Издавна мудрые искали
Oct. 3rd, 2014 06:29 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
egovoruХофштадтер пишет, что со времен Эвклида авторитет математики основывался на вере в то, что можно создать такую систему аксиом и правил дедукции, что:
1) Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;
2) Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.
Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех дедуктивных систем, включающих арифметику. Но меня заинтересовали сами эти условия. Ведь они ясно показывают, что мы рассчитываем на некий независимый критерий верности утверждений, помимо их сводимости к аксиомам и подчинения правилам логики. Но что это за критерий, как не здравый смысл – иными словами, обобщение нашего практического опыта? Не говоря уже о том, что ведь и сам выбор аксиом, а также формулировка правил дедукции основаны все на том же опыте. Так что, шаткость – или, лучше сказать, способность к эволюции? – математической конструкции была очевидна и до Геделя.
Галилей, с его законами природы, написанными на языке математики, был все-таки неправ. Математика – не язык природы, а наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу.
Но отзвуки этого галиеевского (пифагорейского?) представления о математике ощущаются и сейчас – например, когда теорему Геделя приводят как аргумент в пользу непознаваемости мира, хотя к миру она не имеет никакого отношения.
Керамическое панно в саду дворца Монте на Мадейре
(фото с сайта Zeugnisse zu Mathematikern)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2014-10-03 02:57 pm (UTC)По первой теореме Гёделя, всегда существует утверждение, такое, что ни оно само, ни его отрицание не выводится из системы аксиом.
По второй теореме, непротиворечивость системы аксиом недоказуема в рамках самой системы.
Возможно, это согласуется с тем, что Вы пишете, просто хотелось уточнить.
no subject
Date: 2014-10-03 04:00 pm (UTC)Формальные замечания.
”Каждое доказанное с ее помощью (т.е., выведенное из ее аксиом посредством ее правил дедукции) утверждение будет верным;”
Тут у вас просто масло масляное. Выведенное из аксиом по правилам и означает верное. Другого смысла термину «верное» тут просто нет.
” Каждое верное утверждение может быть доказано с ее помощью.
Достижение Геделя состоит в том, что он показал, что второе условие не может быть выполнено для всех сколько-нибудь нетривиальных дедуктивных систем.”
Не совсем так. Гедель показал, что существуют утверждения которые нельзя доказать и опровергнуть в данной системе аксиом.
По сути.
Математика и есть набор дедуктивных систем. Причем совершенно неважно о чем из природы говорят эти системы. Как утверждал Гильберт: Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"! Т.е. под математические термины можно подставить все что угодно из действительности.
Т.е. в этом смысле это действительно «наш язык, при помощи которого мы пытаемся описывать природу».
С другой стороны, а вам известны примеры из действительности, когда нечто удовлетворяет аксиомам, но не удовлетворяет их логическим следствиям? Мне нет. А если нет, то получается какая-то мистическая принудительность такого дедуктивного вывода, такая, что природа подчиняется нашим правилам логики. Т.е. получается, что дедуктивные системы (или другими словами математика) есть закон для природы, который она не смеет нарушить.
no subject
Date: 2014-10-03 09:01 pm (UTC)Она имеет отношение к нашему мышлению, с помощью которого мы пытаемся познавать мир. Отсюда и разговоры о непознаваемости.
Точнее, она имеет отношению к дедукции.
Можно ли осуществлять познание без дедукции, например, за счет индукции? Можно, но только это будет гораздо менее эффективно. Например, можно "натренировать" наш опыт, чтобы теорема Пифагора стала "аксиомой" (стала интуитивно понятной и очевидной). Но это время и каждую теорему "тренировать" - это слишком затратно, а главное не всегда возможно.
Дедукция позволяет осуществлять "сжатие" информации, свести многообразие к простым правилам и аксиомам. Тот же Гильберт, если правильно помню, говорил, что родители хотели, чтобы он стал юристом, но у него была плохая память, поэтому он стал математиком :)
Отсюда же стремление найти первоэлементы и прочие базовые принципы.
И по большому счету, технология дедуктивного вывода была "выучена" в ходе развития, эволюции и т.д. То есть она определенным образом связана со свойствами мира. Но вот Гедель показал "шаткость", а точнее ограниченность дедуктивного подхода.
Например, вопрос о свободе воли тоже упирается в аналогичную ограниченность или "шаткость" (см. недавнюю работу "A Turing test for free will": http://arxiv.org/pdf/1310.3225.pdf )
С точки зрения же индукции и здравого смысла, большинство скажет, что у них есть свобода воли. Но это потому, что у них именно такой опыт :)
no subject
Date: 2014-10-03 11:22 pm (UTC)Действительно, это был бы самый безопасный путь: просто определить истину как то, что выводится из аксиом по правилам логики. И в наш релятивистский век некоторые (например, Бруно Латур) так и поступают, утверждая, что не то что математические, но и естественно-научные истины - вовсе не истины, а коллективно принятые нами условности ;)
Но Рассел с Уайтхедом - а ведь именно их систему и взялся анализировать Гедель - были люди предыдущего поколения, и их заботила адекватность математики как способа описания действительности. Так, во всяком случае, получается в изложении Хофштадтера - собственно трехтомную "Principia Mathematica" я едва бы осилила :)
"По первой теореме Гёделя, всегда существует утверждение, такое, что ни оно само, ни его отрицание не выводится из системы аксиом".
Насколько я понимаю, здесь существенно, что речь идет не просто об "утверждении" как таковом, а именно об утверждении истинном. Невыводимость ложного утверждения никого бы не смутила ;)
no subject
Date: 2014-10-03 11:45 pm (UTC)Нет, по Хофштадтеру получается не так. Он описывает предприятие Рассела и Уайтхеда как попытку создать такую систему аксиом и правил дедукции, чтобы с ее помощью можно было вывести все истинные математические утверждения. Из чего следует, что совокупность этих утверждений уже существовала еще до того, как такая система была разработана - не говоря уже о том, что, как показал Гедель, создать такую систему вообще невозможно.
"Гедель показал, что существуют утверждения которые нельзя доказать и опровергнуть в данной системе аксиом."
Да, но не просто "утверждения", а именно верные утверждения. Собственно, как раз теорема Геделя и похоронила окончательно надежду на то, что выводимость из системы аксиом и истинность - это одно и то же.
"дедуктивные системы (или другими словами математика) есть закон для природы, который она не смеет нарушить"
Просто математика, в конечном счете, тоже - дитя природы, в том смысле, что мы все же не совсем произвольно ее придумываем, а опираемся и на свойства мира и свойства собственного мозга, который тоже - часть этой самой природы ;)
no subject
Date: 2014-10-03 11:58 pm (UTC)Я, по своему невежеству, так и не знаю: в земных пределах "верна" евкидова геометрия - а в космических? Нет ли отклонений в сторону геометрии Лобачевского?
no subject
Date: 2014-10-04 12:03 am (UTC)Разве? По-моему, с точностью до наоборот: дедукция позволяет из малого числа утверждений (аксиом, или, как Хофштадтер их называет, семян) вырастить неопределенно-большое число новых истин; аналогия с бесконечно-ветвистым деревом здесь действительно вполне уместна.
Соответственно, и ценность дедукции заключается именно в том, что с ее помощью можно быстро приумножать знание.
А "сжатие" информации - это как раз индукция: длинные таблицы Тихо Браге превращаются в коротенькие законы Кеплера и т.п.
"Гедель показал "шаткость", а точнее ограниченность дедуктивного подхода"
Мне-то кажется, что ограниченность дедуктивного подхода была ясна и до Геделя - она вытекает из самой необходимости иметь аксиомы в качестве затравки, а также правила вывода следствий. Соответственно, эти аксиомы и правила надо же откуда-то взять, и это сразу вызывает множество вопросов. Та характеристика, которую иногда дают компьютеру - "что посеешь, то и пожнешь", в том смысле, что результат его работы будет зависеть от тех исходных данных, которые мы в него заложим - хорошо иллюстрирует достоинства и недостатки любой дедуктивной системы, частным примером которой комп и является.
Самая известная иллюстрация этой проблемы - конечно, геометрия Лобачевского, но, на мой взгляд, следует помнить о сугубой ненадежности и других "самоочевидных" истин, а не только пятого постулата.
Что же касается свободы воли, то, мне кажется, проблема здесь в том, что ее наличие в принципе нельзя проверить экспериментально - просто потому, что нельзя дважды войти в одну реку. Если я утверждаю, что, вместо того, чтобы взять с подноса пирожное, я, если захотела, могла бы взять яблоко - как это проверить? Ведь пленку нельзя открутить назад, а новая ситуация будет только аналогичной, но не идентичной.
no subject
Date: 2014-10-04 12:42 am (UTC)А что касается геометрии Лобачевского, то она ведь верна и на некоторых поверхностях во вполне земных пределах - например, на такой:
То, что само наше пространство - не плоское, вроде бы следует из общей теории относительности. Правда, представить себе неплоское трехмерное пространство (а именно о таком идет речь у Эйнштейна, насколько я понимаю), не так-то просто. В учебниках ведь обычно предлагают двумерные модели.
no subject
Date: 2014-10-04 05:47 am (UTC)no subject
Date: 2014-10-04 06:37 am (UTC)2) "Просто математика, в конечном счете, тоже - дитя природы, в том смысле, что мы все же не совсем произвольно ее придумываем, а опираемся и на свойства мира и свойства собственного мозга, который тоже - часть этой самой природы "
В результате получается, что природа описывает себя языком математики.
no subject
Date: 2014-10-04 10:21 am (UTC)Очередная "strange loop" в духе Хофштадтера ;)
no subject
Date: 2014-10-04 10:35 am (UTC)Про это, то есть выполнимость упомянутого выше условия один, Хофштадтер пишет так: на сегодняшний день в системе Рассела и Уайтхеда такого не найдено, т.е., она (а с ней и математика, как таковая?) таки считается непротиворечивой (consistent).
"Выведенное из аксиом по правилам и означает верное".
Еще раз об этом. С одной стороны, так и есть, "математическая истина" - это то, что математически доказано, т.е., выведено из неких ранее уже доказанных истин. Но, если мы продолжим эту цепочку истин вниз, то обязательно упремся в нечто, принятое без доказательства, причем, надо полагать, иногда не слишком четко оговоренное (во всяком случае, в теории чисел, которой и занимались и Рассел с Уайтхедом, и Гедель). Вот Р. и У. и предприняли попытку упорядочить все это "принятое без доказательства", а Г. показал, что это невозможно - всегда останутся "дыры". Что, конечно, неочевидно на первый взгляд.
Но, как я уже написала, сам факт необходимости принятия чего-то без доказательств уже должен настораживать, удерживать от эйфории - хотя мы и не можем без такого принятия обойтись.
no subject
Date: 2014-10-04 10:36 am (UTC)Теорема Геделя.
”Из чего следует, что совокупность этих утверждений уже существовала еще до того, как такая система была разработана”
Существовала. И опиралась на определенный набор аксиом.
”предприятие Рассела и Уайтхеда как попытку создать такую систему аксиом и правил дедукции, чтобы с ее помощью можно было вывести все истинные математические утверждения.”
Рассела и Уайтхеда предложили новую систему аксиом, основанную на логике. Что система аксиом может быть несколько – в тот момент уже было понятно. Насколько хороша их система аксиом по сравнению с другими – можно спорить.
” как показал Гедель, создать такую систему вообще невозможно”
Гедель показал, что невозможно сделать в рамках данной (или аналогичных) системы аксиом. Например, аналогия тут такая: можно доказать, что с помощью циркуля и линейки невозможно разделить угол на три равные части. Но отсюда не следует, что этого невозможно сделать другими средствами.
” Да, но не просто "утверждения", а именно верные утверждения.”
Что значит верные? Опровергнуть=доказать отрицание утверждения. Т.е. по Геделю мы равно не можем установить как верность утверждения, так и верность его отрицания в данной системе аксиом. Верность (или неверность) утверждения может быть установлена в другой системе аксиом.
”что выводимость из системы аксиом и истинность - это одно и то же”
Для математики – одно и тоже. Еще раз, по Геделю равно невозможно установить как истинность, так и ложность.
----
Математика.
” Просто математика, в конечном счете, тоже - дитя природы, в том смысле, что мы все же не совсем произвольно ее придумываем …”
Именно, что в конечном счете. Но если от природы до математики так далеко, то чем же объясняется столь впечатляющая продуктивность и универсальность математики для описания природы?
Вопрос о примерах, когда нечто удовлетворяет аксиомам, но не удовлетворяет их логическим следствиям, я задавал неоднократно, но так и не получил на него ответа. Интересно, а почему?:)
----
Математика и познание
Я с вами согласен, что ”теорему Геделя приводят как аргумент в пользу непознаваемости мира, хотя к миру она не имеет никакого отношения.”
Вообще человеческое познание отнюдь не следует пути формально строгого построения дедуктивных систем. Например, механика Ньютона не столь уж логически стройна, как может показаться на первый взгляд. Да и сами математики порой забывают о строгости своей науки, например, когда разрабатывали исчисление бесконечно малых. А с арифметикой совсем беде. Знают уже не одно тысячелетие, что 2+2=4, а когда смогли это доказать?
no subject
Date: 2014-10-04 10:38 am (UTC)no subject
Date: 2014-10-04 10:44 am (UTC)” т.е., она (а с ней и математика, как таковая?) таки считается непротиворечивой (consistent).”
Я немного не об этом. У вас тут речь идет о математике самой по себе. Я же спрашиваю об объектах действительности, природы.
”Но, если мы продолжим эту цепочку истин вниз, то обязательно упремся в нечто, принятое без доказательства”
Разумеется. Поэтому об истинности можно говорить только по отношению к некой системе аксиом.
” Вот Р. и У. и предприняли попытку упорядочить все это "принятое без доказательства"”
Скорее не упорядочить, а предложить свою систему аксиом, основанную на логических аксиомах. А вот избавится от «иногда не слишком четко оговоренное» у них похоже не получилось.
”сам факт необходимости принятия чего-то без доказательств уже должен настораживать, удерживать от эйфории”
Пардон, не догоняю, о какой эйфории тут идет речь?
no subject
Date: 2014-10-04 10:48 am (UTC)Небольшое уточнение. У Эйнштейна 4х-мерное пространство-время. Вот 4х-мерность представить тяжело. А кривое 3х-мерное – не сложнее, чем прямое. Вот как вы себе представляете прямое трехмерное пространство?:)
no subject
Date: 2014-10-04 11:05 am (UTC)Да, я именно это и хочу сказать. Моя главная мысль, которую я намеревалась вложить в этот текст, такая. Хотя математика и кажется нам наиболее точным, а следовательно, верным знанием, она все же - колосс на глиняных ногах, в том смысле, что она все равно рано или поздно упирается в эмпирическое знание, потому что никакого другого источника знания у нас просто в принципе нет.
Другое дело, что математика (и логика, если считать ее отдельным предприятием) позволяет нам создавать новое знание не эмпирическим (индуктивным), а дедуктивным путем, что дает нам колоссальную экономию средств: достаточно установить малое знание эмпирически, и его можно колоссально приумножить за счет дедукции. Х. проводит здесь очень, на мой взгляд, хорошую аналогию с выращиванием дерева из семени.
Почему математика столь невероятно эффективна - т.е., почему выведенные дедуктивным путем следствия совпадают с нашим эмпирическим опытом - очень интересный вопрос, и некоторые усматривают здесь некую божественную природу математики и т.п. Мне же, как я уже написала, кажется, что особенно удивляться здесь не приходится, ведь математика - продукт нашего ума, а мы - продукт природы; вольно или невольно все наши конструкции воспроизводят мир, частью которого мы являемся.
Хофштадтер же, как я уже написала в предыдущем ответе, предпочитает не философствовать на эту тему, а подходит к ней, опять же, эмпирически: он пишет, что неверных следствий из системы Рассела и Уайтхеда пока просто-напросто на практике не обнаружено.
Что же касается теоремы Геделя, то, хотя Х. в своей книжке и пытается изложить ее доказательство нематематическим путем, но, признаться, мне его постичь не удалось. Одну важную вещь я все же поняла, а именно: что первый шаг Г. был - перевод положений Principia Mathemаtica в числа, т.е., их перекодировка. Но вот что именно он потом с этими (геделевскими, как их называет Х.) числами сделал, я уже не уловила.
Думаю, Вы знаете об этом гораздо больше меня. Может, попробуете изложить на пальцах, в чем именно суть геделевского доказательства? (Правда, я не уверена, что это вообще можно сделать нематематическим способом - скажем, разве можно нематематически доказать теорему Пифагора?)
no subject
Date: 2014-10-04 11:14 am (UTC)Я же хотела бы подчеркнуть, что оцифрованное знание не слишком сильно отличается от неоцифрованного - в том смысле, что оно все равно в конечном счете упирается в некие эмпирические наблюдения.
Вообще же этот мой пост - этап на пути постижения смысла высказывания о том, что в основе мира лежит информация. Пока что я воспринимая его как довольно бессмысленное заклинание, но вполне вероятно, что я просто не понимаю, что именно имеют в виду произносящие его люди ;)
no subject
Date: 2014-10-04 11:20 am (UTC)Но такая аналогия мало помогает при попытках определить степень кривизны этих пространств. Возможно, ее тоже следует искать не в зрительных образах, а в численных отношениях?
no subject
Date: 2014-10-04 11:35 am (UTC)no subject
Date: 2014-10-04 12:20 pm (UTC)no subject
Date: 2014-10-04 12:27 pm (UTC)Я же здесь просто хочу сказать, что математические истины, в своем основании, ничем не отличаются от естественно-научных, т.е., тоже основываются на результатах наблюдений (которые математики называют аксиомами).
no subject
Date: 2014-10-04 12:35 pm (UTC)no subject
Date: 2014-10-04 02:02 pm (UTC)no subject
Date: 2014-10-04 02:22 pm (UTC)Ага:)
”оцифрованное знание не слишком сильно отличается от неоцифрованного - в том смысле, что оно все равно в конечном счете упирается в некие эмпирические наблюдения.”
Видимо под оцифрованным тут надо понимать шире – математизированное. Математизированное знание отличается тем, что использует уже готовые, хорошо и глубоко разработанные математикой дедуктивные системы. Т.е. «колоссальное приумножение за счет дедукции» становиться сравнительно легко осуществимым, т.к. дедукции уже сделаны математиками.