Я тоскую, как странник по дому, по наивной системе Эвклида

[egovoru]

«Начала» произвели неизгладимое впечатление на европейцев Нового времени, вызвав желание перестроить по их образцу даже философию: «Этика» Спинозы – яркое тому свидетельство. Парадоксальным образом в самой математике, бурно развивавшейся с 17-го века, настроения были совсем другие: даже величайшие умы довольствовались рассуждениями по аналогии и апелляцией к метафизике. Моррис Клайн пишет, что в математике «век Разума» порядочно запоздал.

Формализация остальных разделов началась с анализа – области, где попадаются такие конфузные объекты, как непрерывные, но недифференцируемые функции или ряды типа 1-1+1-1+1… (Клайн рассказывает о баталиях по поводу его суммы: равна ли она 1, 0 или ½?). Возникло ощущение, что на столь зыбкой почве опасно полагаться на одну интуицию.

А тем временем и в самóм священном Граале обнаружились изъяны. Эвклид не учел того, что понимал Аристотель и до чего я додумалась самостоятельно: имея конечный запас слов, невозможно дать определение всем терминам, потому что рано или поздно придешь к порочному кругу. Это значит, что любая фомальная система должна включать неопределенные понятия, отвечающие единственному требованию: удовлетворение аксиомам. А раз так, то может существовать несколько совокупностей математических объектов разной природы, удовлетворяющих одному и тому же набору аксиом. Вот эти-то совокупности и называют в математике «моделями».

Первое печатное издание «Начал» Эвклида (1482)
(фото World Digital Library)
Вот, оказывается, как выглядела знакомая нам «колонка»,
обозначающая в Ворде конец параграфа (здесь – предложения)!

Comments

[skogar.livejournal.com]

Я имел в виду то, чтобы интерпретировать аксиомы Евклида, не изменяя их смысла. Например, удастся ли получить прямоугольный треугольник с катетами 1, 1 (с иррациональной длиной гипотенузы)?
Выяснять необязательно, но чтобы обсуждать вопросы о гладкости и кривизне, надо для разминки повозиться с более простыми вещами, чтобы почувствовать объект.

[yoginka.livejournal.com]

У Евклида были всякие треугольники, в том числе и этот. Свойства чисел, насколько я понимаю, не влияли на это. Можно и не записывать число в привычном виде. Достаточно устанавливать арифметическое соотношения между длинами. Если нет, то почему?

[skogar.livejournal.com]

Может быть, я ещё не начал вникать как следует. Но сколько думаю, столько понимаю, что с неевклидовыми геометриями будет значительно сложнее: параллельная прямая (единственная) - очень полезная штука для построений с ее помощью.

[yoginka.livejournal.com]

Я помню, что там вводятся координаты, причем есть разные. Трудности возникают, но обходятся. Есть аналоги окружностей и других фугур. Сферическая и гиперболичаская геометрии достаточно проработаны.

А с действительными числами в любом случае нужно разбираться, если потом переходить от евклидовой версии доказательств с помощью циркуля и линейки к координатам.

[skogar.livejournal.com]

Давайте начнём с евклидовой геометрии - посмотрим, что и как там строится. У меня два вопроса: как (начиная с аксиом - из любой системы) построить численную структуру на прямой, и как построить пару перпендикулярных прямых (чтобы потом взять их как оси).

[yoginka.livejournal.com]

1. Насколько я понимаю, численная структура вообще не строится. Доказательства ведутся с помощью построений, используя циркуль и линекйку.
2. Пара перпендикулярных прямых строится этим способом. Можно погуглить, если не очевидно. Мне самой лень это вспоминать и описывать, поэтому вот:
https://budu5.com/manual/chapter/3336

[skogar.livejournal.com]

1. А мы хотим ее построить.
2. Этот алгоритм можно перевести на язык аксиом?
Несколько странно, что Вы настаивали на строгости рассуждений, когда мы обсуждали арифметику, а сейчас рассуждаете совсем на уровне образов в отрыве от аксиом.

[yoginka.livejournal.com]

1. Подозреваю, придется просто вводить действительние числа как дополнительные аксиомы. Есть риск при этом подпасть под условия теоремы Геделя о неполноте, которого исходная аксиоматика благополучно избегала.
2. //Этот алгоритм можно перевести на язык аксиом?//
- Не знаю и подозреваю, что нет.
Что же касается строгости моих рассуждений, то я Вам тогда написала по какому-то поводу, что в жизни и в математике за пределами теории формальных систем у меня нет такой строгости :) А в данном случае нет формальной системы в современном смысле этого слова.

[skogar.livejournal.com]

1. Не думаю. Берем какой-нибудь отрезок и объявляем, что его длина есть число 1. Исходя из этого по-видимому можно построить все двоичные числа (складывая отрезки и разбивая пополам). Надо только всё это сделать через аксиомы.
2. Думаю, что можно. Циркуль даёт множество всех точек на одинаковом расстоянии от заданной точки, линейка дает проведение прямой через пару точек. Надо научиться описывать эти действия через аксиомы, и вряд ли это сложно.
3. Сейчас как раз хотелось бы работы с формальными системами :) Сначала надо формально объяснить человеческие образы того, что мы умеем делать в терминах аксиом, и тогда все полученные неформальные выражения будут формализуемыми.

-- А в данном случае нет формальной системы в современном смысле этого слова.

Есть, она задаётся любой из аксиоматик, которые Вы упоминали.

[yoginka.livejournal.com]

По поводу 1 и 2 пока не вижу у себя твердой почвы для рассуждений.

//Есть, она задаётся любой из аксиоматик, которые Вы упоминали.//
- У НАС С ВАМИ нет, потому что мы ничего из этого не выбрали пока :) Так что либо нужно выбирать и рассуждать в ее рамках, либо пытаться изобретать велосипед :)

[skogar.livejournal.com]

Выберите любую из упоминавшихся, тогда сразу и будет; не понравится - заменим :)
Они ведь все почти одинаковые и отличаются в частностях, а нам наверняка нужно то, что относится к их общей части.

[yoginka.livejournal.com]

Сейчас посмотрю, что там есть. Это займет некоторое время.

[yoginka.livejournal.com]

Выбрала две, для которых есть статьи в википедии:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_axioms
и
https://en.wikipedia.org/wiki/Birkhoff%27s_axioms
Последняя использует действительные числа.

[yoginka.livejournal.com]

Гильбертова аксиоматика оказалась не только для плоскости, но и для трехмерного случая. Вы, вроде, хотели оставаться на плоскости?

Тарского тоже посмотрела. Написано, что он покрывает часть евклидовой геометрии. Не поняла, что же он не охватывает: https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_axioms

Вообще-то ничто из этого не выглядит так, чтобы можно было действовать бездумно, совершая текстовые преобразования.

[skogar.livejournal.com]

Биркхофф не очень годится, так как мы вроде бы хотим без арифметики. Гильберт - вполне годится, для плоскости что-то из этого не понадобится. Тарский написан несколько иначе, но вроде тоже годится.

Бездумно нельзя, надо постепенно и осмысленно.

Давайте по порядку: берём любую прямую, на ней любой отрезок, который объявляем единичным, и один из концов которого объявляем началом координат, и попробуем строить точки с координатами (n, 0), для натуральных n. Получается?

[yoginka.livejournal.com]

//Тарский написан несколько иначе, но вроде тоже годится.//
- Но в википедии написано, что он не всю евклидову геометрию охватывает.

//берём любую прямую, на ней любой отрезок, ... //
- Получается :)

[skogar.livejournal.com]

Теперь хорошо бы поделить отрезок пополам и получить число 1/2, хотя как это сделать? Не надо ли сначала построить вторую координатную ось?

[yoginka.livejournal.com]

Пополам тоже делить циркулем и линейкой :)

[skogar.livejournal.com]

И ещё раз спрошу хозяйку журнала: может быть нам лучше куда-нибудь перебраться отсюда? Хотя сейчас речь пошла о той самой наивной системе Евклида, по которой Вы типа тоскуете :)

[egovoru.livejournal.com]

"по которой Вы типа тоскуете"

Это не я тоскую, а Александр Городницкий (http://www.bards.ru/archives/part.php?id=49903) :)

Я слежу за вашей беседой, хотя она и протекает на недоступном для меня уровне. Беседуйте на здоровье :)

[skogar.livejournal.com]

Спасибо :) Мы конкретно строим обычную плоскость из формальных аксиом, должно получиться.

У него железная дорога тоже бесконечная! :)

[skogar.livejournal.com]

Отмечу один важный момент, пока нас отсюда не выгнали :)
Говорилось, что [евклидова] геометрия не требует арифметики, из-за чего она остаётся в логике первого порядка. Соответственно, насколько я понимаю, из арифметики получиться может всё кроме индукции.

[yoginka.livejournal.com]

Отсутствие достаточного количества арифметики - не единственный фактор, "спасающий" от немедленного приговора теоремы Геделя. Второе обязательное требование для применимости этой теоремы - наличие алгоритма для порождения теорем из аксиом. Если аксиоматика по той или иной причине этого не допускает, то теорема Геделя неприменима. Я не уверена, что евклидова геометрия, основанная на циркуле и линейке, доводится до алгоритмизации, может, об этом где-то написано, но мне не попадалось.

Об индукции: у меня сложилось мнение, что ее наличие или отсутствие не имеет значения. Это видно из сравнения арифметик Робинсона и Пресбургера.

[skogar.livejournal.com]

Я только хотел отметить, что у нас не будет формальной индукции, а поэтому не выйдем за пределы логики первого порядка и, значит, наша цель не обязана здесь упереться в противоречие.

[yoginka.livejournal.com]

Уверены, что обойдетесь без нее?

//не обязана здесь упереться в противоречие//
Поскольку есть модель, то грозит не противоречивость, а неполнота.