Мы всходим на корабль – и происходит встреча

[egovoru]

Если Аристотель не признавал актуальной бесконечности, это еще не значит, что она была вовсе чужда грекам: вспомним хотя бы Анаксимандра с его апейроном или Абсолют неоплатоников. Надо полагать, идея бесконечного христианского Бога – тоже в основе своей греческая: сама концепция бесконечности требует достаточно развитой традиции абстрактного мышления. Христианизация сделала понятие божественной актуальной бесконечности привычным для европейского ума. Но возникло два вопроса: (1) реализуется ли бесконечность в творении, т.е., в природе? (2) способен ли человеческий ум постичь бесконечность? Как пишет В.Н. Катасонов в интереснейшей книжке, рекомендованной мне уважаемым verum_corpus, мнения разделились.

Огюстен Коши, автор первого вменяемого определения предела, категорически отрицал и первое, и второе. Спиноза, наделявший природу атрибутами Бога, верил, что всякая субстанция необходимо бесконечна, но мы не можем постичь эту бесконечность своим разумом. Неотомист Константин Гутберлет, пытавшийся найти математические основания бытия Бога, придерживался противоположной точки зрения. А вот человеком, решительно провозгласившим «да!» в ответ на оба вопроса, был Георг Кантор.

Кантор настаивал, что «сущность математики состоит в ее свободе». Но эта свобода не означала произвола – в качестве одного из эпиграфов к своему главному труду Кантор выбирает высказывание Фрэнсиса Бэкона: «Мы приписываем законы разуму или вещам не по нашему произволу, а, как добросовестные писцы, слушаем и записываем то, что дает и диктует нам голос природы». По Кантору, предметом математики могут служить любые возможные – то есть, логически непротиворечивые – конструкции. Но непротиворечивость означала для Кантора лишь то, что противоречий не обнаружено – мысль, что непротиворечивость надо специально доказывать, еще не проникла в сознание математиков.

Все, что непротиворечиво, считал Кантор, существует в уме Бога. В духе схоластической традиции он решил, что его теория множеств открывает новые смыслы в Священном писании, а последовательность трансфинитных чисел представлялась ему лестницей к Богу – что, конечно, не могло не обеспокоить церковные авторитеты. В конце жизни Кантор дошел до того, что стал оспаривать непорочное зачатие Иисуса Христа и объявил его плотским сыном Иосифа, которого считал воплощением Бога Отца.

Также вполне еретически Кантор считал, что Бог создал все, что мог помыслить, а свою теорию множеств видел фундаментом естествознания, «теорией всего». Тварный мир представлялся ему состоящим из актуально бесконечного числа непротяженных элементов двух сортов: телесных и эфирных. Множество телесных элементов обладает мощностью счетного множества, алеф ноль, а мощность множества эфирных элементов – следующий за ним алеф один.

Для множеств мощности алеф ноль и алеф один Кантор нашел разложения в сумму более простых множеств разной «плотности». Он надеялся, что агрегатные состояния вещества, свет и тепло, электричество и магнетизм суть не что иное, как проявления свойств этих простых множеств. То есть, Кантор попытался воскресить пифагорейское представление «Числу все вещи подобны» на новом витке диалектической спирали.

Мемориальная доска на доме 24 по 11-й линии Васильевского острова
в Санкт-Петербурге (фото с сайтов 2GIS и GradPetra)

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Религия (https://www.livejournal.com/category/religiya?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Есть неплохая заметка ниже, где рассматривается один из подходов Кантора к переходу между трансфинитными числами. В конце есть интересный вопрос, связанный с тем, что гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть исходя из аксиом теории множеств. Поэтому два разных выбора буквально порождают две разных теории множеств. Однако, если представить себе существование Платонии, то непонятно, каким образом в двух разных теориях множеств должна выглядеть таблица приведенная в заметке.

Про континуум-гипотезу и весьма странные следствия
https://i-ddragon.livejournal.com/449825.html

[olaff67.livejournal.com]

Ох уж эти математики… Им только дай волю — они вам мировую гармонию построят.

[skogar.livejournal.com]

++ Но если рассматривать бесконечные множества как реально существующие Платоновские Идеи, то список из Таблицы 3.5 однозначно либо существует, либо нет. Если бы наша способность воспринимать бесконечное была бы более развитой, то гипотезу континуума мы могли бы решить, так сказать, «экспериментально».

В математике любое доказательство обязательно конечно. Могут быть утверждения, содержащие в себе счётное число утверждений, каждое из которых можно проверить за конечное время, однако охватить все за конечное время нельзя (не могу сказать, так ли это в отношении континуум-гипотезы; это иллюстрация в принципе). Если бы хотя бы одно из этих утверждений было ложно, то существовал бы конечный алгоритм проверки этого. Но может быть и так, что каждое из утверждений истинно, а доказать, что они все истинны, невозможно за конечное время. Тогда добавление аксиомы, будто в счётном списке существует ложное утверждение, приводит к непротиворечивой системе.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Насколько я понял, математики доказали, что гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть исходя из аксиом теории множеств. В этом случае мы вроде бы получаем аналог неевклидовых геометрий в теории множеств.

[skogar.livejournal.com]

Про то, как с этим жить, вряд ли кто думает всерьёз, по крайней мере в наше время, ибо теория, посвященная объектам, существующим лишь совсем абстрактно, едва ли кого-то интересует.

[evgeniirudnyi.livejournal.com]

Кстати, недавно на глаза попалось название такое книги:

Periannan Senapathy (1994) "Independent Birth of Organisms. A New Theory That Distinct Organisms Arose Independently From The Primordial Pond Showing That Evolutionary Theories Are Fundamentally Incorrect"

[skogar.livejournal.com]

Там что, тоже про бесконечности? :)

Обсуждение на dxdy

[sergecpp.livejournal.com]

Вот ведь совпадение-синхронистичность! Вчера на dxdy начата тема, в которой автор коснулся понятий актуальной и потенциальной бесконечности. Ему отвечают примерно вот таким образом (цитирую частично один ответ): <<Нет никакой "потенциальной" и "актуальной" бесконечности. Их пытались ввести строго в начале 20 века, но не получилось.>>

Тема -- вот (сейчас там уже три страницы):
https://dxdy.ru/topic155120.html

[xgrbml.livejournal.com]

Там чуть хитрее. Математики доказали, что не существует формального вывода из аксиом теории множеств ни континуум-гипотезы, ни ее отрицания (Коэн доказал первое, Гёдель - второе).

Ну и плюс все математики твердо верят, что если некоторое математическое утверждение можно доказать, то у этого утверждения существует и формальный вывод из аксиом теории множеств. Вот на этой вере и на теоремах, упомянутых в предыдущем абзаце, и основывается всеобщее твердое убеждение в неразрешимости проблемы континуума.

[serge no (from livejournal.com)]

"Все, что непротиворечиво, считал Кантор, существует в уме Бога."

Что имеется виду, что бог ограничен логикой? Странная какая идея, сама по себе не логичная.

[hyperboreus.livejournal.com]

Если Аристотель не признавал актуальной бесконечности, это еще не значит, что она была вовсе чужда грекам: вспомним хотя бы Анаксимандра с его апейроном или Абсолют неоплатоников.//

Но заметьте, эти два подхода друг другу не противоречат. Для Аристотеля бесконечность потому и потенциальна, что непознаваема. Познание ведь это осуществление предмета познания, перевод его в актуальность. И Единое неоплатоников непознаваемо, оно определяется строго апофатично.

Познать актуальную бесконечность способен только Бог — или Будда :)

[egovoru.livejournal.com]

A еще "Математика", Фрэнк!

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо за заметку по ссылке.

"гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть исходя из аксиом теории множеств"

Насколько я понимаю, это относится только к аксиоматике Цермело-Френкеля. А вот если вместо аксиомы выбора принять аксиому детерминированности (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8), то можно доказать, что между счетной мощностью и мощностью континуума нет промежуточных мощностей (по крайней мере, так пишет Вики).

Поскольку я не могу себе представить никакой объективно существующей Платонии, то существование нескольких разных теорий множеств (а также геометрий и т.д.) нисколько меня не угнетает. Нас же не угнетает, что можно придумать несколько разных систем правил игры в шахматы?

[egovoru.livejournal.com]

Меня занимает, почему понятие бесконечности вызывало такие психологические трудности. При этом интересно, что вот понятие "бесконечно малого" (введенное создателями дифференциального исчисления, Ньютоном и Лейбницем), наоборот, было немедленно принято на ура - а разве это не то же и оно же?

[egovoru.livejournal.com]

Автор работает не в академии, а возглавляет коммерческую компанию по секвенированию ДНК, а в статье о нем в Вики никакое независимое происхождение организмов не упоминается. Мне трудно что-то сказать, поскольку я не знаю, каковы его аргументы. Подозреваю, это какая-то очередная белиберда амбициозного человека, которому слава Дарвина не дает покоя :)

Re: Обсуждение на dxdy

[egovoru.livejournal.com]

"Вот ведь совпадение-синхронистичность"

Не удивительно: бесконечность - одно из самых замечательных понятий, придуманное человечеством! О ней можно размышлять сколько угодно, и никогда не надоест. У меня вон в журнале есть отдельная метка для нее :)

"Нет никакой "потенциальной" и "актуальной" бесконечности"

Честно сказать, я тоже долгое время не понимала, в чем тут древние видели разницу, и почему столь категорически возражали против актуальной бесконечности. Как пишут и по Вашей ссылке, разница, видимо, в том, что потенциальная бесконечность мыслилась как процесс, а актуальная - как вещь. Но для нас сегодня, похоже, уже настолько привычно мыслить по крайней мере о счетной бесконечности натурального ряда (да и о континууме), что те трудности мы уже не можем себе представить.

[egovoru.livejournal.com]

"не существует формального вывода из аксиом теории множеств"

Насколько я понимаю, это относится только к аксиоматике Цермело-Френкеля. А вроде бы можно принять такую аксиоматику, в которой можно строго доказать континуум-гипотезу. Так?

[egovoru.livejournal.com]

Меня тут смущает другое. Ведь говорить о противоречивости или непротиворечивости можно только в приложении к высказываниям (утверждениям), а что такое существование высказывания?

[olaff67.livejournal.com]

Возможно, что это психологическое неприятие.
Некоторым людям трудно смиряться, ведь принятие бесконечности ничтожит перед ее лицом всё остальное, включая человека и его достижения.

[egovoru.livejournal.com]

Познаваемость - какой-то очень невнятный термин: как Вы отличите познаваемое от непознаваемого?

Что же касается Кантора, то его гениальность заключается, на мой взгляд, в том, что он был первым, кто догадался - и доказал это! - что бесконечности бывают разного "размера". Если это не шаг в сторону познания бесконечности, то я не знаю, что можно было бы назвать таким шагом.

[egovoru.livejournal.com]

Мне кажется - и Канту тоже так казалось, при взгляде на звездное небо - что, наоборот, осознание (и даже просто размышления о) бесконечности необычайно возвышает дух, разве нет?

[olaff67.livejournal.com]

Кому как. Мне, например, бесконечность не мешает, а даже наоборот — помогает отпускать многое, что не имеет решения. А людям с более упорядоченным умом трудно предоставить миру свободу.

Взять того же Канта — ему часто наш человек ставит в упрек вот эту его финальную открытость самых главных вопросов; остановился, типа, на полпути, недоговаривает (про бога — чаще всего). Гегель же развернул и свернул мир — да так, что ни у кого не понялась рука попрекнуть его в незавершенности. Наоборот — он так закрыл тему, что ни убавить, ни прибавить.

[egovoru.livejournal.com]

Да, с Богом Кант очень интересно обращается: такое ощущение, что он сам как-то не до конца продумал свою позицию :)

А Гегель что говорил о бесконечности?

[egovoru.livejournal.com]

"людям с более упорядоченным умом трудно предоставить миру свободу"

Может, людям с более деспотическим умом?