Мы всходим на корабль – и происходит встреча

[egovoru]

Если Аристотель не признавал актуальной бесконечности, это еще не значит, что она была вовсе чужда грекам: вспомним хотя бы Анаксимандра с его апейроном или Абсолют неоплатоников. Надо полагать, идея бесконечного христианского Бога – тоже в основе своей греческая: сама концепция бесконечности требует достаточно развитой традиции абстрактного мышления. Христианизация сделала понятие божественной актуальной бесконечности привычным для европейского ума. Но возникло два вопроса: (1) реализуется ли бесконечность в творении, т.е., в природе? (2) способен ли человеческий ум постичь бесконечность? Как пишет В.Н. Катасонов в интереснейшей книжке, рекомендованной мне уважаемым verum_corpus, мнения разделились.

Огюстен Коши, автор первого вменяемого определения предела, категорически отрицал и первое, и второе. Спиноза, наделявший природу атрибутами Бога, верил, что всякая субстанция необходимо бесконечна, но мы не можем постичь эту бесконечность своим разумом. Неотомист Константин Гутберлет, пытавшийся найти математические основания бытия Бога, придерживался противоположной точки зрения. А вот человеком, решительно провозгласившим «да!» в ответ на оба вопроса, был Георг Кантор.

Кантор настаивал, что «сущность математики состоит в ее свободе». Но эта свобода не означала произвола – в качестве одного из эпиграфов к своему главному труду Кантор выбирает высказывание Фрэнсиса Бэкона: «Мы приписываем законы разуму или вещам не по нашему произволу, а, как добросовестные писцы, слушаем и записываем то, что дает и диктует нам голос природы». По Кантору, предметом математики могут служить любые возможные – то есть, логически непротиворечивые – конструкции. Но непротиворечивость означала для Кантора лишь то, что противоречий не обнаружено – мысль, что непротиворечивость надо специально доказывать, еще не проникла в сознание математиков.

Все, что непротиворечиво, считал Кантор, существует в уме Бога. В духе схоластической традиции он решил, что его теория множеств открывает новые смыслы в Священном писании, а последовательность трансфинитных чисел представлялась ему лестницей к Богу – что, конечно, не могло не обеспокоить церковные авторитеты. В конце жизни Кантор дошел до того, что стал оспаривать непорочное зачатие Иисуса Христа и объявил его плотским сыном Иосифа, которого считал воплощением Бога Отца.

Также вполне еретически Кантор считал, что Бог создал все, что мог помыслить, а свою теорию множеств видел фундаментом естествознания, «теорией всего». Тварный мир представлялся ему состоящим из актуально бесконечного числа непротяженных элементов двух сортов: телесных и эфирных. Множество телесных элементов обладает мощностью счетного множества, алеф ноль, а мощность множества эфирных элементов – следующий за ним алеф один.

Для множеств мощности алеф ноль и алеф один Кантор нашел разложения в сумму более простых множеств разной «плотности». Он надеялся, что агрегатные состояния вещества, свет и тепло, электричество и магнетизм суть не что иное, как проявления свойств этих простых множеств. То есть, Кантор попытался воскресить пифагорейское представление «Числу все вещи подобны» на новом витке диалектической спирали.

Мемориальная доска на доме 24 по 11-й линии Васильевского острова
в Санкт-Петербурге (фото с сайтов 2GIS и GradPetra)

Comments

[egovoru.livejournal.com]

Я сама, конечно - ни ухом, ни рылом в таких вопросах, но вот что пишут здесь (https://www.quantamagazine.org/to-settle-infinity-question-a-new-law-of-mathematics-20131126/):

"Proponents of V=ultimate L say that establishing an absence of infinities between the integers and the continuum promises to bring order to the chaos of infinite sets, of which there are, unfathomably, an infinite variety. But the axiom may have minimal consequences for traditional branches of mathematics.

<...>

Meanwhile, forcing axioms, which deem the continuum hypothesis false by adding a new size of infinity, would also extend the frontiers of mathematics in other directions. They are workhorses that regular mathematicians “can actually go out and use in the field, so to speak,” Moore said. “To me, this is ultimately what foundations [of mathematics] should be doing.”"

То есть, похоже, есть люди, настаивающие на отвержении континуум-гипотезы, потому что это открывает какие-то новые горизонты?

[skogar.livejournal.com]

Это тесно связано с интуитивностью / контринтуитивностью аксиомы детерминированности. Сыграть может там, где нужна аксиома выбора, но надо аккуратно разбираться уже с конкретными вопросами.

[egovoru.livejournal.com]

Вики пишет так:

"Сторонники отмечают также, что теория множеств на основе аксиомы детерминированности более согласована с математической интуицией, чем на основе аксиомы выбора[2][4]."

Что вроде бы подразумевает, что у всех математиков одинаковая интуиция, а разве это так?

[skogar.livejournal.com]

Интуиции бывают разными, в том числе у особо творческих личностей они могут быть и странноватыми.
Конкретно про аксиому детерминированности у меня пока нет интуиций, я о ней просто никогда не задумывался, но может быть вот повод для этого и появился.

[egovoru.livejournal.com]

А насколько широко она обсуждается?

[skogar.livejournal.com]

Как мне кажется, она почти не обсуждается.
Лично мне нравится затея, чтобы найти что-нибудь вместо аксиомы выбора. Сама АВ звучит очень неплохо (по сравнению хотя бы с той же АД), однако из неё вытекает кое-что несусветное.

[xgrbml.livejournal.com]

Людей есть много разных :) Если отжать из этого текста риторику, то получится то, что я написал выше. Что бы ни говорил Moore, факт есть факт: сегодня у математиков более чем достаточно интересных задач, для которых ни CH, ни ее отрицание не релевантны. Может быть, через десятилетия ситуация изменится - этого нам, разумеется, знать не дано, но и гадать бессмысленно

[skogar.livejournal.com]

Добавление отрицания континуум-гипотезы наверняка навредит там, где требуется аксиома выбора в общей форме. Кстати, даже и со счётным выбором как будто тоже не всё понятно.

[xgrbml.livejournal.com]

Нет, не навредит ни в коей мере,. Отрицание CH совместимо с ZFC.

[skogar.livejournal.com]

Да, если к ZFC добавляется отрицание CH. Я же переключился на случай, когда ищется что-то вместо аксиомы выбора, тогда как речь шла не об этом.

[egovoru.livejournal.com]

"сегодня у математиков более чем достаточно интересных задач, для которых ни CH, ни ее отрицание не релевантны"

Но сам по себе вопрос ведь достаточно интересный, разве нет? Вон Гилберт даже присвоил ему почетный номер один в своем списке :)

[xgrbml.livejournal.com]

123 года назад он был интересным. Но жизнь на месте не стоит, за это время в математике много чего произошло, люди много чего узнали...

Популяризаторы науки по понятным причинам этого в большинстве случаев не замечают и называют актуальными вопросы, которые были актуальными давным-давно. Этот временной лаг важно учитывать.

Кстати, этот самый "список" - а точнее, доклад Гильберта - выглядит не так, как обычно думают. Подавляющее большинство "проблем Гильберта" - не четко поставленная задача, а указание на такой-то раздел математики со словами "в этом разделе есть интересные задачи, что-нибудь вроде того-то или того-то или, скажем, того-то". Так и первая проблема устроена, там рядом с проблемой континуума (и наравне с ней) еще один вопрос указан, который сегодня вызывает лишь улыбку.

В итоге с на сегодняшний день с проблемой континуума хорошо разобрались, вопрос из первой проблемы, стоявший рядом с ней вопрос оказался наивно-бессмысленным, первая проблема Гильберта сыграла важную роль, т.к. стимулировала интересный исследования - и отошла в прошлое.

[egovoru.livejournal.com]

"там рядом с проблемой континуума (и наравне с ней) еще один вопрос указан, который сегодня вызывает лишь улыбку"

А что же это был за вопрос? Вики, увы, приводит только краткую формулировку (гипотеза континуума). А еще в Вики есть занятная статья (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D1%8B%D0%B5_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D1%8B) про современные нерешенные проблемы математики - и их там немало! Я, конечно, не в силах понять даже формулировки большинства из них, а Вам какие кажутся наиболее важными и/или интересными?

[xgrbml.livejournal.com]

Вопрос был - в явном виде определить полный порядок на множестве вещественных чисел.

Список из википедии оставлю без комментариев:)))

[egovoru.livejournal.com]

Ну хорошо, если список из Вики Вам не нравится, то какие задачи Вам самому кажутся самыми важными на современном этапе? Хотя бы из какой области математики?

[xgrbml.livejournal.com]

Список из вики составлен с помощью бездумного копипейстинга из разнородных источников.

Что до вопроса, который Вы мне задали, то его надо задавать не пролетариям умственного труда вроде меня, а самым-самым выдающимся ученым.

Кое-что о том, что такое важная и неважная задача в математике, сказано в интервью одного из них: http://www.mccme.ru/edu/statii/Manin-13N.pdf

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо, с большим интересом прочла все интервью. Очень понравилась мысль о разнице между задачами и программами, ну и, конечно, та высокая оценка, которую Манин дает работам Кантора. А замечание в конце о современном этапе заслуживает цитирования:

"На мой взгляд – это надо проработать, я в этом уверен довольно сильно, но не на сто процентов, в общественном сознании сейчас происходит переворот: низом становится правополушарная картина мира, гомотопическая, а если вы хотите говорить в дискретных терминах, то вы производите факторизации. То есть канторовские точки стали не точками, а, скорее, аттракторами, областями притяжения, непрерывными компонентами и так далее – с самого начала. Канторовская проблема бесконечности перестает быть актуальной: оно все с самого начала настолько бесконечно, что если вы хотите из него изготовить что-то конечное, то вы его должны очень сильно ужать".

А Вы с этим согласны? Для меня это звучит странно, поскольку, как ни крути, все же самый видимый (общественно-значимый) результат математики 20-го века - это создание компьютера, а в его основе лежит математика именно дискретная. Или я ошибаюсь в этой оценке?

[xgrbml.livejournal.com]

Создание компьютера - достижение замечательное, но не математики, а инженерии.

[egovoru.livejournal.com]

Все же, мне кажется, идея компьютера возникла сначала в теории, разве нет? Я имею в виду теорию алгоритмов, вот это все.

[xgrbml.livejournal.com]

Ну вот не совсем. Теория алгоритмов, конечно, интересна, но для практических применений нужно было сделать быстродействующую и легко программируемую вычислительную машину. И тут важна была вовсе не эта теория - нужно было изобрести принцип переадресации и идею записывать программу прямо в оперативной памяти, что фон Нейман и сделал. Он был прекрасный математик, но в тот момент он действовал не как математик, а как инженер высокого уровня.

Вообще, при применении математики к практическим задачам как правило, используются далеко не самые свежие достижения. И невозможно предсказать, что найдет применение, а что нет.

[egovoru.livejournal.com]

"тут важна была вовсе не эта теория - нужно было изобрести принцип переадресации"

Вам, конечно, виднее.

[serge no (from livejournal.com)]

Общественно-значимые результаты — в приложениях. Например, асимметричное шифрование — видимый результат, оно везде.

[egovoru.livejournal.com]

А как насчет топологии, о которой говорит Манин - у нее есть практические приложения?