Клеанту ум вскружил Платон – мечтал ежеминутно он

[egovoru]

Среди современных физиков Карло Ровелли – один из самых философски ориентированных, так что он, конечно, понимает, что платонизм нельзя опровергнуть логически или экспериментально – как и любую другую онтологическую позицию. Тем не менее, он посчитал нужным опубликовать свои соображения против математического платонизма – представления, что математические структуры существуют независимо от нашего сознания, а мы только открываем их, как новые материки или виды животных.

Предположим, такой платонический мир объективных математических идей существует, начинает Ровелли – из чего же он тогда состоит? Понятно, что он не может органичиваться только уже известными нам аксиомами и теоремами, а должен содержать все возможные теоремы, логически следующие из всех возможных аксиом. Для наглядности Ровелли сравнивает его с той глыбой мрамора, из которой Микеланджело собирался убрать все лишнее, чтобы высечь статую, и с вавилонской библиотекой Борхеса. Проблему Ровелли видит в слишком большом числе элементов в этом множестве и в полной бесполезности для нас подавляющего большинства из них.

Но я усомнилась в самой правомочности такого уподобления. Глыба мрамора – коллекция конечного числа атомов (обозначим его N), а число всех возможных статуй, которые можно изготовить из этой глыбы, равное 2^N – тоже конечно. Книги в библиотеке Борхеса используют только один алфавит из 25 знаков и имеют определенную конечную длину. Таким образом, общее число книг в этой библиотеке огромно, но тоже конечно – 25^1312000. А вот можем ли мы сказать то же самое о мире математических идей? Очевидно, нет: никакого органичения числа используемых символов там быть не может, равно как и ограничения длины записи. То есть, множество символов в платоническом мире по меньшей мере счетно, а число всех их возможных комбинаций – по меньшей мере 2^ℵ₀.

Ровелли утверждает (и я с ним согласна), что математика, как и искусство скульптора – это не составление списка всех 2^ℵ₀ возможностей, а выбор некоторых из них, и этот выбор обусловлен конкретными условиями нашей жизни. Вот пара примеров, предлагаемых автором. Если бы мы жили на планете меньшего размера, кривизна поверхности которой больше бросалась бы нам в глаза, то вряд ли мы бы начали с евклидовой геометрии – это была бы сферическая. А если бы мы жили на жидком Юпитере, то нам не пришла бы в голову идея натуральных чисел – просто потому, что там нечего было бы пересчитывать, и наша математика была бы математикой непрерывности. Но вот вопрос, который Ровелли оставляет за кадром: а возможна ли жизнь на маленьких или жидких планетах – причем жизнь, способная к математике?

Продолжая тему, Кит Девлин объясняет, почему математика –
не такое уж верное средство для установления контакта с инопланетными разумными существами, буде они обнаружатся

Comments

[egovoru.livejournal.com]

Почитала немного "Доказательства и опровержения" - занятно, но до конца я такую штуку вряд ли осилю. Понятно, чего хотел автор: воспроизвести, так сказать, "в пробирке" естественный (исторический) ход коллективной математической мысли. Но получившийся текст - просто иллюстрация, а не осмысление этого процесса. Вот этот пересказ (http://hps.elte.hu/~kutrovatz/LakatosEng.pdf) представлений Лакатоша больше похож на такое осмысление.

[xgrbml.livejournal.com]

Есть там и осмысление. Но и пересказ интересен.

Эта книжка писалась в тот момент, когда математики находились в эйфории в связи с успехом деятельности Бурбаки. Андре Вейль (один из основателей этой группы и великий математик) в это время высказался следующим образом: "Раньше вопрос ставился так: строго доказан некоторый факт или нет? А сейчас мы спрашиваем просто: доказан он или нет?"

Ну вот Лакатош продемонстрировал, что все хитрее.

[egovoru.livejournal.com]

Во введении он критикует программу Гилберта:

"Такая абстракция была придумана Гилбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и её развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной логики и решения математических задач.

Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с её метаматематической абстракцией (а философию математики — с метаматематикой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчётливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937) 2. Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки…, но (в) «логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки»…, (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метаматематикой."

Я не уверена, что понимаю, что такое "метаматематика" и "содержательная математика", но суть этой критики мне ясна. Мне кажется, она хорошо проиллюстрирована Рис. 1 в статье-комментарии этого Кутроваца: математика представляет собой не "эвклидову систему", а "квази-эмпирическую систему" знания.

У Гилберта же и других формалистов меня удивляет вера в непогрешимость логики, в то время как ее законы точно так же ситуативно-обусловлены (то есть, зависят о устройства наших мозгов и условий нашего существования), как и математика.