Сбрей брадобрей все нормальные множества
Jan. 20th, 2021 09:00 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
egovoruГеометрию Линнебо не рассматривает вовсе, а анализ упоминает только мельком, называя Больцано тем, кто еще до Коши и Вейерштрасса начал его формальное построение. Первая фигура, которой Линнебо посвящает целую главу – Готтлоб Фреге, задавшийся целью свести математику к логике (примечательно, что вопроса, почему мы должны доверять самой логике, у него, похоже, не возникало). Идеалом Фреге было превращение математического доказательства в цепь преобразований формул-аксиом по чисто синтаксическим правилам, без необходимости принимать в расчет смысл этих формул.
Согласно некоторым энтузиастам-формалистам, смысла в математических утверждениях нет вообще: мы можем произвольно выбирать и аксиомы, и правила обращения с ними – подобно тому, как мы произвольно выбираем фигуры и правила игры в шахматы. Сам же Фреге считал, что математика смысл имеет – иначе трудно объяснить, почему она так прекрасно работает для описания физического мира.
Но не успел труд Фреге выйти из печати, как обнаружилось, что его «базовый закон V» приводит к парадоксу Рассела, то есть, постулирует существование множества всех множеств, не являющихся членами самих себя. Одновременно этот парадокс показал несостоятельность канторовского «наивного» понятия множества как коллекции объектов, выделенных по любому признаку.
Для выхода из этого тупика сам Рассел в компании с Уайтхедом и примкнувшим к ним Фрэнком Рамсеем разработал теорию типов, устанавливающую строгую иерархию в мире множеств. Как в человеческом обществе семьи состоят из индивидуумов, кланы – из семей и так далее, так и элементами каждого множества могут быть только объекты предыдущей ступени (то есть, индивидуум не может быть членом клана). Расселовское множество, чреватое парадоксом, эти правила автоматически отсекают. Быстро выяснилось, однако, что такое ограничение лишает систему Фреге ее важных достоинств: в частности, возможности вывести из ее аксиом существование бесконечного числа чисел.
в представлении Renée Jorgensen Bolinger
(фото с сайта автора)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2021-01-20 03:01 pm (UTC)LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the following categories: Наука (https://www.livejournal.com/category/nauka?utm_source=frank_comment), Общество (https://www.livejournal.com/category/obschestvo?utm_source=frank_comment), Философия (https://www.livejournal.com/category/filosofiya?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team
no subject
Date: 2021-01-20 03:18 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 03:41 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 04:12 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 04:15 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 06:53 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:11 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:12 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:12 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:14 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:17 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:22 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:25 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:33 pm (UTC)Сейчас я читаю неизмеримо более популярную книжку Мориса Кляйна (https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics:_The_Loss_of_Certainty), который как раз пытается такую картину нарисовать, но я еще недалеко продвинулась. Судя по сведениям из Вики, ее многие ругают, но мне пока трудно судить, по делу ли - надо значала дочитать до конца, а потом уж читать критику. Пока что мне не очень понравилось, что он уж слишком подчеркивает заслуги греков в ущерб усилиям египтян и Междуречья. Мне кажется, это не слишком справедливо, но я, конечно, не специалист.
"их роль и опору на интуицию в повседневной работе математиков"
Слово "интуиция" в этом контексте мне кажется не слишком удачным, поскольку оно не различает продукты бессознательной обработки данных опыта и врожденные представления, а при рассуждении о природе математических знаний это различие кажется мне необходимым.
no subject
Date: 2021-01-20 10:37 pm (UTC)А Вам удалось получить такое представление, хотя бы на самом поверхностном уровне?
no subject
Date: 2021-01-20 10:42 pm (UTC)Видимо надо знакомиться с теорией множеств, ибо это уже "фундамент", но ближе всего к тому, что выше. Для понимания надо всё же сколько-то уметь работать так, как в математике.
no subject
Date: 2021-01-20 10:49 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 10:52 pm (UTC)Можно быть математиком и не знать её историю :)
no subject
Date: 2021-01-20 10:57 pm (UTC)- В 6, 8 главах - конкретный философский аспект, который мы обсуждали тогда и который я кратко описала выше.
//четкой картины эволюции взглядов на природу математического знания мне выудить у него не удалось. А Вам?//
- Я всю книгу не читала и эволюцию не пыталась выудить. В упомянутых главах нашла подтверждения тому, что и я утверждала.
//...оно не различает продукты бессознательной обработки данных опыта и врожденные представления...//
- А это и не нужно различать в том контексте. Все это используется математиками в повседневной работе и в *понимании* того, что они делают. А формальное доказательство - последний завершающий штрих.
Мне интересно было бы Ваше восприятие упомянутых двух глав.
no subject
Date: 2021-01-20 11:03 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-20 11:57 pm (UTC)no subject
Date: 2021-01-21 12:15 am (UTC)А пока мне пришло в голову поделиться с Вами одним из первых впечатлений о математике и роли интуиции. Это была теорема о верхней грани, которую нам строго доказывали в самом начале первого семестра математического анализа: множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань. Для меня после школы было откровением, что такие очевидные утверждения нужно и можно доказывать. (Впрочем, здесь есть некоторая гибкость в выборе определений, при несколько других выборах доказывать нужно не эту теорему, а другое родственное утверждение). Потом было много доказательств и других "очевидных" теорем, включая и теорему о среднем значении, которую мы упоминали в ноябре (https://egovoru.livejournal.com/162876.html?thread=12944188#t12944188). И поэтому мне странно, что для кого-то неочевидно, что математика в основе своей опирается на интуицию и повседневный опыт.
no subject
Date: 2021-01-21 01:34 am (UTC)Насколько я понимаю, много веков математика воспринималась либо как божественный замысел, либо как язык, на котором записаны "законы природы" (помните Галилея?). В сущности, это был платонизм, с которого Линнебо, кстати, и начинает свою книжку. Опыт дает нам только приблизительное, неточное знание, а вот математика дает знание истинное, свободное от случайного шума.
Первые серьезные сомнения возникли, когда обнаружилось, что можно создать несколько разных геометрий, и они будут одинаково хорошо описывать физический мир.
no subject
Date: 2021-01-21 01:35 am (UTC)no subject
Date: 2021-01-21 01:44 am (UTC)Интуитивное легче всего связать с эмоционально-чувственным, логика вывода приходит когда пытаешься объяснить, прежде всего самому себе, ну и остальным, разумеется, как вот это интуитивное вышло, в рамках логической схемы.