ней не выполняется очень уж странный пятый постулат".

[jak40.livejournal.com]

"Так что геометрия Лобачевского – это геометрия полностью воображаемых объектов, а не идеальных версий объектов реально существующих, как геометрия Эвклида"
- стало известно об "эвклидовости" реально существующих объектов?
Прошу прощения за иронию, очень надеюсь, что она относится к Кэрроллу.

[egovoru.livejournal.com]

Нет, Фрэнк - это математика!

[egovoru.livejournal.com]

"Лобачевский стоял на плечах старого слепого и седого гиганта"

Это кого же Вы имеете в виду?

[egovoru.livejournal.com]

"От сферы для ответа на этот вопрос толку, как от козла молока"

Да, в сферической геометрии не выполняются и другие эвклидовы постулаты: даже если мы заменим "прямую" на "геодезическую", все равно ее нельзя будет "бесконечно продолжать. Но мне и у других авторов приходилось читать, что постепенный поворот от представления о математике как инструмента для количественного описания физического мира к представлению о математике как об исследовании своего собственного мира математических объектов, не обязательно имеющего какое-то отношение к миру физическому, начался именно с неэвклидовых геометрий. Разве это не так?

[egovoru.livejournal.com]

К счастью, Вам уже ответил профессиональный математик, а то для меня статья по Вашей ссылке слишком сложна :(

[egovoru.livejournal.com]

На поверхности мячика - понятное дело (для больших расстояний на поверхности Земли тоже используют сферическую геометрию). Но вот зигзаги прямых улиц - это все же только приближение к окружности :)

[greygreengo.livejournal.com]

Эйлера. Я вроде о нем упомянул.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо за разъяснение, а то для меня статья по ссылке wkapustin'а, увы, слишком сложна. Сохранение расстояний между точками - это, надо думать, то, что называется "изометрическим" погружением, а вот что такое "гладкое" погружение?

[egovoru.livejournal.com]

А он разве слепой был? Да и седым, наверное, он стал не сразу :)

[egovoru.livejournal.com]

Очень интересно, спасибо! Но ведь трехмерная сфера - это нечто ограниченное (как и обычная двумерная сфера), а, насколько я понимаю, современные астрофизики не берутся отвечать на вопрос, ограничен ли физический мир? Во всяком случае, Ли Смолин не берется - в каком-то интервью ему задали такой вопрос. А кто конкретно считает, что физический мир - это трехмерная сфера?

[greygreengo.livejournal.com]

Последние работы практически в уме выводил и диктовал.

[egovoru.livejournal.com]

Эвклидова геометрия имеет дело с идеалами (платоническими формами?) реально существующих объектов, разве нет? Она ведь и возникла для облегчения землемерных работ.

[egovoru.livejournal.com]

Вон оно что! Я не замечала, что и на известных портретах его рисуют кривым на правый глаз; а на левом у него потом образовалась катаракта.

[alex-new-york.livejournal.com]

Городские зигзаги, как бы не мельчали, в плане длины к окружности не приближаются, даже по мере уменьшения радиуса. В этом смысле город обладает не просто отрицательной кривизной, а бесконечно отрицательной

[egovoru.livejournal.com]

Да, у меня даже есть пост об этом (https://egovoru.livejournal.com/81994.html) :)

Справедливости ради должна сказать, что самостоятельно я додумалась до этого парадокса не на примере окружности, а на примере гипотенузы и катетов. Если вместо катетов мы будем двигаться из одного конца гипотенузы к другому, совершая все большее число поворотов под прямым углом, этаким зигзагом, то наш путь вроде бы будет все больше и больше походить на гипотенузу, но его длина будет оставаться суммой длин катетов, сколько поворотов бы мы ни делали. Этот феномен чрезвычайно занимал меня в детстве, занимает и сейчас. Понятно, что ощущение "приближения к гипптенузе" создается у нас за счет того, что площадь, ограниченная ею и нашим зигзагообразным путем, стремится к нулю, но все равно есть нечто поразительное в том, что длина зигзагообразного пути при этом не меняется, правда?

[alex-new-york.livejournal.com]

Для глаз это выглядит как парадокс, но для ног это совершенно очевидный факт 😊

[egovoru.livejournal.com]

Да :)