Издавна мудрые искали

[egovoru]

Наверное, не приходится удивляться, что Дуглас Хофштадтер, будучи математиком по образованию, уже вторую свою книжку посвящает теореме Геделя.

Хофштадтер пишет, что со времен Эвклида авторитет математики основывался на вере в то, что можно создать такую систему аксиом и правил дедукции, что:

1) Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;
2) Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.

Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех дедуктивных систем, включающих арифметику. Но меня заинтересовали сами эти условия. Ведь они ясно показывают, что мы рассчитываем на некий независимый критерий верности утверждений, помимо их сводимости к аксиомам и подчинения правилам логики. Но что это за критерий, как не здравый смысл – иными словами, обобщение нашего практического опыта? Не говоря уже о том, что ведь и сам выбор аксиом, а также формулировка правил дедукции основаны все на том же опыте. Так что, шаткость – или, лучше сказать, способность к эволюции? – математической конструкции была очевидна и до Геделя.

Галилей, с его законами природы, написанными на языке математики, был все-таки неправ. Математика – не язык природы, а наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу.

Но отзвуки этого галиеевского (пифагорейского?) представления о математике ощущаются и сейчас – например, когда теорему Геделя приводят как аргумент в пользу непознаваемости мира, хотя к миру она не имеет никакого отношения.

«Аллегория математики».
Керамическое панно в саду дворца Монте на Мадейре
(фото с сайта Zeugnisse zu Mathematikern)

Comments

[anti-tanatos.livejournal.com]

Может быть, я надоел вам своими вопросами "вдогон", однако у меня вроде бы есть право (меня еще не прогоняли). Так вот, ловлю Вас на слове.
В своем посте Вы
- рассказали о 1-й теореме Геделя;
- признали, что математика - "язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу".
А в качестве итога однозначно выразили свое несогласие с мнением, что теорема Геделя - аргумент в пользу непознаваемости мира.

Поскольку в своем ответе мне от 14.09 Вы сказали, что курс диамата был для Вас не более чем "необходимым злом", то я обращаю Ваше внимание на факт: пост представляет собой вольное изложение соответствующей темы в курсе диамата.

В этом нетрудно убедиться, просмотрев тексты советских философов (прежде всего, конечно, предназначенные для студентов). В них речь всегда шла о 1-й теореме, которая, мол, позволяет опровергать "идеалистические домыслы" о независимости математики от физического опыта (Вы пишите о том же, употребляя выражение "практический опыт"). А вот о 2-й теореме, как правило, ничего не говорилось. Хотя как раз она отчетливо указывает на ограниченность научной познаваемости мира.

Дело в том, что, по Геделю, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Требуется другая, более мощная теория. Но тогда встает вопрос о непротиворечивости второй теории и т.д. В итоге получается, что если мы построим "теорию всего" (а ею, между прочим, является тот же диамат), то в непротиворечивость и, следовательно, истинность полученного научного результата мы можем только верить.

Конечно, Гедель доказывал теорему для формальных теорий, но разница между формальной теорией (с учетом интерпретации) и естественнонаучной - это разница между идеалом и практическим приближением к нему. А не разумно ли полагать, что недостижимое в идеале тем паче недостижимо на практике?

К чему я клоню? Налицо очередное проявление Вами приверженности внушенной с младых лет философии. В связи с этим скажите, пожалуйста, как Вам кажется: в этих нескончаемых разговорах на философские темы проявляется Ваше желание освободиться от привычного мировоззрения или, наоборот, укрепиться в нем?

[egovoru.livejournal.com]

"идеалистические домыслы" о независимости математики от физического опыта"

Простите, я что-то несколько запуталась ;) Кто говорит о том, что математика не зависит от физического опыта? Я-то вовсе так не считаю: я думаю, что выбор и аксиом, и правил дедукции определяется нашим физическим опытом и устройством нашего мозга, а без аксиом и правил не бывает и математики.

"по Геделю, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории"

Мне кажется, говоря о теореме Г., следует все же придерживаться его терминологии: у него речь идет не о теории, а о формальной системе высказываний. Теория - понятие слишком обтекаемое, неоднозначное; употребляя его, легко запутаться.

"разница между формальной теорией (с учетом интерпретации) и естественнонаучной - это разница между идеалом и практическим приближением к нему"

На мой взгляд, разница здесь более кардинальная. Формальная система - замкнутая; все ее выводы, в принципе, уже содержатся в ее аксиомах и правилах дедукции. (Там выше мы подробно обсуждаем с уважаемым re_xor, в каком именно смысле надо понимать эту замкнутость). Внутри формальной системы можно, например, говорить об абсолютно истинных высказываниях - это такие, которые выводятся из ее аксиом по ее правилам.

Естествознание же - система принципиально открытая. В нем вообще не может быть абсолютных истин; любая истина в нем истинна только до тех пор, пока не обнаружены противоречащие ей факты - которые могут открыться в любой момент. Потому-то теорема Геделя к естествознанию и не применима, что оно - не формальная система.

"в этих нескончаемых разговорах на философские темы"

Я бы и рада обсудить какой-нибудь роман или фильм, но, когда я изредка пишу здесь о чем-нибудь подобном, оказывается, это никому не интересно :( А вот "вечные" философские проблемы, наоборот, вызывают оживление среди читателей, которое, в свою очередь, стимулирует меня на помещение новых текстов. Так что происходит естественный отбор обсуждаемых тем - хотя я все равно стараюсь их разнообразить, держа за образец отдел "Смесь" в некогда знаменитой "Ниве" ;)

[anti-tanatos.livejournal.com]

Весьма красноречиво получилось. Вначале Вы делаете вид, что не понимаете, о чем идет речь (хотя ясно было сказано, что в своем посте Вы повторили то, чему Вас учили на лекциях диамата). Потом переходите к совершенно несущественному вопросу о терминологии, хотя явно слабо в нем разбираетесь (формальная теория и формальная система – это одно и то же), далее ссылаетесь на авторитет - без всякой к тому необходимости. Кроме того, Вы упорно не желаете обращать внимания на отмеченный в моем комменте факт: существует не теорема Геделя, а 1-я и 2-я теоремы Геделя (вторая, которая Вам не нравится - это как раз та, которой старались не замечать и диаматчики). Конечно же, в моем комменте она всего лишь семантически обозначена, но если Вам нужна строгая формулировка - пожалуйста: для любой формально рекурсивно перечислимой (то есть эффективно генерируемой) теории T, включая базовые арифметические истинностные высказывания и определённые высказывания о формальной доказуемости, данная теория T включает в себя утверждение о своей непротиворечивости тогда и только тогда, когда теория противоречива.
Одна лишь эта формулировка уже обнаруживает несостоятельность вашего рассуждения о "замкнутости" формальной системы. Что же касается веры в существование "естествознания", которое есть ТОЖЕ какая-то система, да еще и "открытая", то тут опять же легко угадываются реминисценции лекций по диамату. У Вас, наверное, отличные оценки были по этому предмету, иначе отчего бы не уразуметь: проблема вовсе не в том, что "естествознание" не формальная система (кто бы сомневался!), а в том, что другого языка, кроме дискурсивного, а значит, в основе своей языка математики, у естествознания нет.
Ну и наконец приписывание Вами себе роли массовика-затейника в ЖЖ устраняет последние сомнения. Вы, конечно же, уходите от ответа и даете понять, что вопрос Вам очень неприятен.
Это, разумеется, тоже ответ. Я благодарю Вас.

[egovoru.livejournal.com]

В достижениях Геделя я действительно разбираюсь совсем слабо - но разве я утверждала обратное? Я потому у завела о них разговор, чтобы разобраться немного получше. И потому я очень признательна Вам за Ваши поправки и разъяснения.

И я совершенно не претендую на сколько-нибудь серьезный уровень обсуждения философских проблем - у меня просто нет соответствующей подготовки. Я даже не понимаю, например, что Вы имеете в виду, когда говорите о "дискурсивном языке" естествознания?

[anti-tanatos.livejournal.com]

У Вас в конце вопросительный знак. Поэтому отвечаю.
Речь у меня идет о том, что всякая наука использует в качестве своего инструмента не весь естественный язык, а только ту его часть, в которой действуют некоторые правила вывода (как минимум четыре закона формальной логики). Этот подъязык позволяет описать фрагменты нашего бытия (например, движение физических тел) множеством высказываний, которые с большим или меньшим успехом поддаются формализации, т.е. могут быть формализованы без существенной потери смысла. Там, где это удается в полной мере, "работает" математика. И именно этой части дискурсивного языка естествознание обязано своими главными достижениями.

Сказанное не претендует на точное определение. Это просто указание на то, что имелось в виду. Углубляться нет никакого смысла. Я вовсе не собирался давать какие-то "поправки и разъяснения" (на то у Вас есть френды, знающие предмет лучше меня). Просто с моей стороны поступил вопрос. Вы ответили. Я откомментировал Ваш ответ с целью дать понять, что сказанного Вами мне вполне достаточно. Еще раз благодарю за внимание и терпение. Спасибо.