Я тоскую, как странник по дому, по наивной системе Эвклида

[egovoru]

«Начала» произвели неизгладимое впечатление на европейцев Нового времени, вызвав желание перестроить по их образцу даже философию: «Этика» Спинозы – яркое тому свидетельство. Парадоксальным образом в самой математике, бурно развивавшейся с 17-го века, настроения были совсем другие: даже величайшие умы довольствовались рассуждениями по аналогии и апелляцией к метафизике. Моррис Клайн пишет, что в математике «век Разума» порядочно запоздал.

Формализация остальных разделов началась с анализа – области, где попадаются такие конфузные объекты, как непрерывные, но недифференцируемые функции или ряды типа 1-1+1-1+1… (Клайн рассказывает о баталиях по поводу его суммы: равна ли она 1, 0 или ½?). Возникло ощущение, что на столь зыбкой почве опасно полагаться на одну интуицию.

А тем временем и в самóм священном Граале обнаружились изъяны. Эвклид не учел того, что понимал Аристотель и до чего я додумалась самостоятельно: имея конечный запас слов, невозможно дать определение всем терминам, потому что рано или поздно придешь к порочному кругу. Это значит, что любая фомальная система должна включать неопределенные понятия, отвечающие единственному требованию: удовлетворение аксиомам. А раз так, то может существовать несколько совокупностей математических объектов разной природы, удовлетворяющих одному и тому же набору аксиом. Вот эти-то совокупности и называют в математике «моделями».

Первое печатное издание «Начал» Эвклида (1482)
(фото World Digital Library)
Вот, оказывается, как выглядела знакомая нам «колонка»,
обозначающая в Ворде конец параграфа (здесь – предложения)!

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the following categories: Путешествия (https://www.livejournal.com/category/puteshestviya?utm_source=frank_comment), Философия (https://www.livejournal.com/category/filosofiya?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

"Философия" - правильно, а "Путешествия" тебе, Фрэнк, только снятся! И потом, где же "Математика"?

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Что-то пошло не так.

[greygreengo.livejournal.com]

Геометрию, как структурированное (и потом политое знание) греки взяли у египтян — там все-же практически требовалось разобраться, что "воон там перед разливом Нила мой надел в форме египетского треугольника со сторонами 3, 4 и 5 был"

ЗЫ Гуглить по имени Набуриманна

[egovoru.livejournal.com]

Конечно, и греки стояли на плечах гигантов :)

[alex-new-york.livejournal.com]

«имея конечный запас слов, невозможно дать определение всем терминам»

Но определение же может содержать сколь угодно большое число слов

В информатике всего два слова: 0 и 1, но это не мешает описывать произвольно сложные объекты

[jeanix.livejournal.com]

0 и 1 — всё же не слова, а кирпичики, из которых строится реальная система.
Слова, как у Паскаля — в ТЗ и в ТП.

[alex-new-york.livejournal.com]

Вопрос терминологии. Суть же состоит в том, что из конечного числа слов можно создавать сколь угодно сложные и гибкие смыслы

[egovoru.livejournal.com]

Да, 0 и 1 - это буквы алфавита, а не слова, из них сложенные.

[egovoru.livejournal.com]

"определение же может содержать сколь угодно большое число слов"

А приведите, пожалуйста, какой-нибудь конкретный пример такого определения, чтобы я поняла, о чем речь?

[alex-new-york.livejournal.com]

Я имею в виду, что мы всегда можем объяснять ребенку или человеку с очень бедным словарным запасом значение того или иного сложного понятия, используя известные ему понятия и слова. Просто чем меньше наш собеседник знает, тем более длинными окажутся наши объяснения

«Этика» Спинозы

[jeanix.livejournal.com]

Она прекрасна тем, что в ней всё логично и чётко, из одного вытекает другое.

Re: «Этика» Спинозы

[egovoru.livejournal.com]

Ох, не знаю, не знаю: на меня этот труд произвел впечатление типичного натягивания совы на глобус :)

[hyperboreus.livejournal.com]

«Начала» произвели неизгладимое впечатление на европейцев Нового времени, вызвав желание перестроить по их образцу даже философию: «Этика» Спинозы – яркое тому свидетельство. Парадоксальным образом в самой математике, бурно развивавшейся с 17-го века, настроения были совсем другие: даже величайшие умы довольствовались рассуждениями по аналогии и апелляцией к метафизике. Моррис Клайн пишет, что в математике «век Разума» порядочно запоздал.

Какое хорошее подтверждение того, что философы, как всегда, в авангарде :)

[egovoru.livejournal.com]

Но Эвклид-то все равно был впереди?

[ald1976.livejournal.com]

Разные модели - не баг, а фича.

В случае с евклидовой геометрией все вообще просто, все модели изоморфны.

В других случаях может быть сколь-угодно много неизоморфных моделей, ну так это и хорошо. Пример - аксиомам группы удовлетворяет множество неизоморфных групп.

[egovoru.livejournal.com]

"Разные модели - не баг, а фича"

Я-то вообще не понимала, что такое модели в математике, поскольку была более привычна к математическим моделям физических процессов. Клайн же, как мне кажется, очень толково объяснил, что это такое.

[egovoru.livejournal.com]

Что-то никто из комментаторов не разрешил моих сомнений, как же все-таки надо говорить: удовлетворяют аксиомы или удовлетворяют аксиомам, винительный или дательный? С одной стороны, обычно этот глагол вроде требует винительного: напр., удовлетворять желания; но с другой стороны, мне помнится, что вроде мы говорили "удовлетворять аксиомам", когда говорили о них в школе :) А как говорят в профессиональной среде? Я заметила, что у Вас в комментарии дательный.

[serge no (from livejournal.com)]

А что, в математике есть какая-то строгая формализация? По-моему, там муть какая-то полулирическая. Достаточно вспомнить недавний пример, как символ = оказывается не совсем в том смысле =, как в 2x2=4, а в "несколько" ином. Т.е. вообще в другом. ) А понять в каком - на то нужно несколько страниц объяснений за кадром. Хороша формализация.

[ald1976.livejournal.com]

Несколько страниц объяснений за кадром нужно тому, кто не в теме. Так что разруха в головах, а не в математике.

Сделать так, чтобы объяснения не понадобились никому, можно. Но это будет как в случае с генералом из Швейка, который всем объяснял, что шоссе - это дорога с двумя канавами.

[egovoru.livejournal.com]

Как я понимаю, вопрос тут в длине логической цепочки. Любая теорема должна быть доказана - то есть, выведена из каких-то положений, истинность которых уже установлена. На протяжении нескольких веков такими положениями считались "самоочевидные истины", но постепенно пришло понимание, что этого недостаточно, и что эти "самоочевидные истины" не так уж очевидны, как кажется на первый взгляд.

[skogar.livejournal.com]

Всё же пожалуй уже не вызывает сомнений то, что Клайн своей книжкой сделал злое дело, вбросив в умы читателей немало всякой ерунды, представляющей положение дел в чистой математике как плачевное, тогда как на самом деле это сейчас может быть одна из редких областей науки, где пока всё хорошо даже без натяжек. Вот теперь и получается, что те, кто сами мало понимают в математике, почему-то считают себя вправе судить её исходя из прочитанного, а тем, кто разбирается лучше, приходится оправдывать математику от несправедливых атак.

[egovoru.livejournal.com]

"вбросив в умы читателей немало всякой ерунды"

Если что-то из мною написанного кажется Вам неверным, будет куда больше толку, если Вы поправите мою ошибку - вместо того чтобы рассуждать за всю Одессу :)

[a-gorb.livejournal.com]

”фомальная система должна включать неопределенные понятия, отвечающие единственному требованию: удовлетворение аксиом”
Совершенно верно. Аксиомы и есть то, что по существу «определяет» свойства этих понятий. И тут как раз уместно вспомнить знаменитое высказывание Гильберта: «Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках.» Это очень важное высказывание. Во-первых, это требования к формализации системы, она должна быть настолько формальной, что наименования понятий совершенно произвольны, их вообще можно заменить просто символами. Во-вторых, что следует из во-первых, эта система должна быть настолько полна, что в ней не должно остаться места для свойств этих понятий, проистекающих из их наглядности, привычности, интуитивной понятности и т.п. Все свойства должны быть явно сформулированы в виде аксиом. Собственно, если вы можете сделать в формальной системе замену наименований понятий по примеру Гильберта, то с этой системой все хорошо. Конечно, в трудах Евклида это далеко не так.

”А раз так, то может существовать несколько совокупностей математических объектов разной природы, удовлетворяющих один и тот же набор аксиом. … Вот эти-то совокупности и называют в математике «моделями».”
Мне кажется, что вы не совсем правильно поняли смысл моделей. (Хотя, может я не совсем правильно понял вас:)) Как видно из предыдущего, сами названия объектов, которые удовлетворяют аксиомам, не играет никакой существенной роли. Если везде вместо термина «плоскость» употреблять термин «пивная кружка», то никакой модели не возникнет. Это будет та же система, просто изложенная в других терминах. Модель возникает следующим образом. Пусть у нас есть формальная система 1 со своими понятиями и набором аксиом, и есть формальная система 2 опять со своими понятиями и аксиомами. Это разные системы и разные наборы аксиом, их не всегда можно превратить в друг друга просто заменой терминов! Хотя и последнее является очень важным моментом, если одна система превращается в другую просто заменой терминов, то это так же дает существенные результаты. И это факт не всегда легко обнаружить.
Но все сложнее. В рамках системы 2 мы находим такие объекты, которые удовлетворяют аксиомам системы 1, причем в системе 2 аксиомам системы 1 не обязательно соответствуют именно аксиомы, могут и теоремы. Вот тут становиться по настоящему интересно. Это дает возможность переносить результаты из одной системы в другую. И наоборот. Поэтому, в приложениях, например в физике, часто «перепрыгивают» из одной модели в другую в зависимости от простоты решения задачи, личных симпатий и уровня образования исследователя. Вектор это что? Направленный отрезок в геометрии (вектор скорости, вектор силы – отрезки со стрелками, привычные со школьного курса физики). Элемент линейного пространства в линейной алгебре, в курсах которой может не быть не одного рисунка. Разложение состояния квантового объекта по собственным волновым функциям некого оператора в квантовой механике, абстракция, которую вообразить сложно. Но это все аналогично друг другу настолько, что результатами из одной области можно с успехом пользоваться в другой.

[egovoru.livejournal.com]

"вы не совсем правильно поняли смысл моделей"

Вполне вероятно, что совсем неправильно, потому что понятие модели в математике дается мне с исключительным трудом. Ведь что такое (математическая) модель в естествознании? Это абстрактная конструкция, некоторые (наиболее важные для нас!) свойства которой совпадают со свойствами моделируемой физической системы. Причем, заранее мы не можем знать, все ли нужные нам свойства совпадают - мы должны проверить это экспериментальным путем в каком-то ограниченном диапазоне условий. Если окажется, что в этом диапазоне поведение системы совпадает с предсказанием модели, тогда мы говорим, что модель работает, и используем ее для предсказания уже в более широком диапазоне условий. Существенно, однако, что модель охватывает только некоторые свойства системы, и в этом смысле она "меньше" моделируемой системы - в том же смысле, как карта "меньше" местности. Собственно, в том и смысл моделирования: упростить задачу во избежание перегрева мотора :)

Теперь, математические модели, как я поняла - это эквивалентные объекты, то есть, если теория А служит моделью теории В, то и теория В служит моделью теории А. Смысл же использования моделей, насколько я понимаю, заключается просто в том, что если на данный момент одна из теорий - скажем, теория А - оказывается лучше разработанной, чем теория В, то, сведя В к А, мы сразу сильно продвигаемся в изучении В. А не то что А в принципе проще чем В. Так? И еще: мы каким-то образом можем заранее доказать, что А и В - модели друг друга, не прибегая ни к какой экспериментальной проверке, что тоже сильно отличается от моделей в естествознании.

Думаю, мне помогло бы, если бы можно было найти какой-нибудь пример моделирующих дриг друга теорий, о которых я бы имела хотя бы минимальное представление, вот как о геометрии Эвклида. Но, как я поняла, то, что она моделирует - это уже что-то сугубо эзотерическое и простому обывателю не знакомое :)