Для меня математика стала бузой

[egovoru]

Не знаю, так ли было у вас, но мне в юности довелось пережить несколько острых моментов глубокого потрясения, открывших для меня новые горизонты в совершенно разных плоскостях. Один из таких прорывов случился на уроке математики в школе, когда я досрочно закончила очередную контрольную, и надо было чем-то занять оставшееся от урока время. Мы тогда «проходили» треугольник Паскаля, и я решила попробовать найти в нем еще какие-нибудь закономерности, помимо описанных в учебнике. Оказалось, что это мне вполне под силу – и вдруг я поняла, что вот так это и работает! Я уверена, что ценность этого переживания намного превышает ценность умения решать тригонометрические уравнения – да и любого другого практического навыка, полученного мною в школе.

Но мне-то повезло – у меня был замечательный учитель, о котором я уже рассказывала. Может быть, поэтому проблемы преподавания математики в школе занимают меня до сих пор, хотя профессионально я никак с этим не связана. Изложение своих собственных мыслей по этому поводу я обнаружила в рассуждениях американского учителя Поля Локхарта, русский перевод которых любезно предоставил нам уважаемый fregimus.

«Первое, что нам следует понять – то, что математика есть искусство. <…> Наше общество, можно сказать, щедро на признание искусством области творчества: архитекторы, шеф-повара и даже телеведущие признаются людьми искусства. Так почему же не математики? <…> Я думаю, что причина в том, что мы, как культура, не знаем, что такое математика. Впечатление, которое мы получаем – будто это что-то такое холодное и сугубо техническое, чего, наверное, никто толком и не понимает: и ведь это выходит пророчество, исполняющее само себя, если такое вообще возможно. <…>

Математику следует преподавать как искусство во имя искусства, а «приземленные» полезные аспекты тривиально воспоследуют сами собою. Математика <…> задает простые и элегантные вопросы о воображаемых объектах, а затем придумывает правильные и красивые объяснения. <…> Ее важность, как и важность искусства вообще – в осмыслении человеческого опыта».

Самым важным тут мне кажется признание, что позорный провал школьной математики – не проблема плохих учителей или учеников, а проблема общества в целом. Но даже еще важнее – мысль, что преподавание – это, в первую очередь, общение учителя с учениками.

«Преподавание – это не передача информации. Преподавание – это честные интеллектуальные отношения с учениками. Для этого не нужны ни методы, ни пособия, ни специальная подготовка. Для этого нужно только быть самим собой. <…> При жестком наборе программ учитель не может вести за собой. Не должно быть стандартов, и не должно быть программ – только личности, делающие по собственному разумению лучшее возможное для учеников. <...> Программа навязывает жаргон и классификацию ни для какой более цели, кроме возможности учителям проверять этот же жаргон на экзаменах».

А вы что думаете? Особенно, конечно, мне интересно мнение профессиональных математиков – blacksquare0, pustoj_zhurnal, posic и других, но и у всех остальных есть собственный опыт – если не преподавания, то изучения математики.

Иллюстрация с обложки книжки Поля Локхарта об арифметике

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the category: Образование (https://www.livejournal.com/category/obrazovanie?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Правильно, Фрэнк!

[alex-new-york.livejournal.com]

Преподавание математики безусловно способно выиграть от более активного привнесения в него эстетического элемента и отношения к математике как к искусству. Человек — существо эстетическое и эмоциональное, и намного лучше усваивает вещи в эмоциональном и эстетическом контексте. Даже специалист в одной области математики ничуть не реже
способен увлечься другой ее областью потому, что она кажется ему красивой, чем потому, что она кажется ему практически полезной в свете его профессиональных интересов

[egovoru.livejournal.com]

А как же этого добиться на практике?

[matsea.livejournal.com]

Интересно, что у меня аналогичное прозрение тоже было связано с геометрией. В первый раз- в 8м классе я готовилась в мае на подоконнике к экзамену - и вдруг ощутила острый кайф. Второй раз в 9м классе, когда до меня дошло, как чертить сечение куба. Потом такого было много - политех, на минуточку. Но вот эти два первых счастливых звонка я остро помню. Теперь стараюсь так учить - чтобы у студентов подобные моменты возникали - ну и у моих детей конечно. Иногда вроде выходит, но это совсем непросто. По моему в наши дни у здорового человека вырабатывается какая то защита против учебы. Ее слишком много.

[egovoru.livejournal.com]

"в наши дни у здорового человека вырабатывается какая то защита против учебы. Ее слишком много"

Да, у меня тоже такое ощущение, и я давно вынашиваю пост специально на эту тему. Количество учебы, как и точность, должно быть не максимальным, а оптимальным :) Вопрос, однако, в том, а как же определить этот оптимум? К тому же он ведь, вероятно, разный для разных детей?

[Алексей Орлов (from livejournal.com)]

Дык эта... если бы не необходимость поступать в вуз, можно было бы интеллектуально общаццо. А коль скоро необходимо потратить годы ради _предсказуемого_ результата, иначе жизнь накажет, ну его нафиг. Не перипатетики мы тут. Диплом за мои муки фиксированной продолжительности и стандартизованного качества. Предлагайте альтернативы.

[egovoru.livejournal.com]

Так, может, надо изменить правила приема в вуз, если именно они приводят к этой бессмысленной трате времени?

[livelight]

Я хоть не совсем профессиональный математик, но ногда-то давно и я эту статью читал: https://livelight.livejournal.com/534962.html
И про математику не плАчу, я ею наслаждаюсь: https://livelight.livejournal.com/449775.html
Чем думают математики, и почему они всё же не инопланетяне: https://livelight.livejournal.com/555931.html
Ну и ещё можно по тэгу "физматпрог" покопаться при желании.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо, с интересом прочла Ваши заметки! Правда, они относятся в основном к профессиональной деятельности, а не к школьному обучению - а ведь математиками становятся немногие. Мне, тем не менее, кажется, что школьную программу по математике следовало бы преобразовать путем внесения в нее большего числа математических идей - ведь некоторые из них школьникам вполне доступны, за счет уменьшения числа однотипных упражнений. А Вы согласны с этим предложением?

[jackclubs2.livejournal.com]

По-моему — чушь. Математика — это некое ремесло, которому можно научить. Например по гимназическому учебнику Киселева более менее любого смышленого школьника можно научить решать геометрические задачи, при этом все вокруг думают что нужно просветление для дополнительных построений. Излишняя романтизация, по-моему, тут только мешает.

[ald1976.livejournal.com]

В любой деятельности есть ремесленная составляющая. Но есть и неремесленная, и в математике ее немало.

Рисование - тоже ремесло, но один малюет афиши в мухосранске, а другой висит в Лувре.

Научить можно, до какого-то уровня сложности. А потолок возможностей у всех разный, настолько, что есть и те, кто даже школьную программу осилить не может.

[posic.livejournal.com]

Мое мнение я не раз высказывал в моем ЖЖ. Школа в ее современном виде, определенном государственным законодательством о всеобщем обязательном среднем образовании, регулировании содержания такого образования и запрете детского труда -- безнадежна и нереформируема. В особенности бессмысленно "общественное" обсуждение конкретного содержания школьных программ, списка преподаваемых предметов, организации уроков и занятий, подготовки учителей, учебников, методики, педагогики и т.д. Все это пустое сотрясение воздусей. Все законы, упоминающие школы, университеты, образование, детский труд и т.д., должны быть отменены, существующие государственные школы и университеты -- приватизированы, частные -- дерегулированы.

[ald1976.livejournal.com]

Преподавать в вашем светлом приватизированном будущем будут те же люди.

И регуляция никуда не денется, просто вместо РОНО-самодуров будут самодуры-инвесторы.

О школе (вынос коммента)

[livejournal.livejournal.com]

User posic referenced to your post from О школе (вынос коммента) (https://posic.livejournal.com/2808327.html) saying: [...] https://egovoru.livejournal.com/202634.html [...]

[alaric-.livejournal.com]

Мне кажется, что этот вопрос сложно обсуждать без обсуждения вопроса, который мы как-то затрагивали в комментариях к одной из ваших записей недавно: а какой мы хотим получить результат? Что мы хотим получить из школы на выходе?

Просто если школу рассматривать просто как камеру хранения для детей, пока родители на работе, то, конечно, можно ставить вообще любые эксперименты. Если же считается, что школа должна кого-то подготовить, и особенно если считается, что практически каждый должен овладеть некими минимальными навыками, то простор для творчества резко снижается.

Если ставится задача действительно массового образования (т.е. предполагается, что практически каждый выпускник школы должен владеть неким перечнем навыков и в части математики этот перечень не слишком меньше нынешней программы), то, кажется, мы сильно упираемся в кадры. Я полагаю, что качественно преподавать без стандартов могут единицы. В смысле, никакая современная система не осилит массовую подготовку учителей, способных эффективно преподавать без стандартов.

Я предполагаю, что да, отдельные уникумы, если им не мешать стандартами и программой, действительно смогут научить своих учеников гораздо лучше. Но, думаю, что для среднестатистического школьного учителя результат будет хуже, чем даже есть сейчас.

[lenivtsyn.livejournal.com]

Вот и я хотел об этом же написать. Лайкать мне мой ЖЖ не позволяет, поэтому оформляю в виде коммента.

[snk1965.livejournal.com]

Ну, во-первых, (школьная) геометрия — не математика :)
А во-вторых, неплохо бы вместо "искусства" использовать "ремесло" & "творчество" ("искусство" — это, скорей, о ремесле).
В школе творчеству не обучают. Как и в институтах, например, литературных, музыкальных и живописных :)

За наглядность при преподавании математики сильно агитировал В.Арнольд, сам — прекрасный преподаватель.

[egovoru.livejournal.com]

"(школьная) геометрия — не математика"

А как бы Вы преобразовали школьную геометрию, чтобы она стала математикой? Ну и потом, в школе ведь преподают не только геометрию?

[freedom_of_sea.livejournal.com]

если у человека есть талант к музыке или рисованию то он будет делать для себя открытия, а если нет то его удел - задрачивать гаммы до автоматизма.

Так же и математика. Вы разглядели закономерность и прониклись, а для кого-то это муторное заучивание. Он просто не видит закономерность, в мозгу у него нет этой извилины.

Таких людей нужно научить считать сдачу, скидки и площадь обоев, и пропорции в рецептах, и отстать от них.

[egovoru.livejournal.com]

"Он просто не видит закономерность, в мозгу у него нет этой извилины"

А может, просто никто никогда не показал ему эти закономерности, не дал почувствовать их красоту?

[greygreengo.livejournal.com]

Кожаным мешкам нельзя было давать учить математику — все равно они ее в бомбу присобачат.

ЗЫ Надо дождаться пока робады их всех истребят и тогда выросший на их месте вид разумных кальмаров напишет другую математику. Добрую.

[egovoru.livejournal.com]

А откуда уверенность, что разумные кальмары не начнут метать друг в друга бомбы?

[pol-shaga.livejournal.com]

определить бы искусство. Часто подразумевается навык, ремесло, ...

[egovoru.livejournal.com]

Мне кажется, у Локхарта явно присутствует мысль, что искусство - это создание и/или наслаждение красотой, разве нет?

[skogar.livejournal.com]

-- Математика <…> задает простые и элегантные вопросы о воображаемых объектах, а затем придумывает правильные и красивые объяснения.

Лучше эти объекты назвать абстрактными.

Да, когда человек начинает понимать смыслы, имеющиеся в абстрактных конструкциях, его привлекает их красота. Дойти до смыслов в школе бывает непросто: у каждого ученика свой путь мысли и свои затруднения, а ещё большой вопрос, многие ли учителя математики вообще понимают, что у смыслов имеется некая глубина. Если до неё добраться, то все конкретные сведения из неё легко произрастут. Если же не добраться до смыслов, то останется только нагромождение разных сведений, в котором нет никакой эстетики, останутся только формулировки и инструкции сами по себе. У кого-то из-за этого даже возникнет отвращение к математике.

[egovoru.livejournal.com]

"Если же не добраться до смыслов, то останется только нагромождение разных сведений"

Боюсь, я не поняла, что именно Вы имеете здесь в виду под "смыслом"? Вот, например, теорема Пифагора: какой в ней смысл, кроме того, который заложен в ее формулировке?

[chaource.livejournal.com]

Я думаю, что математика (и шире - естественныя науки) по-настоящему доступны лишь небольшой долѣ людей, у которыхъ какъ-то по-особому повернуты мозги (это мы называемъ "талантъ", но что это такое, мы пока въ деталяхъ не знаемъ).

Остальные люди, ихъ абсолютное большинство, думаю, процентовъ 80, могутъ лишь затвердить какiя-то правила въ школѣ и, ненавидя безсмысленность этой дѣятельности, поскорѣе забыть вѣсь этотъ кошмаръ. Они не видятъ въ абстракцiи ни красоты, ни смысла, ни даже пользы. Мы написали какое-то уравненiе съ иксами и игреками и сразу рѣшили 500 разныхъ задачъ... Ну и что?? Кому это нужно, кому это интересно? Такъ думаетъ и чувствуетъ подавляющее большинство. Глаза у людей становятся стеклянными, когда начинается разсказъ о какой-то абстрактной картинѣ вещей.

[skogar.livejournal.com]

Ни в коем случае. Математика доступна (более-менее) всем, и будет интересна любому, кто достигнет какого-то начального уровня "настоящего" понимания, которое может заинтересовать. Иначе, если ничего не понять, то и остаётся смотреть на математику стеклянными глазами.

[pustoj-zhurnal.livejournal.com]

Разумеется, математика должна быть эстетичной, и этого, как правило, не наблюдается. В России в школе есть несколько сил, которые этому противодействуют.

1) ЕГЭ (ранее вступительные экзамены), что подменяет школьную программу и превращает ее в уродину.

2) Долбоумство многих обучающих. В том числе, в "хороших школах" довольно часты креативно-агрессивные долбоумы/долбоумницы.

3) Агрессивнось школьников.

В принципе, очень хорошая система была в СССР в 1950-60х годах. Компактные программы за среднюю и старшую школу и широкое дополнительное предложение (кружки, факультативы, качественная и доступная популярная литература). Там тоже было не все прекрасно, но глобально конструкция была удачна.

Программа должна быть утверждена (предварительно, разумеется, продумана; сейчас в России органа, который мог бы продумываь такие вещи, нет) и никакой отчетности (школьных контрольных, школьных экзаменов) за пределами программы быть не должно. Разумеется, надо стремиться к эстетичности (и к освобождению от неэстетичных элементов).

Но перебирать не стоит - эстетика трудно воспринимается из под палки, многие вещи лучше держать в необязательной и некотролируемой зоне.

[egovoru.livejournal.com]

Спасибо, что откликнулись!

"Компактные программы за среднюю и старшую школу и широкое дополнительное предложение (кружки, факультативы, качественная и доступная популярная литература)"

Вот, мне тоже кажется, что это сочетание было самым удачным. С одной стороны, оно обеспечивало некий базовый уровень для всех (и возможность попробовать разные предметы), а с другой, предоставляло возможность углубленного изучения того, что особенно понравилось, причем без всякого психологического давления.

Но, к сожалению, сейчас от этой системы почему-то отказались: школьную программу непомерно раздули, а кружки и другие внешкольные формы обучения практически извели. Как думаете, чем вызвана такая странная образовательная политика?

"ЕГЭ (ранее вступительные экзамены), что подменяет школьную программу и превращает ее в уродину"

Наверное, в идеале надо бы всем желающим давать возможность поступать в вузы, а потом отсеивать тех, кто не потянул. Но на практике это, увы, вряд ли возможно - значит, нужен какой-то отбор. А как, по-Вашему, наиболее разумно его организовать?

"в "хороших школах" довольно часты креативно-агрессивные долбоумы/долбоумницы"

А где взять других, хороших учителей?

"Агрессивнось школьников"

Вот это неожиданный для меня момент. Вы хотите сказать, что сегодня школьники более агрессивны, чем были раньше? Если так, то почему?

Еще один коммент оттуда же (про школу)

[livejournal.livejournal.com]

User posic referenced to your post from Еще один коммент оттуда же (про школу) (https://posic.livejournal.com/2810454.html) saying: [...] https://egovoru.livejournal.com/202634.html?thread=19567498#t19567498 [...]

[verum-corpus.livejournal.com]

Математика имеет сходство с высшей целью для человека - вечной жизнью; этим сходством она и прельщает. В мире математики моль и ржа не разрушают, и воры не подкопывают и не крадут.
Часть математиков обращаются к религии, чтобы найти то настоящее, подобием чего выступает математика.

[skogar.livejournal.com]

Да, именно так. И в атеистической молодости высшее нередко искали в математике.

[kneiphof.livejournal.com]

Жаль, для меня математика всегда была сущим ужасом — буквально от первого урока в первом классе и до последнего экзамена в институте. Начать с того, что в начальной школе мне очень плохо давался счёт в уме (сейчас это назвали бы "дискалькулией", но тогда и слов таких не было), что вызывало очень сильный стресс. Кстати, до сих пор толком в уме считать не умею.

Что интересно, с переходом от арифметики к алгебре в средней школе с математикой у меня стало лучше! А с геометрией было ещё лучше, чем с алгеброй. Но все равно, хотя я имел по математике хорошие оценки (временами даже отличные), математику в целом я в лучшем случае терпел, как инструмент физики. Вот физику я всегда любил. А "контрольная по математике" для меня до сих пор сюжет ночного кошмара.

Пожалуй, единственным случаем, когда меня не только заинтересовало, но даже восхитило что-то из мира математики самотпо себе, была теория графов! При этом познакомился я с ней через краеведение (задача о семи мостах Кёнигсберга).

[egovoru.livejournal.com]

Ваш комментарий - наглядная иллюстрация к тому, что я думаю о школьной математике. Мне кажется, она слишком бедна идеями и слишком перегружена чисто механическими упражнениями. Другие комментаторы выше пишут, что такие упражнения тоже нужны, чтобы отработать навык и не делать элементарных ошибок при решении более сложных задач. Это, конечно, верно, но нужно ли отрабатывать этот навык тем, кто до более сложных задач так и так никогда не доберется?

А вот ознакомить с некоторыми очень красивыми математическими идеями можно любого. Лично я из всех своих школьных достижений больше всего горда тем, что в девятом классе я сама догадалась, как доказать, что счетное число счетных множеств тоже счетно. Это совсем просто, но этот материал, увы, не входил в школьную программу :( Идею графа тоже вполне можно изложить на школьном уровне.

[mynameisanonym.livejournal.com]

Почитав и пост , и комменты, вспомнился короткий фильм "Альтернативная математика" на YT

[egovoru.livejournal.com]

А о чем он, если кратко?