Сбрей брадобрей все нормальные множества

[egovoru]

Природа математического знания давно занимала философов. Кант выделил его в особую категорию синтетических априорных высказываний, но, увы, эта кантианская классификация мало что проясняет из-за крайней расплывчатости самой его концепции априорности. В надежде узнать современное положение дел, я обратилась к книжке Ойстена Линнебо, написанной как введение в предмет для желающих посвятить свою карьеру философии математики. У меня, увы, нет ни достаточной философской, ни математической подготовки, так что это чтение далось мне нелегко. К тому же Линнебо, будучи математиком по первоначальному образованию, рассказывает скорее о поисках оснований математики изнутри самой математики, а не о том, как ее воспринимают философы.

Геометрию Линнебо не рассматривает вовсе, а анализ упоминает только мельком, называя Больцано тем, кто еще до Коши и Вейерштрасса начал его формальное построение. Первая фигура, которой Линнебо посвящает целую главу – Готтлоб Фреге, задавшийся целью свести математику к логике (примечательно, что вопроса, почему мы должны доверять самой логике, у него, похоже, не возникало). Идеалом Фреге было превращение математического доказательства в цепь преобразований формул-аксиом по чисто синтаксическим правилам, без необходимости принимать в расчет смысл этих формул.

Согласно некоторым энтузиастам-формалистам, смысла в математических утверждениях нет вообще: мы можем произвольно выбирать и аксиомы, и правила обращения с ними – подобно тому, как мы произвольно выбираем фигуры и правила игры в шахматы. Сам же Фреге считал, что математика смысл имеет – иначе трудно объяснить, почему она так прекрасно работает для описания физического мира.

Но не успел труд Фреге выйти из печати, как обнаружилось, что его «базовый закон V» приводит к парадоксу Рассела, то есть, постулирует существование множества всех множеств, не являющихся членами самих себя. Одновременно этот парадокс показал несостоятельность канторовского «наивного» понятия множества как коллекции объектов, выделенных по любому признаку.

Для выхода из этого тупика сам Рассел в компании с Уайтхедом и примкнувшим к ним Фрэнком Рамсеем разработал теорию типов, устанавливающую строгую иерархию в мире множеств. Как в человеческом обществе семьи состоят из индивидуумов, кланы – из семей и так далее, так и элементами каждого множества могут быть только объекты предыдущей ступени (то есть, индивидуум не может быть членом клана). Расселовское множество, чреватое парадоксом, эти правила автоматически отсекают. Быстро выяснилось, однако, что такое ограничение лишает систему Фреге ее важных достоинств: в частности, возможности вывести из ее аксиом существование бесконечного числа чисел.

Готтлоб Фреге и Бертран Рассел
в представлении Renée Jorgensen Bolinger
(фото с сайта автора)

Comments

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the following categories: Наука (https://www.livejournal.com/category/nauka?utm_source=frank_comment), Общество (https://www.livejournal.com/category/obschestvo?utm_source=frank_comment), Философия (https://www.livejournal.com/category/filosofiya?utm_source=frank_comment).
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[egovoru.livejournal.com]

Только "Философия", Фрэнк, и еще "Математика".

[lj-frank-bot.livejournal.com]

Я исправлюсь

[greygreengo.livejournal.com]

Согласно аксиоматике Пеано - первонах!

[egovoru.livejournal.com]

Боюсь, я не уловила Вашу мысль :(

[greygreengo.livejournal.com]

Аксиоматика счетных чисел лучше всего объединяется с эмоциональным содержанием предикатов в таких коротких словах содержащих в себе числительные и обсцентные составные части.
Интуитивное легче всего связать с эмоционально-чувственным, логика вывода приходит когда пытаешься объяснить, прежде всего самому себе, ну и остальным, разумеется, как вот это интуитивное вышло, в рамках логической схемы.

[alex-new-york.livejournal.com]

Тут важно понимать, что попытка словесного описания чего-то не равносильно его «существованию». Если мы напишем на бумажке предложение: «написанное на этой бумажке ложно», то это предложение не будет обладать легитимными свойствами логического утверждения, хотя внешне и будет на него походить

[egovoru.livejournal.com]

Тут мы опять упираемся в сложность определения того, что такое "существование". Вероятно, все согласятся, что математические объекты "существуют" в каком-то ином смысле, чем физические, но сформулировать как-то яснее, в чем же именно состоит эта разница, нелегко.

[alex-new-york.livejournal.com]

О существовании или несуществовании физических объектов мы узнаем из физических экспериментов. О существовании или несуществовании математических объектов мы делаем вывод из логических экспериментов. Результаты и тех, и и других порой приходится пересматривать, порождая к жизни новые области физической и математической науки вроде квантовой механики или теории комплексных чисел

[skogar.livejournal.com]

Основания математики относятся к самой математике, но только как одна из её областей. Тогда как остальная математика существует почти что отдельно от такого своего фундамента, так что проблемы оттуда на её содержание просто не влияют.

[egovoru.livejournal.com]

Да, большинство математиков просто спокойно занимаются своим делом, не заморачиваясь никакими основаниями - как, собственно, и большинство естествоиспытателей. Проблема природы математического знания - чисто философская, и в этом смысле книжка Линнебо не очень помогает, потому что какого-то связного обсуждения этой проблемы у него нет. Но мне все равно было интересно почитать его, потому что это немножко дало мне представление о том, как мыслят математики.

[skogar.livejournal.com]

Это всё же вопрос скорее математический, чем философский. Просто математика состоит из "этажей" (может быть всего двух - нижний этаж и есть основания математики), каждый работает на своём "этаже", и в принципе может и не знать, что делается этажом ниже, но опирается на него. Однако иметь о нём хотя бы общее представление весьма желательно. Когда на нижнем этаже что-то менялось, выше это могло быть не очень заметно.

[zlata-gl.livejournal.com]

Читали ль ВЫ "Математика - утрата определенности" Клайна ?

[egovoru.livejournal.com]

А! Я как раз читаю ее сейчас - дошла, правда, только еще до Лобачевского и подозреваю, что самое интересное у меня впереди. Книжка Кляйна - неизмеримо более популярная и более философская (менее математическая), чем труд Линнебо. Читаю с интересом: хотя почти все из того, что Кляйн пишет, мне было уже известно и до него, но все равно некоторые вещи он подает под неожиданным для меня углом. А каковы Ваши впечатления?

[zlata-gl.livejournal.com]

Читала лет 30+ назад, потом неоднократно перечитывала.
(Это - о впечатлениях. Тогда не было такого богатства чтива, как сейчас).

В те времена я собиралась поступать в аспирантуру и сдавала "кандидатский минимум" - еще по марксистской философии.
Помянула ее на семинаре.
А препод, оказывается, этой темой занимался.
Спросил:
-Неужели всю прочли ?
-Всю. Очень интересно.
-Ну, напишите по ней реферат.
:-)

[yoginka.livejournal.com]

Насколько помню, Вы вышли на эту книгу из-за споров о том, насколько произвольны математические теории и насколько они, с другой стороны, опираются на реальность и интуицию (обсуждали модели в математике и их иерархию, а также их роль и опору на интуицию в повседневной работе математиков). Мне кажется, что в частях 6 и 8 книги об этом много написано.

[egovoru.livejournal.com]

В принципе, он во всех главах старается обсуждать философские аспекты, но мне показалось, что они у него все-таки несколько притянуты за уши: какой-то четкой картины эволюции взглядов на природу математического знания мне выудить у него не удалось. А Вам?

Сейчас я читаю неизмеримо более популярную книжку Мориса Кляйна (https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics:_The_Loss_of_Certainty), который как раз пытается такую картину нарисовать, но я еще недалеко продвинулась. Судя по сведениям из Вики, ее многие ругают, но мне пока трудно судить, по делу ли - надо значала дочитать до конца, а потом уж читать критику. Пока что мне не очень понравилось, что он уж слишком подчеркивает заслуги греков в ущерб усилиям египтян и Междуречья. Мне кажется, это не слишком справедливо, но я, конечно, не специалист.

"их роль и опору на интуицию в повседневной работе математиков"

Слово "интуиция" в этом контексте мне кажется не слишком удачным, поскольку оно не различает продукты бессознательной обработки данных опыта и врожденные представления, а при рассуждении о природе математических знаний это различие кажется мне необходимым.

Chapter 6

[egovoru.livejournal.com]

Может быть, имеет смысл обсуждать положения этой главы по разделам. Вот, например, уже во введении к ней: "The apparent existence of a priori knowledge has always posed a problem for empiricists, who hold that all substantive knowledge is based on sense experience".

Линнебо пишет "apparent existence of a priori knowledge", но мне не ясно, что именно он считает свидетельством существования таких знаний? На мой взгляд, утверждение о наличии их у нас - равно как и об отсутствии - требует эмпирической проверки, а не философских рассуждений.

Причем, выяснить, есть ли у нас такое знание, и в чем конкретно оно состоит, очень и очень непросто. Вроде бы априорное знание - это такое, какое должно существовать у нас с рождения. И действительно, новорожденные младенцы уже кое-что знают: например, они знают, как сосать материнскую грудь и т.д. Но от этого еще очень, очень далеко до теоремы Пифагора. Другой путь - выяснение, какие знания есть у других животных, у которых нет такого интенсивного обучения, как у нас, а значит, их знания близки к "априорным". Такие исследования тоже ведутся, и обсуждать проблему априорности или неаприорности наших знаний без опоры на них, по-моему, бессмыссленно.

Лем «Сумма технологий»

[const0000.livejournal.com]

«
БЕЗУМИЕ, НЕ ЛИШЁННОЕ МЕТОДА

Давайте представим себе портного-безумца, который шьёт
всевозможные одежды. Он ничего не знает ни о людях, ни о птицах,
ни о растениях. Его не интересует мир, он не изучает его. Он
шьёт одежды. Не знает, для кого. Не думает об этом.

Некоторые одежды имеют форму шара без всяких отверстий,
в другие портной вшивает трубы, которые называет «рукавами»
или «штанинами». Число их произвольно. Одежды состоят
из разного количества частей. Портной заботится лишь об одном:
он хочет быть последовательным. Одежды, которые он шьёт,
симметричны или асимметричны, они большого или малого размера,
деформируемы или раз и навсегда фиксированы.

Когда портной берется за шитье новой одежды,
он принимает определенные предпосылки. Они не всегда
одинаковы, но он поступает точно в соответствии с принятыми
предпосылками и хочет, чтобы из них не возникало противоречие.

Если он пришьёт штанины, то потом уж их не отрезает,
не распарывает того, что уже сшито, ведь это должны
быть все же костюмы, а не кучи сшитых вслепую тряпок.
Готовую одежду портной относит на огромный склад.
Если бы мы могли туда войти, то убедились бы, что одни костюмы
подходят осьминогу, другие – деревьям или бабочкам,
некоторые – людям. Мы нашли бы там одежды для кентавра
и единорога, а также для созданий, которых пока никто не придумал.

Огромное большинство одеяний не нашло бы никакого применения.
Любой признает, что сизифов труд этого портного – чистое безумие.

Точно так же, как этот портной, действует математика.
»

рекомендую - прочитать этот кусок "о математике" - полностью... (https://docviewer.yandex.ru/view/22456934/?*=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&lang=ru)

Re: Лем «Сумма технологий»

[skogar.livejournal.com]

Это относится к математикам, цель которых - получить грант или в таком роде: чуток подкрутим аксиомы и посмотрим, что выйдет; непонятно зачем, но зато научный проект.
Нормальные математики решают осмысленные задачи.

Re: Лем «Сумма технологий»

[egovoru.livejournal.com]

Да, я тоже представляю себе математику как-то так: то есть, в принципе это ничем не огранченное поле творчества (ну, может, только особенностями нашего мышления), но некоторые созданные в таком "свободном полете" объекты оказываются хорошими теоретическими моделями тех или иных аспектов физической реальности. Мы отбираем их и потом удивляемся, как хорошо они работают :)

Наверное, этот взгляд ближе всего к тому, который называют "формализмом", но это далеко не единственный взгляд на природу математики.

[a-gorb.livejournal.com]

С природой математического знания я особых проблем не вижу. Математика формулирует наборы аксиом. Из этих аксиом делаются выводы и получается развитая дедуктивная система. Причем оказывается, что применение таких систем на практике чрезвычайно плодотворно (” прекрасно работает для описания физического мира”). Но эта эффективность математики не выглядит уж очень удивительной, если задуматься о природе законов логики, на основе которых и строится дедуктивная система. Я неоднократно задавал вопрос: есть ли пример, когда нечто удовлетворяет неким аксиомам, но не удовлетворяет логическому выводу из них. Ответа так и не получил. (Разумеется, если не выполняются аксиомы, то и не обязаны выполнятся выводы из них.) Тут проявляется то, что иногда называют принудительной силы логики. Но это все объясняется, если считать, что законы логики не являются произвольными и наше мышление для адекватного описания природы вынуждено учитывать и воспроизводить закономерности присущие природе. Тогда правила, законы логики являются не столько законами мышления, сколько общими законами природы, которые мышление человека с необходимостью должно учитывать и использовать, что бы получать верное описание окружающего мира. Но сами эти законы в логике выступают в «замаскированном» виде, именно как законы правильного мышления, а не как непосредственные законы природы, которыми они по сути являются.

Другое дело, что математика отнюдь не произвольно создает эти системы аксиом. Тут требуется полнота и непротиворечивость. А вот установить их заранее не всегда возможно. В этом есть проблема. Парадоксы типа парадокса Рассела являются вариациями на тему парадокса лжеца или брадобрея (и еще множество вариантов). На самом деле, к сожалению, эти парадоксы просто так не решаются. Самое простое решение, искусственный запрет на парадоксы, приводит к тому, что это запрет распространяется и на вещи вполне плодотворные (”лишает систему Фреге ее важных достоинств”). Что ж, может появиться мыслитель, который найдет решение для этих парадоксов.

[egovoru.livejournal.com]

"законы логики не являются произвольными и наше мышление для адекватного описания природы вынуждено учитывать и воспроизводить закономерности присущие природе"

Проблема, однако, в том, что ведь не существует одного-единого набора законов логики, адекватно описывающих природу. Например, возьмем аристотелевский закон исключенного третьего: действительно, пациент либо жив, либо мертв. Но ведь и так называемая нечеткая логика тоже очень хорошо описывает физический мир, потому что в нем полным-полно объектов и свойств, плавно переходящих друг в друга (что, в частности, доставляет постоянную головную боль биологам-систематикам). Наконец, мой любимый вид логики - не знаю, как она называется - где рассматриваются не два, а три состояния истинности высказывания: истина, ложь и неизвестность. И если подумать, то именно эта логика лучше всего описывает многие наши житейские ситуации :)

"Другое дело, что математика отнюдь не произвольно создает эти системы аксиом. Тут требуется полнота и непротиворечивость. А вот установить их заранее не всегда возможно"

Насколько я поняла из книжки Линнебо, важны не только полнота и непротиворечивость, но и возможность получать результаты, т.е. доказательства важных утверждений. А то может получиться как с описанной в посте теорией типов: да, таким образом удалось избежать парадоксов, но зато с водой выплеснули и ребенка - то, что система Фреге делала, теория типов делать не может.

[benni72.livejournal.com]

*геделевского «наивного» понятия множества*

Канторовского?

[egovoru.livejournal.com]

Да, конечно, канторовского! Что-то я совсем зарапортовалась: уже и Бабеля от Бебеля не отличаю :) Сейчас исправлю в тексте, спасибо!