Сбрей брадобрей все нормальные множества

[egovoru]

Природа математического знания давно занимала философов. Кант выделил его в особую категорию синтетических априорных высказываний, но, увы, эта кантианская классификация мало что проясняет из-за крайней расплывчатости самой его концепции априорности. В надежде узнать современное положение дел, я обратилась к книжке Ойстена Линнебо, написанной как введение в предмет для желающих посвятить свою карьеру философии математики. У меня, увы, нет ни достаточной философской, ни математической подготовки, так что это чтение далось мне нелегко. К тому же Линнебо, будучи математиком по первоначальному образованию, рассказывает скорее о поисках оснований математики изнутри самой математики, а не о том, как ее воспринимают философы.

Геометрию Линнебо не рассматривает вовсе, а анализ упоминает только мельком, называя Больцано тем, кто еще до Коши и Вейерштрасса начал его формальное построение. Первая фигура, которой Линнебо посвящает целую главу – Готтлоб Фреге, задавшийся целью свести математику к логике (примечательно, что вопроса, почему мы должны доверять самой логике, у него, похоже, не возникало). Идеалом Фреге было превращение математического доказательства в цепь преобразований формул-аксиом по чисто синтаксическим правилам, без необходимости принимать в расчет смысл этих формул.

Согласно некоторым энтузиастам-формалистам, смысла в математических утверждениях нет вообще: мы можем произвольно выбирать и аксиомы, и правила обращения с ними – подобно тому, как мы произвольно выбираем фигуры и правила игры в шахматы. Сам же Фреге считал, что математика смысл имеет – иначе трудно объяснить, почему она так прекрасно работает для описания физического мира.

Но не успел труд Фреге выйти из печати, как обнаружилось, что его «базовый закон V» приводит к парадоксу Рассела, то есть, постулирует существование множества всех множеств, не являющихся членами самих себя. Одновременно этот парадокс показал несостоятельность канторовского «наивного» понятия множества как коллекции объектов, выделенных по любому признаку.

Для выхода из этого тупика сам Рассел в компании с Уайтхедом и примкнувшим к ним Фрэнком Рамсеем разработал теорию типов, устанавливающую строгую иерархию в мире множеств. Как в человеческом обществе семьи состоят из индивидуумов, кланы – из семей и так далее, так и элементами каждого множества могут быть только объекты предыдущей ступени (то есть, индивидуум не может быть членом клана). Расселовское множество, чреватое парадоксом, эти правила автоматически отсекают. Быстро выяснилось, однако, что такое ограничение лишает систему Фреге ее важных достоинств: в частности, возможности вывести из ее аксиом существование бесконечного числа чисел.

Готтлоб Фреге и Бертран Рассел
в представлении Renée Jorgensen Bolinger
(фото с сайта автора)

Comments

[yoginka.livejournal.com]

Мне сейчас не очень хочется искать альтернативные формулировки, это для моих рассуждений не важно, так как в данном случае разница видна только на уровне базовых определений и "первого слоя" теорем, а выше уже нет разницы.

[skogar.livejournal.com]

Видимо наиболее известная - аксиома выбора. В зависимости от того, включается ли она в аксиоматику, возникает разница между "обычной" математикой и т.н. конструктивной. Насколько я понимаю, это весьма заметно.

[yoginka.livejournal.com]

Это настоящий фундаментальный уровень.
Я-то о более высоком уровне, где и действительные числа уже есть. Это тот уровень, с которого начинается хороший курс математического анализа. У нас основной учебник был трехтомник Фихтенгольца, но лектор был тоже не совсем простой, сам учебники писал. Мог и отступать слегка на уровне определений и, соответственно, некоторых связанных с ними нескольких штук теорем. Сейчас нет под рукой этого учебника, а так не помню, где он отклонялся и что пропускал (времени на курс было отведено несколько меньше, чем подразумевалось в этом трехтомнике).

[skogar.livejournal.com]

В том, что Вы упомянули выше, я углядел лемму Цорна - правильно? Одна из её равносильных переформулировок - аксиома выбора. Возможно, в курсе анализа лемма Цорна выводилась из аксиомы выбора?

[yoginka.livejournal.com]

Нет. Теорема о верхней грани связана с непрерывностью (действительных чисел). Вот это похоже:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB#%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D1%81%D1%83%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%83%D0%BC%D0%B0

[skogar.livejournal.com]

Понятно :) По набору слов я подумал о другом, что сначала пришло на ум, хотя это гораздо проще. Но ведь и это не совсем банальность - это по сути аксиома полноты, которая занимает своё место в аксиоматике - то, что на числовой оси нет дырок, даже совсем крохотных, всего в одно число.

[yoginka.livejournal.com]

Насчет "дырок": надеюсь, автор поста заметит нашу дискуссию и увидит, как все интуитивно, наглядно и связано с жизненным опытом :) Я ведь ради этого и вспомнила эту теорему.

[egovoru.livejournal.com]

Позвольте, но ведь Вы с уважаемым skogar обсуждаете, как я поняла, континуум, а какой же у нас "жизненный опыт" в этом отношении? Где это в нашей повседневной жизни мы видим бесконечно делимые объекты? Напротив, континуум - абстрактное создание нашего ума, и, как я поняла, до сих пор непонятно, есть ли в природе что-нибудь, обладающее его свойствами. Не случайно Кронекер, и не только он, относился к действительным числам с таким подозрением!

[yoginka.livejournal.com]

//обсуждаете, как я поняла, континуум//
- Мой коментарий был о "дырках", т.е. о явной аппеляции к интуиции :)
// а какой же у нас "жизненный опыт" в этом отношении? //
- Пространство и время :) А пока не было микроскопов, то и всякие однородные вещества, и вода, и воздух в том числе.

[egovoru.livejournal.com]

В повседневной жизни мы имеем дело с протяженностью предметов (а также расстояниями между ними) и интервалами времени. Ни те, ни другие не бывают бесконечно малыми, потому что у нас нет бесконечно чувствительных измерительных приборов. А непрерывные пространство и время - это, опять же, сугубые абстракции.

[yoginka.livejournal.com]

//Ни те, ни другие не бывают бесконечно малыми//
- Это Вы уже не о том, от "дыр" уклонились далеко.
Не "бесконечно малыми", а неограниченно делимыми. Без "дыр" :) (Так привыкла считать наша интуиция.)

[egovoru.livejournal.com]

Неограниченно делимое пространство (время) ведь и означает существование бесконечно малых его участков (интервалов), разве нет?

[yoginka.livejournal.com]

Речь шла об очевидности и интуитивности. Вы же пытаетесь переформулировать интуитивные представления с помощью абстракций. Зачем Вы это делаете? Ясно же, что все что угодно "очевидное" можно выразить настолько абстрактно и/или обобщенно, что никто уже этого не поймет без специальных знаний. Но это никак не отменяет исходную очевидность ("дыр" в данном случае).

[egovoru.livejournal.com]

Я просто хочу сказать, что в повседневной жизни мы никогда не сталкиваемся ни с бесконечно делимым, ни с бесконечно малым. Разве не так? А если так, то откуда же у нас взялась "интуиция" на сей счет?

[yoginka.livejournal.com]

Круг замкнулся:
https://egovoru.livejournal.com/166090.html?thread=13290186#t13290186

[skogar.livejournal.com]

Неограниченная делимость и отсутствие дыр - разные вещи. Множество рациональных чисел можно делить на мелкие кусочки в целом так же, но в нём полно дыр.

[yoginka.livejournal.com]

Надо мне было поставить знак конъюнкции между этими предложениями :)

[skogar.livejournal.com]

Да я тут так, просто придираюсь :) Но если вдруг кто читает, то лучше обратить на это внимание.

[yoginka.livejournal.com]

Спасибо :)

[skogar.livejournal.com]

-- А непрерывные пространство и время - это, опять же, сугубые абстракции.

Неизвестно. Вполне возможно, что они такие и есть на самом деле. И даже если они не такие, то это для нас пока даже ни не заметно, и мы их воспринимаем как такие. Так что такая абстрактная трактовка вполне оправдана.

[egovoru.livejournal.com]

Мне кажется, абстрактную идею непрерывности порождает скорее наш повседневный опыт обращения с жидкостями. Сейчас мы, конечно, знаем, что они состоят из отдельных молекул, но ведь понятие непрерывности человечество создало гораздо раньше, чем узнало это.

Время, кстати, мы ведь тоже представляем себе как жидкость: не случайно же оно у нас "течет" :)

[skogar.livejournal.com]

Нам встречается много чего непрерывного (или воспринимаемого таким), поэтому абстракция и естественна.

[egovoru.livejournal.com]

Да, но заметьте, что мы называем подобные вещи не просто "непрерывными", а вообще "неисчисляемыми", и многие языки, в том числе и русский, имеют грамматические структуры, подчеркивающие это. Континуум же - объект совершенно особенный: с одной стороны, там вроде бы можно выделить отдельные сущности - действительные числа, но, с другой стороны, в нем не существует "дырок".

Ничего подобного в нашем житейском обиходе нет, и именно поэтому идея континуума дается нам так нелегко: многие (в том числе и Линнебо) считают, что "проблема континуума" так и не была решена, когда было показано, что в пределах ZFC невозможно доказать или опровергнуть, что два в степени алеф ноль равно алефу один.

[skogar.livejournal.com]

Но ведь континуум - это и есть не более чем заполнение "дырок". Например, вводим рациональные числа m/n, затыкаем дырки - и континуум готов. Так что интуитивно это как раз самое то. А с формальной точки зрения уже получается хитро; в частности, с Ваших слов я не понял, что и почему там считают нерешённым.

[skogar.livejournal.com]

-- "неисчисляемыми"

несчётными?